Tu connais la fonction exponentielle : elle transforme une somme en produit. Dans ce chapitre, tu vas construire sa fonction réciproque, le logarithme népérien, qui fait le chemin inverse : il transforme un produit en somme ! C’est l’outil qui permet de résoudre les équations où l’inconnue est en exposant, de trouver au bout de combien de temps un capital double ou une population atteint un seuil, et d’étudier de nombreuses fonctions. Tu apprendras ses propriétés, sa courbe, ses limites (avec la fameuse « croissance comparée ») et la dérivée de ln(u).
1. Définition : la réciproque de l’exponentielle
Rappelle-toi : la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, avec limx→−∞ ex = 0 et limx→+∞ ex = +∞. Elle prend donc chaque valeur réelle strictement positive, une seule fois.
Pour tout réel a > 0, l’équation ex = a admet une unique solution dans ℝ.
Démonstration. La fonction exp est continue, strictement croissante sur ℝ, et prend toutes les valeurs de ]0 ; +∞[ (ses limites en −∞ et +∞ sont 0 et +∞). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel a > 0 a exactement un antécédent par exp.
Pour tout réel a > 0, l’unique solution de l’équation ex = a s’appelle le logarithme népérien de a, noté ln a. La fonction x ↦ ln x, définie sur ]0 ; +∞[, est la fonction logarithme népérien.
- Pour x > 0 et y réel : ln x = y ⇔ x = ey.
- Pour tout réel x : ln(ex) = x.
- Pour tout réel x > 0 : eln x = x.
- ln 1 = 0 (car e0 = 1) et ln e = 1 (car e1 = e).
Calcule ln(e³), ln(1/e²), eln 5 et ln √e.
ln(e³) = 3. Puis 1/e² = e−2, donc ln(1/e²) = −2. Ensuite eln 5 = 5 car 5 > 0. Enfin √e = e1/2, donc ln √e = 12.
Les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x (la première bissectrice), comme toujours pour deux fonctions réciproques : si le point (a ; b) est sur la courbe de exp, alors (b ; a) est sur celle de ln. Par exemple, (1 ; e) est sur la courbe de exp, donc (e ; 1) est sur celle de ln.
ln x n’existe que pour x strictement positif. Les écritures ln(−3) ou ln 0 n’ont aucun sens : l’exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle. À chaque fois que tu vois ln(…), pose la condition « ce qu’il y a dans la parenthèse > 0 ».
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b.
Démonstration. On a eln a + ln b = eln a × eln b = ab. Le réel ln a + ln b est donc une solution de l’équation eX = ab. Or cette équation n’a qu’une solution, qui est par définition ln(ab). D’où l’égalité.
Pour a > 0, b > 0 et n entier relatif :
- ln(1b) = −ln b
- ln(ab) = ln a − ln b
- ln(an) = n ln a
- ln(√a) = 12 ln a
Démonstrations. (1) ln(1b) + ln b = ln(1b × b) = ln 1 = 0. (2) ln(ab) = ln(a × 1b) = ln a + ln(1b) = ln a − ln b. (3) Par récurrence pour n ≥ 0 : ln(an+1) = ln(an × a) = n ln a + ln a, et pour n < 0 on utilise (1). (4) (√a)² = a, donc 2 ln(√a) = ln a.
- Décompose les nombres en facteurs premiers (ou en puissances) : 12 = 2² × 3, 50 = 2 × 5², …
- Applique ln(ab) = ln a + ln b, ln(an) = n ln a, etc.
- Regroupe les termes semblables, ou, dans l’autre sens, rassemble une somme de ln en un seul ln.
On note a = ln 2 et b = ln 3. Exprime ln 18 et ln(827) en fonction de a et b.
18 = 2 × 3², donc ln 18 = ln 2 + 2 ln 3 = a + 2b.
827 = 2³3³, donc ln(827) = 3 ln 2 − 3 ln 3 = 3a − 3b.
Dans l’autre sens : ln 20 − ln 5 + ln 3 = ln(20×35) = ln 12.
- ln(a + b) n’est pas égal à ln a + ln b : par exemple ln(1 + 2) = ln 3, alors que ln 1 + ln 2 = 0 + ln 2 = ln 2, qui est différent de ln 3.
- ln(a) × ln(b) n’est pas ln(ab), et ln aln b n’est pas ln(a − b).
- ln(x²) = 2 ln x seulement pour x > 0. Pour tout x ≠ 0, la bonne formule est ln(x²) = 2 ln|x|.
3. Équations et inéquations avec ln
Comme exp est strictement croissante, pour tous réels a > 0 et b > 0 :
- ln a = ln b ⇔ a = b
- ln a < ln b ⇔ a < b (et de même avec ≤, >, ≥)
En particulier : ln x > 0 ⇔ x > 1 ; ln x = 0 ⇔ x = 1 ; ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1.
- Domaine : écris que chaque quantité sous un ln est strictement positive.
- Transforme pour obtenir un seul ln de chaque côté, ou « ln (…) = nombre » (on passe alors à l’exponentielle).
- Résous l’équation ou l’inéquation obtenue (sans ln).
- Vérifie que les solutions sont dans le domaine ; pour une inéquation, intersecte avec le domaine.
Résous ln(2x − 1) + ln x = ln 3.
Domaine : 2x − 1 > 0 et x > 0, donc x > 12.
L’équation s’écrit ln(x(2x − 1)) = ln 3, donc 2x² − x = 3, soit 2x² − x − 3 = 0. Le discriminant vaut Δ = 1 + 24 = 25, d’où x = 1+54 = 32 ou x = 1−54 = −1.
−1 n’est pas dans le domaine. Solution : S = {32}.
Résous ln(2x + 1) ≤ 2.
Domaine : 2x + 1 > 0, donc x > −12. Comme 2 = ln(e²), l’inéquation équivaut à 2x + 1 ≤ e², soit x ≤ e²−12 ≈ 3,19.
Solution : S = ]−12 ; e²−12].
Résous e2x = 5. Les deux membres sont strictement positifs : on applique ln, ce qui donne 2x = ln 5, donc x = ln 52 ≈ 0,80.
Un capital augmente de 8 % par an. Au bout de combien d’années aura-t-il plus que triplé ?
Il faut 1,08n > 3, donc ln(1,08n) > ln 3, soit n ln 1,08 > ln 3. Comme ln 1,08 > 0, on divise sans changer le sens : n > ln 3ln 1,08 ≈ 14,27. Le capital a plus que triplé au bout de 15 ans (on vérifie : 1,0814 ≈ 2,94 et 1,0815 ≈ 3,17).
Pour résoudre qn < A on obtient n ln q < ln A. Si 0 < q < 1, alors ln q < 0 : en divisant par ln q, le sens de l’inégalité s’inverse. Exemple : 0,8n < 0,01 ⇔ n > ln 0,01ln 0,8 ≈ 20,6.
4. Dérivée et variations de ln
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et, pour tout x > 0 : ln ′(x) = 1x.
Démonstration. La dérivabilité de ln (fonction réciproque d’une fonction dérivable de dérivée jamais nulle) est admise. On dérive alors l’égalité eln x = x : la dérivée de la composée est ln ′(x) × eln x = 1, c’est-à-dire ln ′(x) × x = 1, d’où ln ′(x) = 1x.
Comme 1x > 0 sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est strictement croissante. Sa dérivée seconde est ln ″(x) = −1x² < 0 : ln est concave, sa courbe est « penchée vers le bas ».
| x | 0 | +∞ | |
|---|---|---|---|
| Signe de ln ′(x) = 1x | || | + | |
| Variations de ln | −∞ (limite) | ↗ | +∞ (limite) |
Au point A(1 ; 0), le nombre dérivé est ln ′(1) = 1, donc la tangente a pour équation y = x − 1. Comme ln est concave, sa courbe est sous sa tangente : pour tout x > 0, ln x ≤ x − 1.
Détermine l’équation de la tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 2. On a ln 2 et ln ′(2) = 12, donc y = ln 2 + 12(x − 2) = 12x + ln 2 − 1.
Pour une dérivée, pense à ln comme à « l’exponentielle à l’envers » : ex reste la même en dérivant, mais sa réciproque ln a pour dérivée l’inverse 1x. Le produit des deux pentes en des points symétriques fait 1.
5. Limites et croissance comparée
limx→+∞ ln x = +∞ et limx→0⁺ ln x = −∞.
Démonstration. Soit A un réel. Si x > eA, alors ln x > ln(eA) = A (ln est croissante) : ln x dépasse n’importe quel seuil, donc la limite en +∞ est +∞. En 0⁺, on pose t = 1x : ln x = −ln t et t → +∞, donc ln x → −∞.
La courbe de ln admet donc l’axe des ordonnées (droite d’équation x = 0) comme asymptote verticale. En +∞, ln ne tend vers l’infini que très lentement : ln 1000 ≈ 6,9 seulement, et il faut x ≈ 2,7 × 1043 pour atteindre ln x = 100.
limx→+∞ ln xx = 0 et limx→0⁺ x ln x = 0.
Plus généralement, pour tout entier n ≥ 1 : limx→+∞ ln xxⁿ = 0 et limx→0⁺ xn ln x = 0. En résumé : en +∞, « x gagne contre ln x ».
Démonstration de la première limite. On pose y = ln x, donc x = ey ; quand x → +∞, y → +∞. Alors ln xx = yeʸ = 1 ÷ eʸy. Or eʸy → +∞ (croissance comparée de exp), donc yeʸ → 0. Pour la seconde, on pose t = 1x : x ln x = −ln tt, et t → +∞, donc la limite est 0.
Voici ln, la racine carrée et l’identité : la courbe de ln reste toujours sous les deux autres.
limh→0 ln(1+h)h = 1. C’est exactement la définition de ln ′(1) = 1 : le taux d’accroissement de ln entre 1 et 1 + h est ln(1+h)−ln 1h.
Quand x et ln x s’affrontent (+∞ − ∞, ou 0 × ∞), factorise par le terme dominant puis utilise la croissance comparée.
Exemple 1. limx→+∞ (x − ln x) : on écrit x − ln x = x(1 − ln xx). Comme ln xx → 0, le facteur entre parenthèses tend vers 1 et x → +∞ : la limite est +∞.
Exemple 2. limx→0⁺ (x ln x − x) : x ln x → 0 et x → 0, donc la limite est 0.
Exemple 3. limx→+∞ (1 + ln xx) = 1 (car ln xx → 0).
6. La fonction ln(u)
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et strictement positive sur I. On note ln(u) ou ln ∘ u la fonction x ↦ ln(u(x)), définie sur I.
Son domaine est l’ensemble des x pour lesquels u(x) > 0.
Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors ln(u) est dérivable sur I et : (ln u) ′ = u′u.
Démonstration. C’est la dérivée d’une composée : (ln ∘ u) ′(x) = u ′(x) × ln ′(u(x)) = u ′(x) × 1u(x).
- Variations : (ln u) ′ = u′u a le signe de u ′ car u > 0. Donc ln(u) a les mêmes variations que u (ln est croissante, elle conserve l’ordre).
- Limites : on les obtient par composition. Si lim u(x) = ℓ > 0, alors lim ln(u(x)) = ln ℓ ; si lim u(x) = +∞, alors lim ln u(x) = +∞ ; si lim u(x) = 0⁺, alors lim ln u(x) = −∞.
- Primitives : sur un intervalle où u > 0, la fonction u′u admet pour primitive ln(u).
Étudie f(x) = ln(−x² + 4x − 3).
Domaine : −x² + 4x − 3 > 0. Les racines du trinôme sont 1 et 3 (car −(x − 1)(x − 3)) et le coefficient de x² est négatif, donc le trinôme est positif entre ses racines : f est définie sur ]1 ; 3[.
Dérivée : f ′(x) = −2x+4−x²+4x−3. Le dénominateur est positif sur ]1 ; 3[, donc f ′ a le signe de −2x + 4 : positive pour x < 2, négative après.
Limites : quand x → 1⁺ ou x → 3⁻, le trinôme tend vers 0⁺, donc f(x) → −∞. Les droites x = 1 et x = 3 sont asymptotes verticales. Enfin f(2) = ln(−4 + 8 − 3) = ln 1 = 0.
| x | 1 | 2 | 3 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de f ′(x) | || | + | 0 | − | || |
| f(x) | −∞ | ↗ | 0 | ↘ | −∞ |
- sur ]0 ; +∞[, x ↦ 1x a pour primitive ln x ;
- sur ℝ, x ↦ 2xx²+1 a pour primitive ln(x² + 1) (ici u = x² + 1 > 0 et u ′ = 2x) ;
- sur ]−23 ; +∞[, x ↦ 13x+2 = 13 × 33x+2 a pour primitive 13 ln(3x + 2) ;
- une intégrale : ∫1e 1x dx = ln e − ln 1 = 1.
ln(u) a pour dérivée u′u (un quotient), alors que eu a pour dérivée u ′ eu (un produit). Et la dérivée de (ln x)² n’est pas 1x² : c’est 2 × 1x × ln x, de la forme 2v ′ v avec v = ln x.
7. Méthode : étudier une fonction contenant ln
- Domaine de définition (conditions sous les ln, dénominateurs).
- Limites aux bornes du domaine, et asymptotes éventuelles. Penser à la croissance comparée.
- Dérivée : produit, quotient, ln(u)… ; mise sous forme factorisée.
- Signe de la dérivée (souvent : résoudre ln x > 1, ce qui donne x > e).
- Tableau de variations complet, avec les valeurs aux extrema.
- Questions annexes : équation f(x) = k, tangente, signe de f, position de deux courbes.
Étudie la fonction f(x) = 3−ln xx sur ]0 ; +∞[.
Limites. En 0⁺ : 3 − ln x → +∞ et 1x → +∞, donc f(x) → +∞ (asymptote verticale x = 0). En +∞ : f(x) = 3x − ln xx → 0 − 0 = 0 (asymptote horizontale y = 0).
Dérivée. f = v/w avec v = 3 − ln x, v ′ = −1x, w = x, w ′ = 1. Le numérateur de la dérivée vaut −1x × x − (3 − ln x) × 1 = −1 − 3 + ln x = ln x − 4, donc f ′(x) = ln x−4x².
Signe. x² > 0, donc f ′ a le signe de ln x − 4 : f ′(x) > 0 ⇔ ln x > 4 ⇔ x > e4.
| x | 0 | e4 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de f ′(x) | || | − | 0 | + | |
| f(x) | +∞ | ↘ | −e−4 | ↗ | 0 |
Le minimum est f(e4) = 3−4e⁴ = −e−4 ≈ −0,018. De plus f(x) = 0 ⇔ ln x = 3 ⇔ x = e³ ≈ 20,1 : la courbe coupe l’axe des abscisses en ce point seulement.
8. Modéliser : durée de doublement et demi-vie
Le logarithme sert à répondre à la question « au bout de combien de temps ? » dans les phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.
- Écris le modèle : par exemple N(t) = N0 ekt ou N0 × qt.
- Traduis la question par une équation ou une inéquation (« doublement » : N = 2N0 ; « demi-vie » : N = N02).
- Simplifie par N0, applique ln aux deux membres, puis isole t.
Une colonie compte N(t) = 200 e0,25t individus (t en jours). Quel est le temps de doublement ?
N(t) = 400 ⇔ 200 e0,25t = 400 ⇔ e0,25t = 2 ⇔ 0,25t = ln 2 ⇔ t = ln 20,25 = 4 ln 2 ≈ 2,77 jours. Le temps de doublement ne dépend pas de l’effectif de départ.
À retenir
- ln est la réciproque de exp : pour x > 0, ln x = y ⇔ x = ey ; ln(ex) = x, eln x = x ; ln 1 = 0, ln e = 1.
- Domaine : ]0 ; +∞[. Toujours écrire « sous le ln, c’est > 0 ».
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(ab) = ln a − ln b ; ln(an) = n ln a ; ln √a = 12 ln a. Mais ln(a + b) ne se simplifie pas.
- ln est strictement croissante : ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b ; ln x > 0 ⇔ x > 1.
- ln ′(x) = 1x sur ]0 ; +∞[ ; ln est concave ; tangente en 1 : y = x − 1 ; ln x ≤ x − 1.
- lim+∞ ln x = +∞ ; lim0⁺ ln x = −∞ ; croissance comparée : ln xx → 0 en +∞ et x ln x → 0 en 0⁺.
- (ln u) ′ = u′u (avec u > 0) ; ln(u) varie comme u ; une primitive de u′u est ln(u).
- Pour un seuil qn > A, on passe au ln : n ln q > ln A ; si 0 < q < 1, ln q < 0 et le sens s’inverse.