Pile ou face, tirage au sort, roue de loterie, dé… Dans tous ces jeux, le hasard décide. Impossible de prévoir un résultat précis, mais on peut mesurer ses chances avec un nombre : la probabilité. Dans ce chapitre, tu apprends à décrire une expérience aléatoire, à calculer des probabilités simples et à les comparer avec ce que donnent de vraies expériences.
1. Expérience aléatoire et issues
Expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire lorsque : on connaît à l’avance tous les résultats possibles ; on ne peut pas prévoir lequel va se produire ; on peut la recommencer dans les mêmes conditions.
Une expérience est aléatoire lorsque : on connaît à l’avance tous les résultats possibles ; on ne peut pas prévoir lequel va se produire ; on peut la recommencer dans les mêmes conditions.
Issue
Un résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle une issue. La liste de toutes les issues s’appelle l’univers (ou ensemble des issues possibles).
Un résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle une issue. La liste de toutes les issues s’appelle l’univers (ou ensemble des issues possibles).
Exemples
Lancer une pièce : 2 issues, « Pile » et « Face ». Lancer un dé à six faces : 6 issues, 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Tourner la roue ci-dessous et regarder la couleur : 4 issues, rouge, bleu, vert, jaune.
Lancer une pièce : 2 issues, « Pile » et « Face ». Lancer un dé à six faces : 6 issues, 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Tourner la roue ci-dessous et regarder la couleur : 4 issues, rouge, bleu, vert, jaune.
Une roue partagée en 8 secteurs de même taille. Une flèche fixe indique le secteur obtenu.
Attention
Les issues dépendent de ce que l’on observe. Avec cette roue, si on regarde la couleur, il y a 4 issues ; si on regarde le numéro du secteur (de 1 à 8), il y en a 8. Précise toujours ce que tu observes.
Les issues dépendent de ce que l’on observe. Avec cette roue, si on regarde la couleur, il y a 4 issues ; si on regarde le numéro du secteur (de 1 à 8), il y en a 8. Précise toujours ce que tu observes.
Ce n’est pas aléatoire
Calculer 7 × 8, mesurer la longueur d’une table, faire bouillir de l’eau : le résultat est toujours le même et on le connaît à l’avance. Ce ne sont pas des expériences aléatoires.
Calculer 7 × 8, mesurer la longueur d’une table, faire bouillir de l’eau : le résultat est toujours le même et on le connaît à l’avance. Ce ne sont pas des expériences aléatoires.
2. Les événements
Événement
Un événement est un ensemble d’issues. Un événement qui ne contient qu’une seule issue est un événement élémentaire. On dit qu’un événement est réalisé lorsque l’issue obtenue fait partie de cet événement.
Un événement est un ensemble d’issues. Un événement qui ne contient qu’une seule issue est un événement élémentaire. On dit qu’un événement est réalisé lorsque l’issue obtenue fait partie de cet événement.
Avec un dé à six faces
Événement A : « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}, il contient 3 issues. Événement B : « obtenir un 5 » = {5}, c’est un événement élémentaire. Si le dé s’arrête sur 4, A est réalisé et B ne l’est pas.
Événement A : « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}, il contient 3 issues. Événement B : « obtenir un 5 » = {5}, c’est un événement élémentaire. Si le dé s’arrête sur 4, A est réalisé et B ne l’est pas.
Événement certain, événement impossible
Un événement certain se produit à tous les coups : il contient toutes les issues (« obtenir un nombre inférieur à 7 » avec un dé). Un événement impossible ne contient aucune issue : il ne peut jamais se produire (« obtenir 9 » avec un dé à six faces).
Un événement certain se produit à tous les coups : il contient toutes les issues (« obtenir un nombre inférieur à 7 » avec un dé). Un événement impossible ne contient aucune issue : il ne peut jamais se produire (« obtenir 9 » avec un dé à six faces).
Méthode
Pour décrire un événement, écris la liste des issues qui le réalisent. C’est ce qui évite les oublis : combien de nombres premiers sur un dé à 10 faces ? 2, 3, 5, 7 : on les liste, on en trouve 4.
Pour décrire un événement, écris la liste des issues qui le réalisent. C’est ce qui évite les oublis : combien de nombres premiers sur un dé à 10 faces ? 2, 3, 5, 7 : on les liste, on en trouve 4.
3. La probabilité : un nombre entre 0 et 1
Probabilité
La probabilité d’un événement mesure sa chance de se produire. C’est un nombre compris entre 0 et 1. On la note P(A) pour l’événement A. On peut l’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
La probabilité d’un événement mesure sa chance de se produire. C’est un nombre compris entre 0 et 1. On la note P(A) pour l’événement A. On peut l’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
À savoir
• Un événement impossible a pour probabilité 0. • Un événement certain a pour probabilité 1. • Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement est « probable » ; plus elle est proche de 0, plus il est « improbable ». • Une probabilité n’est jamais négative et jamais supérieure à 1.
• Un événement impossible a pour probabilité 0. • Un événement certain a pour probabilité 1. • Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement est « probable » ; plus elle est proche de 0, plus il est « improbable ». • Une probabilité n’est jamais négative et jamais supérieure à 1.
Échelle de 0 à 1 : A est impossible (0), B se produit en moyenne 1 fois sur 4 (0,25), C une fois sur deux (0,5), D est certain (1).
| Probabilité | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| En pourcentage | 0 % | 25 % | 50 % | 75 % | 100 % |
| En fraction | 01 | 14 | 12 | 34 | 11 |
| En mots | impossible | peu probable | une chance sur deux | assez probable | certain |
Piège
« P = 1,5 » ou « P = −0,2 » n’ont aucun sens. Si tu trouves un tel résultat, tu t’es trompé dans ton calcul.
« P = 1,5 » ou « P = −0,2 » n’ont aucun sens. Si tu trouves un tel résultat, tu t’es trompé dans ton calcul.
4. Calculer une probabilité : le cas équiprobable
Équiprobabilité
Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire. C’est le cas d’un dé équilibré, d’une pièce non truquée, d’une roue aux secteurs égaux, d’une boule tirée au hasard dans une urne (« au hasard » signifie que chaque boule a la même chance d’être prise).
Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire. C’est le cas d’un dé équilibré, d’une pièce non truquée, d’une roue aux secteurs égaux, d’une boule tirée au hasard dans une urne (« au hasard » signifie que chaque boule a la même chance d’être prise).
Formule
En situation d’équiprobabilité :
P(A) = nombre d’issues qui réalisent Anombre total d’issues
On dit aussi : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.
En situation d’équiprobabilité :
P(A) = nombre d’issues qui réalisent Anombre total d’issues
On dit aussi : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.
Méthode en 4 étapes
1) Vérifie qu’il y a équiprobabilité. 2) Compte le nombre total d’issues. 3) Compte les issues favorables à l’événement. 4) Écris la fraction, puis simplifie-la si possible.
1) Vérifie qu’il y a équiprobabilité. 2) Compte le nombre total d’issues. 3) Compte les issues favorables à l’événement. 4) Écris la fraction, puis simplifie-la si possible.
Une urne de 10 boules identiques au toucher : 3 rouges, 5 bleues, 2 vertes. On tire une boule au hasard.
Exemple résolu
Le nombre total de boules est 3 + 5 + 2 = 10. P(rouge) = 310 = 0,3. P(bleue) = 510 = 12 = 0,5. P(verte) = 210 = 15 = 0,2. P(rouge ou verte) = 510 = 0,5, car 3 + 2 = 5 boules conviennent. On remarque que 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
Le nombre total de boules est 3 + 5 + 2 = 10. P(rouge) = 310 = 0,3. P(bleue) = 510 = 12 = 0,5. P(verte) = 210 = 15 = 0,2. P(rouge ou verte) = 510 = 0,5, car 3 + 2 = 5 boules conviennent. On remarque que 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
Somme des probabilités
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1. C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1. C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
Pas d’équiprobabilité, pas de formule
« Il y a 2 issues, donc une chance sur deux » est faux en général. Demain, il pleuvra ou il ne pleuvra pas : ce n’est pas une chance sur deux pour autant. Dans l’urne ci-dessus, on a 3 couleurs possibles mais P(bleue) = 0,5 et pas 13 : les boules de chaque couleur ne sont pas en même nombre.
« Il y a 2 issues, donc une chance sur deux » est faux en général. Demain, il pleuvra ou il ne pleuvra pas : ce n’est pas une chance sur deux pour autant. Dans l’urne ci-dessus, on a 3 couleurs possibles mais P(bleue) = 0,5 et pas 13 : les boules de chaque couleur ne sont pas en même nombre.
5. Événement contraire
Événement contraire
L’événement contraire de A, noté « non A », est réalisé exactement lorsque A ne l’est pas. Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans A.
L’événement contraire de A, noté « non A », est réalisé exactement lorsque A ne l’est pas. Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans A.
Propriété
P(non A) = 1 − P(A). En effet, A ou non A se produit toujours (probabilité 1) et les deux ne peuvent jamais arriver ensemble.
P(non A) = 1 − P(A). En effet, A ou non A se produit toujours (probabilité 1) et les deux ne peuvent jamais arriver ensemble.
Exemple
Avec l’urne précédente, A : « tirer une boule rouge ». Son contraire est « tirer une boule qui n’est pas rouge » (bleue ou verte). P(non A) = 1 − 0,3 = 0,7. Vérification directe : 5 + 2 = 7 boules sur 10, soit 0,7.
Avec l’urne précédente, A : « tirer une boule rouge ». Son contraire est « tirer une boule qui n’est pas rouge » (bleue ou verte). P(non A) = 1 − 0,3 = 0,7. Vérification directe : 5 + 2 = 7 boules sur 10, soit 0,7.
Astuce
Pour « au moins un… » ou « autre que… », il est souvent plus simple de calculer la probabilité du contraire, puis de faire 1 moins ce nombre. Attention : le contraire de « obtenir un nombre pair » est « obtenir un nombre impair », pas « obtenir un nombre premier ».
Pour « au moins un… » ou « autre que… », il est souvent plus simple de calculer la probabilité du contraire, puis de faire 1 moins ce nombre. Attention : le contraire de « obtenir un nombre pair » est « obtenir un nombre impair », pas « obtenir un nombre premier ».
6. Expérimenter : fréquences et probabilités
Effectif et fréquence
Quand on répète une expérience, l’effectif d’une issue est le nombre de fois où elle apparaît. Sa fréquence est : fréquence = effectifnombre total d’essais. C’est un nombre entre 0 et 1.
Quand on répète une expérience, l’effectif d’une issue est le nombre de fois où elle apparaît. Sa fréquence est : fréquence = effectifnombre total d’essais. C’est un nombre entre 0 et 1.
Exemple
Sacha lance une pièce 40 fois et obtient 26 fois « Pile ». La fréquence de « Pile » est 2640 = 0,65. Cela ne veut pas dire que la pièce est truquée : la probabilité théorique est 0,5, mais sur un petit nombre de lancers, on s’écarte souvent de cette valeur.
Sacha lance une pièce 40 fois et obtient 26 fois « Pile ». La fréquence de « Pile » est 2640 = 0,65. Cela ne veut pas dire que la pièce est truquée : la probabilité théorique est 0,5, mais sur un petit nombre de lancers, on s’écarte souvent de cette valeur.
Loi des grands nombres (à retenir en gros)
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’une issue se rapproche de sa probabilité. Plus il y a d’essais, plus les fréquences se stabilisent.
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’une issue se rapproche de sa probabilité. Plus il y a d’essais, plus les fréquences se stabilisent.
| Nombre de lancers | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|
| Fréquence de « Pile » (exemple) | 0,7 | 0,54 | 0,507 | 0,4993 |
Exemple de résultats d’une simulation : la fréquence tend vers 0,5.
Les pièges du hasard
Une expérience n’a pas de mémoire : si une pièce équilibrée a donné « Pile » 5 fois de suite, la probabilité d’obtenir « Pile » au lancer suivant reste 0,5. Une fréquence observée est une estimation ; la probabilité est une valeur théorique.
Une expérience n’a pas de mémoire : si une pièce équilibrée a donné « Pile » 5 fois de suite, la probabilité d’obtenir « Pile » au lancer suivant reste 0,5. Une fréquence observée est une estimation ; la probabilité est une valeur théorique.
Avec un tableur
La formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) simule un lancer de dé. On la recopie sur 1 000 lignes, on compte les 6 obtenus et on calcule leur fréquence : elle sera proche de 16 ≈ 0,167. Mathbot te le dit : « Ma calculette simule des milliers de lancers sans se fatiguer ! »
La formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) simule un lancer de dé. On la recopie sur 1 000 lignes, on compte les 6 obtenus et on calcule leur fréquence : elle sera proche de 16 ≈ 0,167. Mathbot te le dit : « Ma calculette simule des milliers de lancers sans se fatiguer ! »
7. Rédiger un exercice de probabilités
Modèle de rédaction
« On tire une boule au hasard : il y a équiprobabilité. Il y a 12 issues possibles. Il y a 3 issues favorables à l’événement A. Donc P(A) = 312 = 14. »
« On tire une boule au hasard : il y a équiprobabilité. Il y a 12 issues possibles. Il y a 3 issues favorables à l’événement A. Donc P(A) = 312 = 14. »
Dé à 8 faces
On lance un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8. A : « obtenir un multiple de 3 » = {3 ; 6}, donc P(A) = 28 = 14. B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 » = {6 ; 7 ; 8}, donc P(B) = 38. P(non B) = 1 − 38 = 58. Contrôle : 1, 2, 3, 4, 5 sont bien 5 issues sur 8.
On lance un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8. A : « obtenir un multiple de 3 » = {3 ; 6}, donc P(A) = 28 = 14. B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 » = {6 ; 7 ; 8}, donc P(B) = 38. P(non B) = 1 − 38 = 58. Contrôle : 1, 2, 3, 4, 5 sont bien 5 issues sur 8.
Quatre réflexes
Une probabilité s’écrit en fraction simplifiée (ou en décimal quand c’est exact). Elle est toujours entre 0 et 1. Les probabilités de toutes les issues s’additionnent pour faire 1. Et tu peux toujours vérifier avec l’événement contraire.
Une probabilité s’écrit en fraction simplifiée (ou en décimal quand c’est exact). Elle est toujours entre 0 et 1. Les probabilités de toutes les issues s’additionnent pour faire 1. Et tu peux toujours vérifier avec l’événement contraire.
À retenir
- Une expérience aléatoire a des issues connues à l’avance, mais son résultat ne se prévoit pas.
- Un événement est un ensemble d’issues ; il est certain (probabilité 1) ou impossible (probabilité 0) dans les cas extrêmes.
- Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
- Équiprobabilité : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues.
- La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
- P(non A) = 1 − P(A).
- Fréquence = effectif ÷ nombre d’essais ; avec beaucoup d’essais, elle se rapproche de la probabilité.
- « Deux issues » ne signifie pas « une chance sur deux » sans équiprobabilité.