Une fonction « composée », c’est une fonction fabriquée à partir d’une autre : on calcule d’abord une expression, puis on lui applique une fonction connue (l’exponentielle, une puissance, une racine). On les rencontre partout : décroissance d’une substance radioactive, courbe en cloche des statistiques, coût d’un emballage. Dans ce chapitre, tu apprends à dériver ces fonctions composées, à dériver une deuxième fois, et à t’en servir pour décrire la courbure d’une courbe : c’est la convexité. À la clé : des études de fonctions complètes et la résolution de problèmes d’optimisation.
1. Rappels : dérivation et variations
Voici ce que tu dois maîtriser avant de commencer. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
| Fonction | Dérivée | Où ? |
|---|---|---|
| xn (n entier naturel non nul) | nxn−1 | ℝ |
| 1x | − 1x² | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
| ex | ex | ℝ |
Pour deux fonctions u et v dérivables et un réel k :
- (u + v)′ = u′ + v′ et (ku)′ = ku′ ;
- (uv)′ = u′v + uv′ ;
- uv a pour dérivée u′v − uv′v² là où v ne s’annule pas.
- La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
- f′ ≥ 0 sur I ⇔ f croissante sur I ; f′ ≤ 0 sur I ⇔ f décroissante sur I. Si f′ s’annule en changeant de signe, f admet un extremum local.
Pour f(x) = (x − 1)ex : f′(x) = 1 × ex + (x − 1)ex = xex. Comme ex > 0, f′(x) a le signe de x : f décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[ et son minimum est f(0) = −1.
2. Dériver une fonction composée
Prenons g(x) = e3x+1. Pour calculer g(x), on calcule d’abord 3x + 1 (c’est la fonction v), puis on applique l’exponentielle (c’est la fonction u). On écrit g = u ∘ v (« u rond v ») et g(x) = u(v(x)).
Si v est dérivable sur un intervalle I et si u est dérivable sur un intervalle contenant toutes les valeurs v(x), alors u ∘ v est dérivable sur I et, pour tout x de I :
(u ∘ v)′(x) = v′(x) × u′(v(x)).
En clair : on dérive « l’intérieur », puis on multiplie par la dérivée de la fonction extérieure prise en l’intérieur.
Si g(x) = u(ax + b), alors g′(x) = a × u′(ax + b).
On en déduit les quatre formules à connaître. Dans le tableau, u est une fonction dérivable sur I.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| eu | u′ eu | — |
| un (n entier, n ≠ 0) | n u′ un−1 | u(x) ≠ 0 si n < 0 |
| √u | u′2√u | u(x) > 0 |
| ln u (à venir) | u′u | u(x) > 0 |
La dernière ligne concerne la fonction logarithme népérien, que tu étudieras dans un prochain chapitre : retiens simplement qu’elle suit le même schéma « dérivée de l’intérieur ».
Pour eu : la fonction extérieure est l’exponentielle, qui est sa propre dérivée. Le théorème donne (u′) × eu. Pour √u : la fonction extérieure est la racine carrée, de dérivée 12√t en t > 0. Le théorème donne u′ × 12√u = u′2√u. Pour un, la fonction extérieure est t ↦ tn, de dérivée ntn−1.
- Repérer la forme : e…, (…)n ou √(…).
- Isoler l’intérieur u et calculer u′.
- Appliquer la bonne formule du tableau.
- Factoriser pour pouvoir étudier le signe.
- f(x) = e−3x+2 : ici u(x) = −3x + 2 et u′ = −3. Donc f′(x) = −3e−3x+2.
- g(x) = (x² + x + 1)4 : u(x) = x² + x + 1 et u′(x) = 2x + 1. Donc g′(x) = 4(2x + 1)(x² + x + 1)³.
- h(x) = √(x² + 3) : x² + 3 > 0 pour tout réel x, donc h est dérivable sur ℝ et h′(x) = 2x2√(x²+3) = x√(x²+3).
- k(x) = 1(2x−1)² = (2x − 1)−2 sur ]12 ; +∞[ : k′(x) = −2 × 2 × (2x − 1)−3 = −4(2x−1)³.
- Oublier de multiplier par u′ : la dérivée de ex² n’est pas ex², c’est 2xex².
- Dériver √u sans le 2 au dénominateur, ou sans u′ au numérateur.
- Oublier la condition u(x) > 0 : √u n’est dérivable que là où u est strictement positive.
3. La dérivée seconde
Quand la fonction dérivée f′ est elle-même dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f la fonction notée f″ : f″ = (f′)′.
Interprétation : f′(x) est la pente de la tangente ; f″(x) mesure donc la vitesse à laquelle cette pente change. Si f″ > 0, la pente augmente quand on avance vers la droite ; si f″ < 0, elle diminue.
- f(x) = x³ − 2x² + 5x : f′(x) = 3x² − 4x + 5, puis f″(x) = 6x − 4.
- f(x) = (x + 1)e−x : f′(x) = e−x − (x + 1)e−x = −xe−x, puis f″(x) = −e−x + xe−x = (x − 1)e−x.
Dans le deuxième exemple, on a dérivé e−x avec la formule de la composée : (e−x)′ = −e−x.
4. Convexité et concavité
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- f est convexe sur I si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes ;
- f est concave sur I si sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.
De façon équivalente : f est convexe si, pour deux points quelconques de la courbe, le segment qui les relie (la corde) est au-dessus de la courbe.
Sur la figure, la courbe de x ↦ 12x² − 1 est au-dessus de sa tangente en A (en orange, trait plein) et en dessous de la corde (en orange, pointillés) : elle est convexe. Imagine une cuvette (convexe) ou une colline (concave).
Soit f deux fois dérivable sur I.
- f est convexe sur I ⇔ f′ est croissante sur I ⇔ f″ ≥ 0 sur I ;
- f est concave sur I ⇔ f′ est décroissante sur I ⇔ f″ ≤ 0 sur I.
Fonctions de référence : x² est convexe sur ℝ ; ex est convexe sur ℝ ; √x est concave sur ]0 ; +∞[ (car f″(x) = −14x√x < 0) ; 1x est convexe sur ]0 ; +∞[ et concave sur ]−∞ ; 0[ ; x³ est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.
- Calculer f′ puis f″ et la mettre sous forme factorisée.
- Étudier le signe de f″ (tableau de signes).
- Conclure : f″ ≥ 0 → convexe ; f″ ≤ 0 → concave.
Pour f(x) = (x + 1)e−x, on a trouvé f″(x) = (x − 1)e−x. Comme e−x > 0, f″ a le signe de x − 1.
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f″(x) | − | 0 | + | ||
| Convexité | concave | convexe |
La fonction f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[.
Convexe ne veut pas dire croissante ! La fonction x ↦ x² est convexe mais elle décroît sur ]−∞ ; 0]. La convexité parle de la forme de la courbe, le sens de variation du signe de f′.
5. Point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point de la courbe où la convexité change : la courbe y traverse sa tangente.
Si f″ s’annule en changeant de signe en a, alors le point A(a ; f(a)) est un point d’inflexion de la courbe. Réciproquement, en un point d’inflexion, f″ s’annule en changeant de signe (et f′ admet un extremum local).
f″(a) = 0 ne suffit pas ! Il faut un changement de signe. Exemple : f(x) = x⁴, f″(x) = 12x² vaut 0 en 0 mais reste positive : la courbe est convexe partout, il n’y a pas d’inflexion.
Exemple 1. f(x) = x³ − 3x. On a f′(x) = 3x² − 3 et f″(x) = 6x. Elle est négative avant 0, positive après : O(0 ; 0) est un point d’inflexion. La tangente en O est la droite d’équation y = f′(0)x = −3x : on voit sur la figure qu’elle traverse la courbe.
Exemple 2. Pour f(x) = (x + 1)e−x, f″ s’annule en 1 en passant du négatif au positif : A(1 ; 2e−1) est un point d’inflexion. Comme f′(1) = −e−1, la tangente en A a pour équation y = −e−1(x − 1) + 2e−1 = e−1(3 − x).
6. Utiliser la convexité pour démontrer des inégalités
Une courbe convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, une courbe concave en dessous. Cela donne, sans aucun calcul de signe, des inégalités très utiles.
- Pour tout réel x : ex ≥ x + 1. En effet, ex est convexe sur ℝ et sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1 (car f(0) = f′(0) = 1).
- Pour tout x > 0 : √x ≤ x+12. En effet, √x est concave sur ]0 ; +∞[ et sa tangente en 1 est y = 12(x − 1) + 1 = x+12.
Remplaçons x par −x² dans ex ≥ x + 1 : pour tout réel x, e−x² ≥ 1 − x². De même, avec x = −0,3 on obtient e−0,3 ≥ 0,7.
7. Étude complète d’une fonction
- Domaine de définition, de dérivabilité, éventuelle parité.
- Limites aux bornes (limites usuelles, croissances comparées : x²ex → 0 quand x → −∞).
- Dérivée f′, factorisation, signe, tableau de variations.
- Dérivée seconde f″, signe, convexité, points d’inflexion.
- Tangentes remarquables, puis tracé de la courbe.
Exemple résolu : f(x) = (x² − 2x)ex sur ℝ.
Limites. En −∞ : x²ex → 0 et xex → 0, donc f(x) → 0. En +∞ : x² − 2x → +∞ et ex → +∞, donc f(x) → +∞.
Variations. f′(x) = (2x − 2)ex + (x² − 2x)ex = (x² − 2)ex. Elle s’annule en −√2 et √2 ; elle est positive à l’extérieur des racines.
| x | −∞ | −√2 | √2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f | 0 | ↗ | ≈ 1,17 | ↘ | ≈ −3,41 | ↗ | +∞ |
Convexité. f″(x) = 2xex + (x² − 2)ex = (x² + 2x − 2)ex. Le trinôme x² + 2x − 2 a pour discriminant 4 + 8 = 12 et pour racines −1 − √3 ≈ −2,73 et −1 + √3 ≈ 0,73. Donc f est convexe sur ]−∞ ; −1 − √3], concave sur [−1 − √3 ; −1 + √3], convexe sur [−1 + √3 ; +∞[, avec deux points d’inflexion I₁ et I₂.
8. Applications : problèmes d’optimisation
Optimiser, c’est trouver la valeur d’une variable qui rend une grandeur (aire, volume, coût, distance…) la plus grande ou la plus petite possible.
- Choisir la variable x et préciser son domaine (par exemple x > 0).
- Exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction f(x).
- Calculer f′(x), étudier son signe, dresser le tableau de variations. Si f″ > 0 partout, un point où f′ = 0 est un minimum global.
- Conclure par une phrase, avec les unités.
On veut fabriquer une boîte sans couvercle, à base carrée de côté x cm, de volume 4 000 cm³ (4 litres). Quelle valeur de x minimise la quantité de carton ?
La hauteur est h = 4000x². La surface de carton est S(x) = x² + 4xh = x² + 16000x, pour x > 0.
S′(x) = 2x − 16000x² = 2x³−16000x². Elle s’annule pour x³ = 8 000, soit x = 20, et est négative avant, positive après. De plus S″(x) = 2 + 32000x³ > 0 : S est convexe, donc son minimum est atteint en x = 20.
Conclusion : avec une base de 20 cm sur 20 cm et une hauteur de 10 cm, la boîte demande 1 200 cm² de carton, c’est le minimum.
À retenir
- (u ∘ v)′ = v′ × (u′ ∘ v) ; et si g(x) = u(ax + b), alors g′(x) = au′(ax + b).
- (eu)′ = u′eu ; (un)′ = nu′un−1 ; (√u)′ = u′2√u (si u > 0) ; (ln u)′ = u′u (à venir).
- La dérivée seconde est f″ = (f′)′ : elle mesure la variation de la pente de la tangente.
- f est convexe ⇔ la courbe est au-dessus de ses tangentes ⇔ f′ croissante ⇔ f″ ≥ 0 ; concave ⇔ en dessous de ses tangentes ⇔ f′ décroissante ⇔ f″ ≤ 0.
- Point d’inflexion : la convexité change ; f″ s’annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente.
- Inégalités : ex ≥ x + 1 pour tout réel x ; √x ≤ x+12 pour x > 0.
- Optimisation : exprimer la grandeur, dériver, étudier le signe, conclure avec une phrase et les unités.