Exercices de maths 1ère : Probabilités conditionnelles et indépendance

1 Lecture d’un tableau croisé ★★★

Dans un lycée, 200 élèves de 1ère sont répartis selon le sexe et le régime : 120 filles et 80 garçons ; 90 filles et 50 garçons sont demi-pensionnaires (événement D). On choisit un élève au hasard. F : « l’élève est une fille ».

1. Recopie et complète le tableau croisé avec les totaux.
2. Calcule P(F), P(D) et P(F ∩ D).
3. Calcule P_F(D) et P_D(F).
4. Interprète P_D(F) par une phrase.

2 Calcul de P_A(B) à partir des probabilités ★★★

Deux événements A et B vérifient P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,2.

1. Calcule P_A(B) et P_B(A).
2. A et B sont-ils indépendants ? Justifie.

3 Probabilité d’une intersection ★★★

On sait que P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,3 et P_Ā(B) = 0,5.

1. Calcule P(A ∩ B) et P(Ā ∩ B).
2. Déduis-en P(B).

4 Compléter un arbre ★★★

Un arbre a deux niveaux : P(A) = 0,7 ; P_A(B) = 0,2 ; P_Ā(B) = 0,9.

1. Complète toutes les branches (y compris celles des contraires).
2. Calcule les probabilités des quatre chemins et vérifie que leur somme vaut 1.
3. Calcule P(B).

5 Dé et indépendance ★★★

On lance un dé équilibré à six faces. A : « le résultat est pair ». B : « le résultat est supérieur ou égal à 4 ».

1. Calcule P(A), P(B) et P(A ∩ B).
2. Calcule P_A(B).
3. A et B sont-ils indépendants ?

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie (A et B ont des probabilités non nulles).

1. P_A(B) = P_B(A) pour tous événements A et B.
2. P(A ∩ B) ≤ P(A).
3. Si A et B sont incompatibles, alors ils sont indépendants.
4. P_A(B) + P_A(B̄) = 1.

7 Un jeu de cartes ★★★

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. R : « la carte est un roi ». C : « la carte est un cœur ».

1. Calcule P(R), P(C) et P(R ∩ C).
2. R et C sont-ils indépendants ?
3. Calcule P_C(R) et interprète.

8 Tirage sans remise ★★★

Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire successivement deux boules sans remise.

1. Construis l’arbre pondéré (R₁/V₁ puis R₂/V₂).
2. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules rouges, puis deux boules vertes.
3. Déduis la probabilité d’obtenir deux couleurs différentes.

9 Deux machines ★★★

Une usine fabrique des pièces avec deux machines : la machine A produit 60 % des pièces et la machine B 40 %. 2 % des pièces de A et 5 % des pièces de B sont défectueuses. On prend une pièce au hasard. D : « la pièce est défectueuse ».

1. Construis l’arbre pondéré.
2. Calcule P(D).
3. La pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu’elle vienne de B ?

10 Sondage et lecture ★★★

Sur 500 personnes interrogées, 300 sont des femmes. 40 % des femmes et 110 des hommes déclarent lire régulièrement (événement L). On choisit une personne au hasard. F : « la personne est une femme ».

1. Complète un tableau croisé.
2. Calcule P(L).
3. Calcule P_L(F).
4. F et L sont-ils indépendants ?

11 Construire des événements indépendants ★★★

A et B sont indépendants, avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,5. Calcule P(A ∩ B), P(A ∪ B) et P(Ā ∩ B̄). Que remarques-tu ?

12 Trouver une probabilité inconnue ★★★

A et B sont indépendants, P(A) = 0,4 et P(A ∪ B) = 0,7. Calcule P(B).

13 Deux lancers francs ★★★

Un joueur réussit chaque lancer franc avec la probabilité 0,7, indépendamment des autres. Il tente deux lancers. Calcule la probabilité de : a. deux réussites ; b. exactement une réussite ; c. au moins une réussite.

14 Une pièce truquée ★★★

Une pièce truquée donne « pile » avec la probabilité 0,6. On la lance trois fois de façon indépendante. Calcule la probabilité d’obtenir : a. au moins un pile ; b. exactement deux piles.

15 Trois moyens de transport ★★★

Un élève vient au lycée en bus (50 % des jours), à vélo (30 %) ou à pied (20 %). Il est en retard avec la probabilité 0,10 en bus, 0,04 à vélo et 0,05 à pied. R : « il est en retard ».

1. Calcule P(R).
2. Il est en retard : quelle est la probabilité qu’il soit venu en bus ?

16 Deux urnes ★★★

On lance une pièce équilibrée. Si on obtient pile, on tire une boule dans l’urne U₁ (3 rouges, 2 bleues) ; sinon, dans l’urne U₂ (1 rouge, 4 bleues).

1. Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
2. La boule est rouge : quelle est la probabilité qu’elle vienne de U₁ ?

17 Un test de dépistage ★★★

Dans une population, 2 % des personnes ont une maladie M. Un test est positif (T) pour 95 % des malades et pour 10 % des personnes non malades.

1. Construis l’arbre pondéré.
2. Calcule P(T).
3. Calcule la probabilité d’être malade sachant que le test est positif (arrondie à 0,001). Commente.

18 Un jeu de questions ★★★

Un candidat reçoit au hasard une question facile (50 % des cas), moyenne (30 %) ou difficile (20 %). Il répond juste avec la probabilité 0,9 ; 0,6 ; 0,3 respectivement. J : « il répond juste ».

1. Calcule P(J).
2. Il a répondu juste : probabilité que la question était facile ?
3. Il s’est trompé : probabilité que la question était difficile ?

19 Paramètre à retrouver ★★★

On sait que P(A) = 0,5, P_Ā(B) = 0,2 et P(B) = 0,35. Détermine P_A(B). Les événements A et B sont-ils indépendants ?

20 Familles de deux enfants ★★★

On suppose qu’à chaque naissance fille et garçon sont équiprobables, et que les sexes de deux enfants sont indépendants. Une famille a deux enfants. Calcule la probabilité qu’il y ait deux filles : a. sans information ; b. sachant qu’il y a au moins une fille ; c. sachant que l’aînée est une fille.

21 Combien de lancers ? ★★★

On lance n fois un dé équilibré (calculatrice autorisée). Quel est le plus petit entier n tel que la probabilité d’obtenir au moins un 6 soit supérieure à 0,99 ?

22 Démonstration : indépendance et contraire ★★★

Démontre que si A et B sont indépendants, alors Ā et B̄ sont indépendants. Tu pourras utiliser P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B).

23 Deux machines, retour ★★★

Un atelier a deux machines : M₁ fabrique 45 % des pièces, M₂ le reste. 4 % des pièces de M₁ et 6 % de celles de M₂ sont défectueuses. On choisit une pièce au hasard. Elle est défectueuse : quelle est la probabilité qu’elle provienne de M₁ ? Exprime le résultat en fraction irréductible puis arrondi à 0,001.

24 Tableau d’indépendance ★★★

Sur 200 élèves, 35 % sont inscrits à l’association sportive (S) et 60 % mangent à la cantine (C). On suppose S et C indépendants.

1. Combien d’élèves sont à la fois inscrits à l’association sportive et à la cantine ?
2. Complète le tableau croisé des effectifs.