Une série statistique, ce sont des données brutes. Pour en tirer une information, il faut les résumer par quelques nombres (position et dispersion), les dessiner (boîtes à moustaches), les comparer à d’autres séries, mesurer des évolutions en pourcentage et, surtout, garder son esprit critique : un chiffre peut être exact et pourtant trompeur. Ce chapitre te donne les outils pour lire, comparer et juger des données chiffrées.
1. Vocabulaire et tableaux de données
Population, individu, caractère
Une population est l’ensemble des individus étudiés (des élèves, des magasins, des jours…). Un caractère est la propriété observée sur chaque individu. Il est quantitatif s’il se mesure par un nombre (temps de trajet, note) et qualitatif sinon (mode de transport, couleur). L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la prennent ; sa fréquence est l’effectif divisé par l’effectif total, souvent donnée en pourcentage.
Une population est l’ensemble des individus étudiés (des élèves, des magasins, des jours…). Un caractère est la propriété observée sur chaque individu. Il est quantitatif s’il se mesure par un nombre (temps de trajet, note) et qualitatif sinon (mode de transport, couleur). L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la prennent ; sa fréquence est l’effectif divisé par l’effectif total, souvent donnée en pourcentage.
Exemple
On interroge 40 élèves sur le nombre de livres lus pendant un trimestre. Les résultats sont regroupés dans un tableau d’effectifs.
On interroge 40 élèves sur le nombre de livres lus pendant un trimestre. Les résultats sont regroupés dans un tableau d’effectifs.
| Livres lus | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 8 | 10 | 9 | 5 | 3 | 1 | 40 |
| Fréquence (%) | 10,0 | 20,0 | 25,0 | 22,5 | 12,5 | 7,5 | 2,5 | 100 |
Par exemple, la fréquence de la valeur 3 est 940 = 0,225 = 22,5 %.
Diagramme en barres : la hauteur de chaque barre est l’effectif de la valeur.
Piège
Un pourcentage n’a de sens que si l’on connaît la population de référence : « 50 % » de 4 personnes, ce n’est pas la même information que 50 % de 4 000 personnes. Précise toujours : « pourcentage de quoi ? ».
Un pourcentage n’a de sens que si l’on connaît la population de référence : « 50 % » de 4 personnes, ce n’est pas la même information que 50 % de 4 000 personnes. Précise toujours : « pourcentage de quoi ? ».
2. Indicateurs de position : moyenne, médiane, quartiles
Moyenne
La moyenne d’une série de valeurs x1, x2, …, xn est m = x₁+x₂+…+xₙn. Si la valeur xi a l’effectif ni (effectif total N), alors m = n₁x₁+n₂x₂+…+nₚxₚN : c’est une moyenne pondérée.
La moyenne d’une série de valeurs x1, x2, …, xn est m = x₁+x₂+…+xₙn. Si la valeur xi a l’effectif ni (effectif total N), alors m = n₁x₁+n₂x₂+…+nₚxₚN : c’est une moyenne pondérée.
Médiane
La médiane Me partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont ≤ Me et au moins la moitié sont ≥ Me. Si l’effectif n est impair, c’est la valeur centrale ; s’il est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales.
La médiane Me partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont ≤ Me et au moins la moitié sont ≥ Me. Si l’effectif n est impair, c’est la valeur centrale ; s’il est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales.
Quartiles
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Calculer les quartiles d’une série de n valeurs rangées
- Range les valeurs dans l’ordre croissant.
- Q1 est la valeur de rang n × 0,25, arrondi au rang entier supérieur.
- Q3 est la valeur de rang n × 0,75, arrondi au rang entier supérieur.
Exemple : les temps de trajet
Temps de trajet (en minutes) de 12 élèves, déjà rangés : 5, 8, 10, 12, 15, 15, 18, 20, 25, 30, 35, 50.
Temps de trajet (en minutes) de 12 élèves, déjà rangés : 5, 8, 10, 12, 15, 15, 18, 20, 25, 30, 35, 50.
- Moyenne : 243 ÷ 12 = 20,25 min.
- Médiane : n = 12 est pair ; les 6ᵉ et 7ᵉ valeurs sont 15 et 18, donc Me = 15 + 182 = 16,5 min.
- Q1 : 12 × 0,25 = 3, c’est un entier, donc rang 3 : Q1 = 10 min.
- Q3 : 12 × 0,75 = 9, donc rang 9 : Q3 = 25 min.
On lit : au moins 25 % des élèves mettent 10 min ou moins, au moins 75 % mettent 25 min ou moins.
Étendue, écart interquartile, déciles
- L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : ici 50 − 5 = 45 min.
- L’écart interquartile est Q3 − Q1 : ici 25 − 10 = 15 min. Il mesure la largeur de l’intervalle qui contient la moitié « centrale » des données.
- Les déciles D1 et D9 se calculent comme les quartiles avec 10 % et 90 % : D1 est la plus petite valeur telle qu’au moins 10 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Moyenne ou médiane ?
La moyenne tient compte de toutes les valeurs, y compris les valeurs extrêmes : elle est sensible. La médiane, elle, ne bouge presque pas si une valeur extrême change : elle est robuste. Ici la moyenne (20,25 min) est supérieure à la médiane (16,5 min) à cause du trajet de 50 min.
La moyenne tient compte de toutes les valeurs, y compris les valeurs extrêmes : elle est sensible. La médiane, elle, ne bouge presque pas si une valeur extrême change : elle est robuste. Ici la moyenne (20,25 min) est supérieure à la médiane (16,5 min) à cause du trajet de 50 min.
3. Indicateurs de dispersion : variance et écart-type
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et pourtant être très différentes : l’une regroupée autour de la moyenne, l’autre très étalée. L’étendue et l’écart interquartile mesurent la dispersion à partir de valeurs particulières ; la variance et l’écart-type utilisent toutes les valeurs.
Variance et écart-type
Pour une série de moyenne m, la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V = (x₁−m)²+(x₂−m)²+…+(xₙ−m)²n = n₁(x₁−m)²+…+nₚ(xₚ−m)²N (avec effectifs).
L’écart-type est σ = √V. Il s’exprime dans la même unité que les valeurs.
Pour une série de moyenne m, la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V = (x₁−m)²+(x₂−m)²+…+(xₙ−m)²n = n₁(x₁−m)²+…+nₚ(xₚ−m)²N (avec effectifs).
L’écart-type est σ = √V. Il s’exprime dans la même unité que les valeurs.
Exemple détaillé
Série : 3, 5, 6, 10. Moyenne : 244 = 6.
Écarts à la moyenne : −3, −1, 0, 4. Carrés : 9, 1, 0, 16 (somme 26).
Variance : V = 264 = 6,5. Écart-type : σ = √6,5 ≈ 2,55.
Série : 3, 5, 6, 10. Moyenne : 244 = 6.
Écarts à la moyenne : −3, −1, 0, 4. Carrés : 9, 1, 0, 16 (somme 26).
Variance : V = 264 = 6,5. Écart-type : σ = √6,5 ≈ 2,55.
Avec des effectifs : les livres lus
La moyenne vaut m = 9640 = 2,4. La variance vaut V = 89,6040 ≈ 2,240, donc σ ≈ 1,50 livre. À la calculatrice, on saisit les valeurs et les effectifs en mode statistiques et on lit directement la moyenne et l’écart-type (σ ou « σx »).
La moyenne vaut m = 9640 = 2,4. La variance vaut V = 89,6040 ≈ 2,240, donc σ ≈ 1,50 livre. À la calculatrice, on saisit les valeurs et les effectifs en mode statistiques et on lit directement la moyenne et l’écart-type (σ ou « σx »).
Effet d’un changement affine
Si l’on remplace chaque valeur x par ax + b (a et b sont des constantes), alors la moyenne devient a × m + b et l’écart-type devient |a| × σ. Ajouter b décale la série mais ne change pas sa dispersion ; multiplier par a étire la dispersion dans la même proportion.
Si l’on remplace chaque valeur x par ax + b (a et b sont des constantes), alors la moyenne devient a × m + b et l’écart-type devient |a| × σ. Ajouter b décale la série mais ne change pas sa dispersion ; multiplier par a étire la dispersion dans la même proportion.
Exemple
Des températures ont pour moyenne 10 °C et pour écart-type 3 °C. En degrés Fahrenheit (F = 1,8 C + 32), la moyenne est 1,8 × 10 + 32 = 50 °F et l’écart-type est 1,8 × 3 = 5,4 °F.
Des températures ont pour moyenne 10 °C et pour écart-type 3 °C. En degrés Fahrenheit (F = 1,8 C + 32), la moyenne est 1,8 × 10 + 32 = 50 °F et l’écart-type est 1,8 × 3 = 5,4 °F.
Interprétation
Un écart-type n’est « grand » ou « petit » que par rapport à la moyenne et au contexte. Une dispersion de 5 minutes est énorme pour un temps de trajet de 8 minutes et négligeable pour un voyage de 6 heures.
Un écart-type n’est « grand » ou « petit » que par rapport à la moyenne et au contexte. Une dispersion de 5 minutes est énorme pour un temps de trajet de 8 minutes et négligeable pour un voyage de 6 heures.
4. Les boîtes à moustaches
Boîte à moustaches (diagramme en boîte)
On la construit à partir de cinq nombres : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum. La boîte va de Q1 à Q3 avec un trait à la médiane ; les moustaches relient la boîte au minimum et au maximum. Tout est tracé sur une graduation régulière.
On la construit à partir de cinq nombres : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum. La boîte va de Q1 à Q3 avec un trait à la médiane ; les moustaches relient la boîte au minimum et au maximum. Tout est tracé sur une graduation régulière.
Boîte à moustaches des temps de trajet : 5 ; 10 ; 16,5 ; 25 ; 50 (en minutes).
Ce que raconte une boîte
- Environ un quart des valeurs est dans chaque « morceau » : moustache gauche, moitié gauche de la boîte, moitié droite de la boîte, moustache droite.
- La largeur de la boîte est l’écart interquartile : elle contient au moins la moitié centrale des données.
- Si la médiane est décentrée dans la boîte, ou une moustache beaucoup plus longue que l’autre, la série est asymétrique (ici, étalée vers les grandes valeurs).
Tracer une boîte à moustaches
- Range la série et calcule min, Q1, Me, Q3, max.
- Choisis une graduation qui contient toutes les valeurs.
- Trace le rectangle de Q1 à Q3, le trait de la médiane, puis les moustaches jusqu’au min et au max.
5. Comparer le même caractère sur plusieurs populations
Pour comparer, par exemple, les notes de deux classes à un même devoir, on dessine les deux boîtes sur la même graduation, l’une au-dessus de l’autre.
| Série | Minimum | Q1 | Médiane | Q3 | Maximum |
|---|---|---|---|---|---|
| Classe A | 6 | 10 | 12 | 14 | 18 |
| Classe B | 4 | 11 | 12 | 15 | 19 |
Rédiger une comparaison
- Position : compare les médianes (et/ou les moyennes). « La classe A a une médiane de 12, la classe B de 12. »
- Dispersion : compare les écarts interquartiles (et/ou les écarts-types) et les étendues. « Écart interquartile : 4 pour A, 4 pour B. »
- Conclusion en contexte : phrase qui répond à la question posée (classe plus homogène, plus forte, plus étalée…).
Application
Ici, les médianes sont identiques (12 et 12), mais l’écart interquartile est 4 pour A contre 4 pour B et l’étendue est 12 contre 15 : les deux classes ont un niveau comparable, mais la classe B est plus dispersée, donc moins homogène.
Ici, les médianes sont identiques (12 et 12), mais l’écart interquartile est 4 pour A contre 4 pour B et l’étendue est 12 contre 15 : les deux classes ont un niveau comparable, mais la classe B est plus dispersée, donc moins homogène.
Attention aux effectifs
Comparer des populations d’effectifs très différents oblige à raisonner en fréquences (pourcentages) et non en effectifs bruts.
Comparer des populations d’effectifs très différents oblige à raisonner en fréquences (pourcentages) et non en effectifs bruts.
Moyenne de plusieurs sous-populations
Si une population est réunie à partir de groupes d’effectifs n1, n2… et de moyennes m1, m2…, la moyenne globale est la moyenne pondérée m = n₁m₁+n₂m₂+…n₁+n₂+…. On ne fait jamais la moyenne simple des moyennes sauf si les effectifs sont égaux.
Si une population est réunie à partir de groupes d’effectifs n1, n2… et de moyennes m1, m2…, la moyenne globale est la moyenne pondérée m = n₁m₁+n₂m₂+…n₁+n₂+…. On ne fait jamais la moyenne simple des moyennes sauf si les effectifs sont égaux.
6. Comparer deux caractères d’une même série
Quand chaque individu est décrit par deux caractères, on range les données dans un tableau à double entrée (tableau croisé). Exemple : 120 abonnés d’une médiathèque, selon leur âge et leur emprunt préféré.
| Livres | Films | Total | |
|---|---|---|---|
| Adultes | 42 | 28 | 70 |
| Jeunes | 20 | 30 | 50 |
| Total | 62 | 58 | 120 |
Fréquences marginales et conditionnelles
Les fréquences marginales se calculent par rapport à l’effectif total, à partir des totaux en marge du tableau. Une fréquence conditionnelle se calcule par rapport à un sous-groupe : on divise par l’effectif de la ligne (ou de la colonne) choisie.
Les fréquences marginales se calculent par rapport à l’effectif total, à partir des totaux en marge du tableau. Une fréquence conditionnelle se calcule par rapport à un sous-groupe : on divise par l’effectif de la ligne (ou de la colonne) choisie.
Exemple
- Fréquence marginale des adultes : 70120 ≈ 58,3 %.
- Parmi les adultes, la fréquence de ceux qui préfèrent les livres : 4270 = 60,0 %.
- Parmi les jeunes : 2050 = 40,0 %.
Les adultes préfèrent donc nettement plus souvent les livres que les jeunes : les deux caractères semblent liés.
Quel dénominateur ?
« Parmi les adultes, 60 % préfèrent les livres » n’a rien à voir avec « parmi ceux qui préfèrent les livres, 67,7 % sont des adultes ». Le mot « parmi » désigne le groupe qui sert de dénominateur.
« Parmi les adultes, 60 % préfèrent les livres » n’a rien à voir avec « parmi ceux qui préfèrent les livres, 67,7 % sont des adultes ». Le mot « parmi » désigne le groupe qui sert de dénominateur.
Un caractère quantitatif selon un caractère qualitatif
On peut aussi comparer une grandeur (temps de trajet, note…) selon une catégorie (mode de transport, classe) : on calcule alors la moyenne, la médiane et l’écart interquartile par catégorie, puis on compare comme dans la partie 5.
On peut aussi comparer une grandeur (temps de trajet, note…) selon une catégorie (mode de transport, classe) : on calcule alors la moyenne, la médiane et l’écart interquartile par catégorie, puis on compare comme dans la partie 5.
7. Évolutions et pourcentages
Taux d’évolution et coefficient multiplicateur
Si une valeur passe d’une valeur de départ Vdépart à une valeur d’arrivée Varrivée, son taux d’évolution est t = Varrivée − VdépartVdépart. Le coefficient multiplicateur est CM = VarrivéeVdépart = 1 + t. Ainsi Varrivée = Vdépart × CM.
Si une valeur passe d’une valeur de départ Vdépart à une valeur d’arrivée Varrivée, son taux d’évolution est t = Varrivée − VdépartVdépart. Le coefficient multiplicateur est CM = VarrivéeVdépart = 1 + t. Ainsi Varrivée = Vdépart × CM.
Exemples
- Une hausse de 8 % : CM = 1 + 0,08 = 1,08. Une baisse de 15 % : CM = 1 − 0,15 = 0,85.
- Un prix passe de 40 € à 46 € : t = 640 = 0,15 : hausse de 15 %.
Évolutions successives
Les coefficients multiplicateurs se multiplient : CMglobal = CM1 × CM2. On n’additionne jamais les taux.
Exemple : +10 % puis +20 % donne 1,10 × 1,20 = 1,32, soit +32 % (et non +30 %).
Les coefficients multiplicateurs se multiplient : CMglobal = CM1 × CM2. On n’additionne jamais les taux.
Exemple : +10 % puis +20 % donne 1,10 × 1,20 = 1,32, soit +32 % (et non +30 %).
Évolution réciproque
L’évolution qui annule une évolution de coefficient CM a pour coefficient 1CM.
Exemple : après +25 % (CM = 1,25), il faut CM′ = 11,25 = 0,8 : une baisse de 20 % (et non 25 %).
L’évolution qui annule une évolution de coefficient CM a pour coefficient 1CM.
Exemple : après +25 % (CM = 1,25), il faut CM′ = 11,25 = 0,8 : une baisse de 20 % (et non 25 %).
Indice base 100
Choisir une valeur de référence et lui donner l’indice 100 permet de suivre une évolution. Si une valeur est passée de 250 à 275, son indice est 100 × 275250 = 110 : elle a augmenté de 10 %.
Choisir une valeur de référence et lui donner l’indice 100 permet de suivre une évolution. Si une valeur est passée de 250 à 275, son indice est 100 × 275250 = 110 : elle a augmenté de 10 %.
Points de pourcentage
Lorsqu’un taux (par exemple un taux de chômage) passe de 8 % à 6 %, on parle d’une baisse de 2 points de pourcentage. En valeur relative, la baisse est de 28 = 25 %. Ce sont deux informations différentes.
Lorsqu’un taux (par exemple un taux de chômage) passe de 8 % à 6 %, on parle d’une baisse de 2 points de pourcentage. En valeur relative, la baisse est de 28 = 25 %. Ce sont deux informations différentes.
Taux d’évolution moyen
Si une grandeur évolue d’un coefficient global CM sur n périodes identiques, le coefficient par période est CM1/n, c’est-à-dire la racine n-ième de CM. Exemple : une population multipliée par 1,44 en 2 ans a un coefficient annuel √1,44 = 1,2, soit +20 % par an en moyenne.
Si une grandeur évolue d’un coefficient global CM sur n périodes identiques, le coefficient par période est CM1/n, c’est-à-dire la racine n-ième de CM. Exemple : une population multipliée par 1,44 en 2 ans a un coefficient annuel √1,44 = 1,2, soit +20 % par an en moyenne.
8. Lire des données avec esprit critique
Un chiffre est une information, pas une preuve. Voici les questions à se poser devant une statistique.
- Qui a été interrogé ? Un échantillon doit représenter la population visée. Sonder 30 personnes à la sortie d’une salle de sport ne dit rien sur « les Français ».
- Combien de personnes ? Un pourcentage sans effectif est fragile : 100 % de réussite sur 3 essais n’est pas très informatif.
- Moyenne ou médiane ? Les revenus, les prix de l’immobilier ou les temps d’attente comportent des valeurs extrêmes : la moyenne peut être très éloignée de la situation « typique ».
- Le graphique est-il honnête ? Un axe vertical qui ne commence pas à zéro, des graduations irrégulières ou des échelles différentes sur deux graphiques exagèrent ou masquent un écart.
- Corrélation n’est pas causalité. Deux phénomènes qui varient ensemble ne sont pas forcément liés par une cause : une troisième cause peut agir sur les deux.
- Les sous-groupes racontent parfois l’inverse du total (paradoxe de Simpson).
Le paradoxe de Simpson
Deux lycées présentent leur taux d’admission selon deux filières. Lycée Alpha : filière générale 19 admis sur 20 (95 %), filière technologique 30 sur 80 (37,5 %). Lycée Bêta : générale 72 sur 80 (90 %), technologique 5 sur 20 (25 %). Alpha fait mieux dans chaque filière, mais globalement Alpha admet 49 candidats sur 100 (49 %) contre 77 sur 100 (77 %) pour Bêta ! La cause : les deux lycées n’ont pas la même répartition entre les filières. Moralité : pour comparer, regarde aussi les sous-groupes.
Deux lycées présentent leur taux d’admission selon deux filières. Lycée Alpha : filière générale 19 admis sur 20 (95 %), filière technologique 30 sur 80 (37,5 %). Lycée Bêta : générale 72 sur 80 (90 %), technologique 5 sur 20 (25 %). Alpha fait mieux dans chaque filière, mais globalement Alpha admet 49 candidats sur 100 (49 %) contre 77 sur 100 (77 %) pour Bêta ! La cause : les deux lycées n’ont pas la même répartition entre les filières. Moralité : pour comparer, regarde aussi les sous-groupes.
Mathbot te conseille
Devant un chiffre spectaculaire, pose-toi toujours trois questions : de quoi parle-t-on exactement, sur combien de personnes, et par rapport à quoi ?
Devant un chiffre spectaculaire, pose-toi toujours trois questions : de quoi parle-t-on exactement, sur combien de personnes, et par rapport à quoi ?
À retenir
- Position : moyenne, médiane, quartiles Q1 et Q3 (au moins 25 % et 75 % des valeurs sont ≤). Dispersion : étendue, écart interquartile Q3 − Q1, variance et écart-type σ.
- La médiane et l’écart interquartile sont robustes ; la moyenne et l’écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes.
- Avec ax + b : moyenne → a·m + b ; écart-type → |a|·σ.
- Boîte à moustaches : min, Q1, Me, Q3, max sur une même graduation. Pour comparer : position, dispersion, conclusion en contexte.
- Tableau croisé : fréquences marginales (total) et conditionnelles (sous-groupe) ; toujours préciser « parmi qui ? ».
- Évolution : t = (Varrivée − Vdépart) ÷ Vdépart ; CM = 1 + t ; évolutions successives : on multiplie les CM ; réciproque : 1 ÷ CM.
- Esprit critique : échantillon, effectifs, moyenne ou médiane, axes du graphique, causalité, sous-groupes.