Le mouvement d’un ressort, la hauteur de la marée, le son d’une note de musique, le courant de ta prise électrique : tous ces phénomènes se répètent à intervalles réguliers. Les mathématiciens les modélisent avec deux fonctions, le cosinus et le sinus. En Première, tu les as définis avec le cercle trigonométrique. En Terminale, tu les traites enfin comme de vraies fonctions : tu les dérives, tu calcules des limites, tu étudies des fonctions construites avec elles et tu résous des équations et inéquations. Ce chapitre rassemble tous ces outils.
1. Rappels : radian, cercle trigonométrique, formules
Le radian est l’unité d’angle telle que 180° = π rad. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I, J). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d’une montre). À tout réel x correspond un unique point M(x) du cercle, obtenu en « enroulant » la droite réelle ; ses coordonnées sont (cos x ; sin x).
- Pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1.
- Pour tout entier relatif k : cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- Conversion : α degrés = α × π180 radians.
Valeurs remarquables, à savoir retrouver rapidement avec le cercle :
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | −1 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 |
| Angle | cosinus | sinus |
|---|---|---|
| −x | cos x | − sin x |
| π − x | − cos x | sin x |
| π + x | − cos x | − sin x |
| π2 − x | sin x | cos x |
| π2 + x | − sin x | cos x |
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ; cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ; sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.
- cos 2x = cos² x − sin² x = 2cos² x − 1 = 1 − 2sin² x ; sin 2x = 2 sin x cos x.
Dès qu’un angle est donné en radians (avec π, ou sans unité), la calculatrice doit être en mode RAD. En mode DEG, sin(π) ne vaut pas 0 mais environ 0,055. Et sur une courbe, l’axe des abscisses est gradué en radians.
2. Les fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité
La fonction cosinus est la fonction x ↦ cos x, la fonction sinus est x ↦ sin x. Toutes deux sont définies sur ℝ et prennent leurs valeurs dans [−1 ; 1].
- Une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 est paire si f(−x) = f(x) pour tout x de D (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), impaire si f(−x) = −f(x) (courbe symétrique par rapport à l’origine).
- Une fonction f définie sur ℝ est périodique de période T (avec T > 0) si f(x + T) = f(x) pour tout réel x. Sa courbe est invariante par la translation de vecteur T i.
- cos est paire : cos(−x) = cos x. sin est impaire : sin(−x) = −sin x.
- cos et sin sont périodiques de période 2π : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
Démonstration. Les points M(x) et M(−x) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées. D’où cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x. Enfin M(x + 2π) = M(x) car un tour complet ramène au même point. ∎
Pour étudier une fonction paire (ou impaire) et périodique de période 2π, on l’étudie sur [0 ; π], puis on obtient [−π ; π] par symétrie (axe des ordonnées ou origine) et ℝ entier par translations de vecteur 2π i, 4π i, etc. Cela divise par quatre le travail.
Voici les courbes de cosinus et de sinus sur l’intervalle [−2π ; 2π] :
Elles sont décalées l’une de l’autre : sin x = cos(x − π2), donc la courbe du sinus s’obtient en translatant celle du cosinus de π2 vers la droite.
- cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ ; sin x = 0 ⇔ x = kπ.
- cos x = 1 ⇔ x = 2kπ ; cos x = −1 ⇔ x = π + 2kπ.
- sin x = 1 ⇔ x = π2 + 2kπ ; sin x = −1 ⇔ x = −π2 + 2kπ.
- Soit f(x) = x cos x. Pour tout réel x, f(−x) = (−x) cos(−x) = −x cos x = −f(x) : f est impaire.
- Soit g(x) = sin 2x. Alors g(x + π) = sin(2x + 2π) = sin 2x = g(x) : g est périodique de période π (et même de plus petite période π).
- Plus généralement, x ↦ cos(ωx + φ) et x ↦ sin(ωx + φ), avec ω > 0, sont périodiques de période 2πω.
Une fonction peut n’être ni paire ni impaire. Par exemple h(x) = cos x + sin x : h(0) = 1 donc h n’est pas impaire, et h(π2) = 1 ≠ h(−π2) = −1, donc h n’est pas paire. Pour le prouver, un seul contre-exemple suffit.
3. Limites de référence
limx→0 sin xx = 1 et limx→0 cos x − 1x = 0.
Démonstration. Soit x dans ]0 ; π/2[. Sur le cercle trigonométrique, l’aire du triangle OIM est 12 sin x, celle du secteur d’angle x est 12 x, celle du triangle OIT (T étant le point de la tangente en I tel que (OT) passe par M) est 12 tan x. Ces aires sont rangées dans cet ordre, donc sin x ≤ x ≤ tan x. En divisant par sin x > 0 : 1 ≤ xsin x ≤ 1cos x, soit cos x ≤ sin xx ≤ 1. Quand x tend vers 0, cos x tend vers 1 : d’après le théorème des gendarmes, sin xx tend vers 1. Comme sin(−x)−x = sin xx (fonction paire), le résultat est le même pour x < 0.
Pour la seconde limite, on utilise cos x − 1 = −2 sin²(x/2) (formule de duplication). En posant y = x/2 (qui tend vers 0 avec x), on obtient cos x − 1x = −2 sin² y2y = −sin y × sin yy. Le premier facteur tend vers 0, le second vers 1 : le produit tend vers 0. ∎
Pour calculer limx→0 sin(ax)x (avec a ≠ 0), on écrit sin(ax)x = a × sin(ax)ax et on pose u = _ax_, qui tend vers 0. On obtient a × 1 = a.
limx→0 sin 3x5x = 35 × lim sin 3x3x = 35 × 1 = 35. De même limx→0 1 − cos xx² = 12 car, avec y = x/2, 1 − cos x = 2 sin² y et x² = 4y², donc 1 − cos xx² = 2 sin² y4y² = 12 × (sin yy)², qui tend vers 12 × 1² = 12.
Les fonctions cos et sin n’ont pas de limite en +∞ ni en −∞ : elles oscillent indéfiniment entre −1 et 1. Mais, pour tout réel x ≠ 0, comme |sin x| ≤ 1, on a −1/|x| ≤ sin xx ≤ 1/|x|. Le théorème des gendarmes donne donc limx→+∞ sin xx = 0, et de même pour cos xx.
Pourquoi sin n’a pas de limite en +∞ ? La suite (xn) = (2nπ) tend vers +∞ et sin(2nπ) = 0, alors que la suite (2nπ + π2) tend aussi vers +∞ avec sin(2nπ + π2) = 1. Les deux images ne tendent pas vers la même valeur : il n’y a pas de limite.
On ne peut pas écrire « limx→+∞ sin x = ∞ » ni « = 0 » : la fonction sinus n’a pas de limite. En revanche, sin xx (le dénominateur tend vers l’infini) a bien pour limite 0.
4. Dérivées de cosinus et de sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et, pour tout réel x : cos′(x) = −sin x et sin′(x) = cos x.
Démonstration. Soit a un réel et h ≠ 0. D’après les formules d’addition, sin(a+h) − sin ah = sin a × cos h − 1h + cos a × sin hh. Quand h tend vers 0, cos h − 1h tend vers 0 et sin hh tend vers 1 : le taux d’accroissement tend vers cos a. Donc sin′(a) = cos a. De même cos(a+h) − cos ah = cos a × cos h − 1h − sin a × sin hh, qui tend vers −sin a. ∎
- Si a et b sont deux réels : (cos(_ax_ + b))′ = −a sin(_ax_ + b) et (sin(_ax_ + b))′ = a cos(_ax_ + b).
- Plus généralement, si u est dérivable : (cos u)′ = −u′ sin u et (sin u)′ = u′ cos u.
On reconnaît la forme (somme, produit, quotient, composée), puis on applique les formules usuelles : (_uv_)′ = u′v + _uv_′ ; (uv)′ = u′v − uv′v² ; (un)′ = n u′ un−1.
- f(x) = x sin x : produit de u = x et v = sin x. f′(x) = 1 × sin x + x cos x = sin x + x cos x.
- g(x) = cos(3x − π4) : g′(x) = −3 sin(3x − π4).
- h(x) = sin²x : c’est u² avec u = sin x, donc h′(x) = 2 sin x cos x = sin 2x.
- k(x) = 12 + cos x : c’est 1v avec v = 2 + cos x et v′ = −sin x, donc k′(x) = −v′v² = sin x(2 + cos x)².
La tangente à la courbe de sin au point d’abscisse π3 a pour équation y = sin′(π3)(x − π3) + sin π3 = 12(x − π3) + √32.
Dériver deux fois ramène au signe près à la fonction de départ : cos″ = −cos et sin″ = −sin. Ces fonctions vérifient donc y″ + y = 0. C’est la signature des mouvements oscillants (ressort, pendule), que tu retrouveras en physique !
5. Étudier une fonction trigonométrique
- Domaine de définition.
- Parité et périodicité : on en déduit un intervalle d’étude réduit (souvent [0 ; π]).
- Dérivée f′ : on la factorise (formules de duplication, ou changement de variable X = cos x).
- Signe de f′ sur l’intervalle d’étude, à l’aide du cercle ou de la courbe de cos / sin.
- Tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et aux points où f′ s’annule.
- Courbe, complétée par symétrie et translations.
- Domaine : ℝ. Parité : f(−x) = −sin x − 12 sin 2x = −f(x) : f est impaire. Période : f(x + 2π) = f(x). On étudie f sur [0 ; π].
- Dérivée : f′(x) = cos x + cos 2x = cos x + 2cos² x − 1 = (2cos x − 1)(cos x + 1).
- Signe : cos x + 1 ≥ 0 pour tout x, et il ne s’annule qu’en π sur [0 ; π]. Et 2cos x − 1 > 0 ⇔ cos x > 12 ⇔ x ∈ [0 ; π/3[ sur [0 ; π]. Donc f′ est positive sur [0 ; π/3] et négative sur [π/3 ; π].
- Valeurs : f(0) = 0 ; f(π3) = √32 + 12 × √32 = 3√34 ≈ 1,30 ; f(π) = 0 + 12 sin 2π = 0.
| x | 0 | π3 | π |
|---|---|---|---|
| signe de f′(x) | + | 0 − | 0 |
| variations de f | 0 ↗ | 3√34 ↘ | 0 |
On trace la courbe sur [0 ; π], puis on complète par symétrie par rapport à O (fonction impaire) et par translations de vecteur 2π i :
Quand on factorise f′, ne pas oublier qu’il faut étudier le signe de chaque facteur séparément sur l’intervalle d’étude, puis conclure avec un tableau de signes. Un facteur du type cos x + 1 est toujours positif ou nul : il ne change jamais le signe.
6. Équations trigonométriques
- cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ.
- sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.
- Si |a| > 1, les équations cos x = a et sin x = a n’ont aucune solution.
Pourquoi ? Résoudre cos x = cos α, c’est chercher les points du cercle ayant la même abscisse que M(α) : ce sont M(α) et son symétrique M(−α) par rapport à l’axe des abscisses. Pour le sinus, on cherche les points de même ordonnée : M(α) et M(π − α). On ajoute ensuite tous les tours complets 2kπ.
- Isole cos(…) ou sin(…) pour obtenir une équation de base.
- Repère un angle α tel que cos α (ou sin α) soit égal à la valeur obtenue (valeur remarquable).
- Écris les deux familles de solutions, puis résous l’équation obtenue en x (ou en l’expression intérieure).
- Si l’énoncé donne un intervalle, fais varier k pour ne garder que les solutions de cet intervalle.
sin x = sin π6 ⇔ x = π6 + 2kπ ou x = 5π6 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[ : S = {π6 ; 5π6}.
On sait que cos 3π4 = −√22. Donc 2x = 3π4 + 2kπ ou 2x = −3π4 + 2kπ, c’est-à-dire x = 3π8 + kπ ou x = −3π8 + kπ. Dans [0 ; π] : x = 3π8 (avec k = 0 dans la première famille) ou x = −3π8 + π = 5π8. S = {3π8 ; 5π8}. Remarque : en divisant par 2, la période devient π (et non 2π).
Résolvons 2cos² x − 3cos x + 1 = 0 dans [−π ; π]. On pose X = cos x : 2X² − 3X + 1 = 0, de discriminant 9 − 8 = 1, donc X = 3 − 14 = 12 ou X = 3 + 14 = 1. Alors cos x = 12 ⇔ x = ±π3 ; cos x = 1 ⇔ x = 0. S = {−π3 ; 0 ; π3}.
Deux cas. (1) x + π3 = x + 2kπ : impossible, car π3 n’est pas un multiple de 2π. (2) x + π3 = π − x + 2kπ ⇔ 2x = 2π3 + 2kπ ⇔ x = π3 + kπ. Donc S = {π3 + kπ, k ∈ ℤ}.
Ne t’arrête jamais à la première solution donnée par la calculatrice : il y en a presque toujours deux par tour. Quand l’angle est multiplié (cos 2x, sin 3x), c’est après avoir écrit les deux familles qu’on divise, y compris le terme 2kπ.
7. Inéquations trigonométriques
Pour résoudre cos x ≥ a ou sin x < a, on lit la réponse sur le cercle (quel arc est à droite de la verticale X = a, ou au-dessus de l’horizontale Y = a) ou sur la courbe (là où elle est au-dessus ou en dessous de la droite y = a).
- Résous l’équation associée dans l’intervalle demandé : ses solutions sont les bornes.
- Repère, sur le cercle ou sur la courbe, quel côté vérifie l’inégalité (teste une valeur si besoin).
- Écris l’ensemble solution avec des intervalles, en précisant si les bornes sont incluses (inégalité large) ou non (inégalité stricte).
cos x = 12 ⇔ x = ±π3 dans cet intervalle. La courbe du cosinus est au-dessus de la droite y = 12 autour de 0. Donc S = [−π/3 ; π/3].
sin x = √22 ⇔ x = π4 ou x = 3π4. Entre ces deux valeurs, le sinus est au-dessus de √22 (il atteint 1 en π2). Inégalité stricte : S = ]π/4 ; 3π/4[.
Avec X = sin x : 2X² − X − 1 = 2(X − 1)(X + 12), de racines 1 et −12. Cette expression est positive si X < −12 ou X > 1. Or sin x > 1 est impossible. Il reste sin x < −12, c’est-à-dire x entre 7π6 et 11π6 : S = ]7π/6 ; 11π/6[.
Une inéquation ne se résout pas « comme une équation » : trouver les deux bornes ne suffit pas, il faut décider de quel arc (entre les deux points, ou à l’extérieur) vérifie l’inégalité. Et le résultat dépend de l’intervalle : sur ℝ, on obtient des familles d’intervalles qui se répètent tous les 2π.
8. Fonctions sinusoïdales et modélisation
Une fonction sinusoïdale est une fonction de la forme f(t) = A cos(ωt + φ) + C (ou avec sin), avec A ≠ 0 et ω > 0. On appelle amplitude |A|, pulsation ω, période T = 2πω et phase φ.
- La fonction f oscille entre C − |A| et C + |A| : son minimum est C − |A| et son maximum est C + |A|.
- Sa dérivée est f′(t) = −A ω sin(ωt + φ) : la « vitesse » maximale vaut |A| ω.
- Elle est périodique de période 2πω : on étudie sur une seule période.
Une grande roue de rayon 10 m, dont le centre est à 12 m du sol, fait un tour en 40 s. La hauteur de la nacelle (en m) est h(t) = 12 − 10 cos(πt20), avec t en secondes (à t = 0, la nacelle est au point le plus bas). Période : 2π ÷ π20 = 40 s. Minimum : 12 − 10 = 2 m ; maximum : 22 m. Vitesse verticale : h′(t) = π2 sin(πt20), qui vaut π2 ≈ 1,57 m/s au maximum, quand t = 10 s.
À retenir
- cos x et sin x sont les coordonnées de M(x) sur le cercle trigonométrique ; cos² x + sin² x = 1 ; −1 ≤ cos x, sin x ≤ 1.
- cos est paire, sin est impaire, toutes deux sont 2π-périodiques. On étudie sur [0 ; π].
- cos′ = −sin et sin′ = cos. (cos(_ax_ + b))′ = −a sin(_ax_ + b) ; (sin(_ax_ + b))′ = a cos(_ax_ + b) ; (cos u)′ = −u′ sin u ; (sin u)′ = u′ cos u.
- limx→0 sin xx = 1 ; limx→0 cos x − 1x = 0 ; limx→+∞ sin xx = 0 ; cos et sin n’ont pas de limite en +∞.
- Étude de fonction : domaine, parité/périodicité, dérivée factorisée, signe, tableau, courbe.
- cos x = cos α ⇔ x = ±α + 2kπ ; sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.
- Inéquations : on résout l’équation associée, puis on lit l’arc ou la courbe qui convient.
- Une fonction A cos(ωt + φ) + C a pour période 2πω, pour amplitude |A|, et oscille entre C − |A| et C + |A|.