Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Lecture d’un tableau croisé ★★★
a. Demi-pensionnaires : 90 + 50 = 140 ; externes : 30 filles, 30 garçons, soit 60 externes. Total : 200.
| D | Externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 90 | 30 | 120 |
| Garçons | 50 | 30 | 80 |
| Total | 140 | 60 | 200 |
b. P(F) = 120200 = 35 ; P(D) = 140200 = 710 ; P(F ∩ D) = 90200 = 920.
c. PF(D) = 90120 = 34 ; PD(F) = 90140 = 914.
d. Parmi les demi-pensionnaires, 914 (environ 64 %) sont des filles.
2 Calcul de PA(B) à partir des probabilités ★★★
a. PA(B) = 0,20,5 = 0,4 ; PB(A) = 0,20,4 = 0,5.
b. P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B). Les événements sont indépendants. On retrouve que PA(B) = P(B) et PB(A) = P(A).
3 Probabilité d’une intersection ★★★
a. P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = 0,6 × 0,3 = 0,18. Comme P(Ā) = 1 − 0,6 = 0,4 : P(Ā ∩ B) = 0,4 × 0,5 = 0,20.
b. A et Ā forment une partition de l’univers : P(B) = 0,18 + 0,20 = 0,38.
4 Compléter un arbre ★★★
a. P(Ā) = 0,3 ; PA(B̄) = 0,8 ; PĀ(B̄) = 0,1.
b. 0,7 × 0,2 = 0,14 ; 0,7 × 0,8 = 0,56 ; 0,3 × 0,9 = 0,27 ; 0,3 × 0,1 = 0,03. Somme : 0,14 + 0,56 + 0,27 + 0,03 = 1.
c. P(B) = 0,14 + 0,27 = 0,41.
5 Dé et indépendance ★★★
a. A = {2 ; 4 ; 6} donc P(A) = 12. B = {4 ; 5 ; 6} donc P(B) = 12. A ∩ B = {4 ; 6} donc P(A ∩ B) = 26 = 13.
b. PA(B) = (1/3) ÷ (1/2) = 23.
c. P(A) × P(B) = 14 ≠ 13. Les événements ne sont pas indépendants (on le voit aussi car PA(B) = 23 ≠ P(B)).
6 Vrai ou faux ? ★★★
a. Faux. PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A) et PB(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B) : elles sont égales seulement si P(A) = P(B) (ou si P(A ∩ B) = 0). Contre-exemple de l’exercice 1 : 34 ≠ 914.
b. Vrai. A ∩ B est inclus dans A.
c. Faux. Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0 alors que P(A) × P(B) ≠ 0.
d. Vrai, propriété du cours : A ∩ B et A ∩ B̄ partagent A.
7 Un jeu de cartes ★★★
a. P(R) = 432 = 18 ; P(C) = 832 = 14 ; P(R ∩ C) = 132 (un seul roi de cœur).
b. 18 × 14 = 132 = P(R ∩ C) : indépendants.
c. PC(R) = (1/32) ÷ (1/4) = 18 = P(R) : savoir que la carte est un cœur ne change pas la chance que ce soit un roi.
8 Tirage sans remise ★★★
a. Après une rouge, il reste 4 rouges et 3 vertes : PR₁(R₂) = 47. Après une verte, il reste 5 rouges et 2 vertes : PV₁(R₂) = 57.
b. P(R₁ ∩ R₂) = 58 × 47 = 2056 = 514. P(V₁ ∩ V₂) = 38 × 27 = 656 = 328.
c. Deux couleurs différentes : on passe par le contraire. 1 − 514 − 328 = 2828 − 1028 − 328 = 1528. Vérification par les deux chemins : 1556 + 1556 = 3056 = 1528.
9 Deux machines ★★★
b. D’après la formule des probabilités totales : P(D) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
c. PD(B) = 0,0200,032 = 58 = 0,625. Bien que B produise moins de pièces, elle fournit 62,5 % des pièces défectueuses.
10 Sondage et lecture ★★★
a. Femmes lectrices : 0,4 × 300 = 120 ; non lectrices : 180. Hommes : 200, dont 110 lecteurs et 90 non lecteurs. Total des lecteurs : 230.
| L | L̄ | Total | |
|---|---|---|---|
| Femmes | 120 | 180 | 300 |
| Hommes | 110 | 90 | 200 |
| Total | 230 | 270 | 500 |
b. P(L) = 230500 = 2350.
c. PL(F) = 120230 = 1223.
d. PF(L) = 0,4 et P(L) = 0,46 : différents, donc F et L ne sont pas indépendants.
11 Construire des événements indépendants ★★★
P(A ∩ B) = 0,3 × 0,5 = 0,15. P(A ∪ B) = 0,3 + 0,5 − 0,15 = 0,65. P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B) = 0,35, ou encore P(Ā) × P(B̄) = 0,7 × 0,5 = 0,35 : les deux calculs concordent, ce qui illustre que Ā et B̄ sont indépendants.
12 Trouver une probabilité inconnue ★★★
Posons p = P(B). Par indépendance, P(A ∩ B) = 0,4 p. Donc P(A ∪ B) = 0,4 + p − 0,4 p = 0,4 + 0,6 p = 0,7, d’où 0,6 p = 0,3 et p = 0,5. Vérification : 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.
13 Deux lancers francs ★★★
a. 0,7 × 0,7 = 0,49.
b. Deux chemins : réussi puis raté, ou raté puis réussi : 2 × 0,7 × 0,3 = 0,42.
c. Contraire de « aucune réussite » : 1 − 0,3 × 0,3 = 1 − 0,09 = 0,91. Contrôle : 0,49 + 0,42 = 0,91.
14 Une pièce truquée ★★★
a. Contraire : trois faces, de probabilité 0,4³ = 0,064. Donc 1 − 0,064 = 0,936.
b. Il y a trois chemins (PPF, PFP, FPP), chacun de probabilité 0,6² × 0,4 = 0,144. Donc 3 × 0,144 = 0,432.
15 Trois moyens de transport ★★★
a. Bus, vélo, pied forment une partition. P(R) = 0,5 × 0,10 + 0,3 × 0,04 + 0,2 × 0,05 = 0,050 + 0,012 + 0,010 = 0,072.
b. PR(bus) = 0,0500,072 = 2536 ≈ 0,694.
16 Deux urnes ★★★
a. P(R) = 12 × 35 + 12 × 15 = 310 + 110 = 410 = 25.
b. PR(U₁) = (3/10) ÷ (2/5) = 34.
17 Un test de dépistage ★★★
b. P(T) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
c. PT(M) = 0,0190,117 = 19117 ≈ 0,162. Moins de 17 % des tests positifs correspondent à un malade : la maladie étant rare, la plupart des positifs sont de faux positifs. Un test positif doit être confirmé.
18 Un jeu de questions ★★★
a. P(J) = 0,5 × 0,9 + 0,3 × 0,6 + 0,2 × 0,3 = 0,45 + 0,18 + 0,06 = 0,69.
b. PJ(facile) = 0,450,69 = 1523 ≈ 0,652.
c. P(J̄) = 1 − 0,69 = 0,31. P(difficile ∩ J̄) = 0,2 × 0,7 = 0,14. Donc PJ̄(difficile) = 0,140,31 = 1431 ≈ 0,452.
19 Paramètre à retrouver ★★★
Posons x = PA(B). Formule des probabilités totales : P(B) = P(A) × x + P(Ā) × PĀ(B) = 0,5 x + 0,5 × 0,2 = 0,5 x + 0,1. Donc 0,5 x + 0,1 = 0,35, soit x = 0,5.
Comme PA(B) = 0,5 ≠ P(B) = 0,35, A et B ne sont pas indépendants.
20 Familles de deux enfants ★★★
Les quatre issues FF, FG, GF, GG ont chacune la probabilité 14.
a. P(FF) = 14.
b. « Au moins une fille » = {FF, FG, GF}, de probabilité 34. P = (1/4) ÷ (3/4) = 13.
c. « L’aînée est une fille » = {FF, FG}, de probabilité 12. P = (1/4) ÷ (1/2) = 12.
Les deux informations « au moins une fille » et « l’aînée est une fille » ne se valent pas : l’information précise ne réduit pas l’univers de la même façon.
21 Combien de lancers ? ★★★
Les lancers sont indépendants. La probabilité de n’obtenir aucun 6 en n lancers est (56)n. On cherche 1 − (56)n > 0,99, c’est-à-dire (56)n < 0,01.
À la calculatrice : (5/6)25 ≈ 0,0105 > 0,01 ; (5/6)26 ≈ 0,0087 < 0,01. La suite (5/6)n étant décroissante, le plus petit entier est n = 26.
22 Démonstration : indépendance et contraire ★★★
Par la loi du contraire (loi de De Morgan), Ā ∩ B̄ est le contraire de A ∪ B. Donc P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B). Par indépendance, P(A ∩ B) = P(A) × P(B), donc P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A) − P(B) + P(A) × P(B) = (1 − P(A)) × (1 − P(B)) = P(Ā) × P(B̄). Ā et B̄ sont indépendants.
23 Deux machines, retour ★★★
P(M₁ ∩ D) = 0,45 × 0,04 = 0,018. P(M₂ ∩ D) = 0,55 × 0,06 = 0,033. P(D) = 0,018 + 0,033 = 0,051. PD(M₁) = 0,0180,051 = 617 ≈ 0,353.
24 Tableau d’indépendance ★★★
a. P(S ∩ C) = 0,35 × 0,6 = 0,21 ; effectif = 0,21 × 200 = 42.
b. S : 0,35 × 200 = 70 ; C : 120. Donc S et non C : 70 − 42 = 28 ; non S et C : 120 − 42 = 78 ; non S non C : 200 − 70 − 78 = 52.
| C | C̄ | Total | |
|---|---|---|---|
| S | 42 | 28 | 70 |
| S̄ | 78 | 52 | 130 |
| Total | 120 | 80 | 200 |
Contrôle : 130 × 80 ÷ 200 = 52.