Une information change souvent la probabilité d’un événement : la probabilité qu’un élève soit en retard n’est pas la même s’il vient en bus ou à vélo. Dans ce chapitre de Terminale, tu formalises cette idée avec les probabilités conditionnelles, tu apprends à organiser une situation à plusieurs étapes avec un arbre pondéré, à inverser un conditionnement grâce à la formule des probabilités totales, puis à reconnaître et à utiliser l’indépendance d’événements, de variables aléatoires et d’épreuves successives.
1. Rappel : la probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle
Soit A et B deux événements d’un même univers, avec P(A) ≠ 0. La probabilité de B sachant A est le nombre
Soit A et B deux événements d’un même univers, avec P(A) ≠ 0. La probabilité de B sachant A est le nombre
PA(B) = P(A∩B)P(A)
On lit « probabilité de B sachant A ». C’est la probabilité que B se réalise quand on sait que A est réalisé : on se restreint à l’univers A.
Exemple
Dans une classe de 40 élèves, 24 jouent d’un instrument (événement I), 15 font du théâtre (événement T) et 9 font les deux. On choisit un élève au hasard.
Dans une classe de 40 élèves, 24 jouent d’un instrument (événement I), 15 font du théâtre (événement T) et 9 font les deux. On choisit un élève au hasard.
- P(I) = 2440 = 0,6 ; P(T) = 1540 = 0,375 ; P(I∩T) = 940 = 0,225.
- PT(I) = P(I∩T)P(T) = 940 ÷ 1540 = 915 = 0,6 : parmi les 15 élèves qui font du théâtre, 9 jouent d’un instrument.
- PI(T) = 924 = 0,375 : ce n’est pas la même chose !
Propriétés
Pour P(A) ≠ 0 :
Pour P(A) ≠ 0 :
- 0 ≤ PA(B) ≤ 1 et PA(B) + PA(B̄) = 1 (les probabilités sachant A forment une loi de probabilité).
- Formule des probabilités composées : P(A∩B) = P(A) × PA(B).
- Si P(B) ≠ 0 aussi : P(A∩B) = P(B) × PB(A).
Piège
En général PA(B) ≠ PB(A). La probabilité qu’un champion de tennis soit un sportif n’est pas la probabilité qu’un sportif soit un champion de tennis. Écris toujours l’événement « sachant » en indice.
En général PA(B) ≠ PB(A). La probabilité qu’un champion de tennis soit un sportif n’est pas la probabilité qu’un sportif soit un champion de tennis. Écris toujours l’événement « sachant » en indice.
Notation
Selon les livres, on rencontre PA(B) ou P(B | A). Les deux désignent la même probabilité ; dans ce chapitre on garde PA(B).
Selon les livres, on rencontre PA(B) ou P(B | A). Les deux désignent la même probabilité ; dans ce chapitre on garde PA(B).
2. Les arbres pondérés
Quand une situation se déroule en plusieurs étapes, un arbre pondéré la résume : chaque nœud est un événement, chaque branche porte une probabilité.
Règles de lecture d’un arbre
- Somme à 1 : les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ont pour somme 1.
- Branches de 1re étape : elles portent les probabilités simples, par exemple P(A).
- Branches de 2e étape : elles portent des probabilités conditionnelles, par exemple PA(B), sachant le nœud d’où elles partent.
- Chemin : la probabilité d’une intersection s’obtient en multipliant les probabilités le long du chemin : P(A∩B) = P(A) × PA(B).
- Plusieurs chemins : pour un événement qui correspond à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
Exemple : une pizzeria
60 % des clients commandent en ligne (L). Parmi eux, 25 % ajoutent un dessert (D). Parmi ceux qui ne commandent pas en ligne, 40 % ajoutent un dessert. On a P(L) = 0,6, PL(D) = 0,25 et PL̄(D) = 0,4.
60 % des clients commandent en ligne (L). Parmi eux, 25 % ajoutent un dessert (D). Parmi ceux qui ne commandent pas en ligne, 40 % ajoutent un dessert. On a P(L) = 0,6, PL(D) = 0,25 et PL̄(D) = 0,4.
Le chemin L puis D : P(L∩D) = 0,6 × 0,25 = 0,15. Le chemin L̄ puis D : P(L̄∩D) = 0,4 × 0,4 = 0,16. Les quatre chemins ont pour somme 0,15 + 0,45 + 0,16 + 0,24 = 1.
3. Partition de l’univers et formule des probabilités totales
Partition de l’univers
Des événements A₁, A₂, …, An forment une partition de l’univers Ω lorsque : ils sont non vides, deux à deux incompatibles (Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j) et leur réunion est Ω tout entier. Autrement dit, à chaque expérience, un et un seul d’entre eux se réalise. Pour tout événement A, le couple (A ; Ā) est une partition (si A n’est ni vide ni égal à Ω).
Des événements A₁, A₂, …, An forment une partition de l’univers Ω lorsque : ils sont non vides, deux à deux incompatibles (Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j) et leur réunion est Ω tout entier. Autrement dit, à chaque expérience, un et un seul d’entre eux se réalise. Pour tout événement A, le couple (A ; Ā) est une partition (si A n’est ni vide ni égal à Ω).
Formule des probabilités totales
Si A₁, …, An forment une partition de l’univers avec P(Ai) ≠ 0, alors pour tout événement B :
Si A₁, …, An forment une partition de l’univers avec P(Ai) ≠ 0, alors pour tout événement B :
P(B) = P(A₁∩B) + … + P(An∩B) = P(A₁) × PA₁(B) + … + P(An) × PAn(B).
Démonstration. B est la réunion des événements Ai ∩ B, deux à deux incompatibles car les Ai le sont. Donc P(B) = Σ P(Ai∩B), et chaque terme vaut P(Ai) × PAi(B) par la formule des probabilités composées.
Chaque bande Ai a une largeur proportionnelle à P(Ai) ; la partie orange représente Ai∩B. La probabilité de B est l’aire orange totale.
Exemple : une bibliothèque
Les livres empruntés se répartissent en romans (R, 50 %), bandes dessinées (B, 30 %) et documentaires (E, 20 %). La proportion de livres rendus avec plus de deux semaines de retard (événement T) est de 10 % pour les romans, 20 % pour les BD et 40 % pour les documentaires. (R ; B ; E) est une partition de l’univers, donc :
Les livres empruntés se répartissent en romans (R, 50 %), bandes dessinées (B, 30 %) et documentaires (E, 20 %). La proportion de livres rendus avec plus de deux semaines de retard (événement T) est de 10 % pour les romans, 20 % pour les BD et 40 % pour les documentaires. (R ; B ; E) est une partition de l’univers, donc :
P(T) = 0,5 × 0,1 + 0,3 × 0,2 + 0,2 × 0,4 = 0,05 + 0,06 + 0,08 = 0,19.
Dans un arbre, c’est exactement la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à T.
Piège
Pour appliquer la formule, les événements Ai doivent vraiment former une partition. Si deux d’entre eux peuvent se réaliser ensemble, ou s’il en manque un, la somme est fausse. Vérifie toujours que les P(Ai) ont pour somme 1.
Pour appliquer la formule, les événements Ai doivent vraiment former une partition. Si deux d’entre eux peuvent se réaliser ensemble, ou s’il en manque un, la somme est fausse. Vérifie toujours que les P(Ai) ont pour somme 1.
4. Inverser un conditionnement
On connaît souvent PA(B) (la cause donne l’effet) et on cherche PB(A) (de l’effet, remonter à la cause). On combine la définition et les probabilités totales.
Méthode
- Calculer P(A∩B) en suivant le chemin de l’arbre.
- Calculer P(B) avec la formule des probabilités totales (somme des chemins qui mènent à B).
- Conclure : PB(A) = P(A∩B)P(B).
Exemple
Dans la pizzeria, un client a pris un dessert. Quelle est la probabilité qu’il ait commandé en ligne ? On a P(L∩D) = 0,15 et P(D) = 0,15 + 0,16 = 0,31, donc
Dans la pizzeria, un client a pris un dessert. Quelle est la probabilité qu’il ait commandé en ligne ? On a P(L∩D) = 0,15 et P(D) = 0,15 + 0,16 = 0,31, donc
PD(L) = 0,150,31 = 1531 ≈ 0,484.
Alors que 60 % des clients commandent en ligne, parmi ceux qui prennent un dessert ils sont un peu moins de la moitié.
Astuce
Un résultat contre-intuitif est fréquent : un test fiable à 95 % peut conduire à une probabilité assez faible d’être réellement concerné quand la situation recherchée est rare. Pour t’en convaincre, représente toujours un arbre avec des effectifs, par exemple « sur 10 000 personnes… ».
Un résultat contre-intuitif est fréquent : un test fiable à 95 % peut conduire à une probabilité assez faible d’être réellement concerné quand la situation recherchée est rare. Pour t’en convaincre, représente toujours un arbre avec des effectifs, par exemple « sur 10 000 personnes… ».
5. Indépendance de deux événements
Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A∩B) = P(A) × P(B).
Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A∩B) = P(A) × P(B).
Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Exemple : un jeu de 32 cartes
On tire une carte au hasard. A : « cœur » (P(A) = 832 = 14), B : « roi » (P(B) = 432 = 18). Il n’y a qu’un roi de cœur : P(A∩B) = 132 = 14 × 18. Donc A et B sont indépendants.
Avec C : « carte rouge » (P(C) = 12) : A est inclus dans C, donc P(A∩C) = 14, alors que P(A) × P(C) = 18. A et C ne sont pas indépendants.
On tire une carte au hasard. A : « cœur » (P(A) = 832 = 14), B : « roi » (P(B) = 432 = 18). Il n’y a qu’un roi de cœur : P(A∩B) = 132 = 14 × 18. Donc A et B sont indépendants.
Avec C : « carte rouge » (P(C) = 12) : A est inclus dans C, donc P(A∩C) = 14, alors que P(A) × P(C) = 18. A et C ne sont pas indépendants.
Propriété
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ le sont aussi.
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ le sont aussi.
Démonstration (pour A et B̄). A est la réunion disjointe de A∩B et A∩B̄, donc P(A∩B̄) = P(A) − P(A∩B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A) × P(B̄). Les autres cas se démontrent de la même façon.
Ne confonds pas indépendants et incompatibles
Incompatibles : A∩B = ∅, donc P(A∩B) = 0. Indépendants : P(A∩B) = P(A)P(B). Si P(A) et P(B) sont non nuls, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants : réaliser A rend B impossible, donc l’information « A est réalisé » change bien la probabilité de B.
Incompatibles : A∩B = ∅, donc P(A∩B) = 0. Indépendants : P(A∩B) = P(A)P(B). Si P(A) et P(B) sont non nuls, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants : réaliser A rend B impossible, donc l’information « A est réalisé » change bien la probabilité de B.
Méthode : prouver ou réfuter l’indépendance
- Calculer P(A), P(B) et P(A∩B).
- Comparer P(A∩B) avec P(A) × P(B).
- Égalité : indépendants. Sinon : non indépendants. Un seul calcul suffit pour réfuter.
6. Indépendance de variables aléatoires
Variables aléatoires indépendantes
Deux variables aléatoires X et Y (définies sur le même univers, à valeurs xi et yj) sont indépendantes lorsque, pour tous i et j : P(X = xi et Y = yj) = P(X = xi) × P(Y = yj). Autrement dit, les événements {X = xi} et {Y = yj} sont indépendants pour toutes les valeurs.
Deux variables aléatoires X et Y (définies sur le même univers, à valeurs xi et yj) sont indépendantes lorsque, pour tous i et j : P(X = xi et Y = yj) = P(X = xi) × P(Y = yj). Autrement dit, les événements {X = xi} et {Y = yj} sont indépendants pour toutes les valeurs.
Somme de variables aléatoires
- Toujours : E(X + Y) = E(X) + E(Y).
- Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y), donc σ(X + Y) = √(V(X) + V(Y)). Attention, les écarts-types ne s’additionnent pas.
Exemple
X prend les valeurs 0 et 1 avec P(X = 1) = 0,6 ; Y prend les valeurs 0 et 2 avec P(Y = 2) = 0,5 ; X et Y sont indépendantes. La loi de S = X + Y se déduit des produits :
X prend les valeurs 0 et 1 avec P(X = 1) = 0,6 ; Y prend les valeurs 0 et 2 avec P(Y = 2) = 0,5 ; X et Y sont indépendantes. La loi de S = X + Y se déduit des produits :
| s | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(S = s) | 0,4 × 0,5 = 0,2 | 0,6 × 0,5 = 0,3 | 0,4 × 0,5 = 0,2 | 0,6 × 0,5 = 0,3 |
E(S) = 0,3 + 0,4 + 0,9 = 1,6 = E(X) + E(Y) = 0,6 + 1. Pour la variance : V(X) = 0,6 × 0,4 = 0,24 et V(Y) = 0,5 × 4 − 1 = 1, et un calcul direct donne V(S) = 3,8 − 1,6² = 1,24 = 0,24 + 1.
7. Succession d’épreuves indépendantes
Épreuves indépendantes
On répète une expérience dans des conditions qui ne s’influencent pas (lancers de dé ou de pièce, tirages avec remise, tirs successifs…). L’issue d’une épreuve n’a aucune incidence sur les suivantes : on dit que les épreuves sont indépendantes.
On répète une expérience dans des conditions qui ne s’influencent pas (lancers de dé ou de pièce, tirages avec remise, tirs successifs…). L’issue d’une épreuve n’a aucune incidence sur les suivantes : on dit que les épreuves sont indépendantes.
Propriété
La probabilité d’une liste d’issues dans une succession d’épreuves indépendantes est le produit des probabilités de chaque issue. Dans l’arbre, les branches de deuxième étape sont donc les mêmes quel que soit le nœud de départ.
La probabilité d’une liste d’issues dans une succession d’épreuves indépendantes est le produit des probabilités de chaque issue. Dans l’arbre, les branches de deuxième étape sont donc les mêmes quel que soit le nœud de départ.
Exemple
Un joueur de fléchettes touche la cible avec la probabilité 0,3 à chaque lancer, indépendamment des autres. Sur 3 lancers :
Un joueur de fléchettes touche la cible avec la probabilité 0,3 à chaque lancer, indépendamment des autres. Sur 3 lancers :
- P(trois réussites) = 0,3³ = 0,027.
- P(aucune réussite) = 0,7³ = 0,343.
- P(au moins une réussite) = 1 − 0,343 = 0,657 (événement contraire).
- P(exactement une réussite) = 3 × 0,3 × 0,7² = 0,441 : 3 chemins (R·E·E, E·R·E, E·E·R), chacun de probabilité 0,3 × 0,7².
« Au moins un » en n épreuves
Si chaque épreuve a une probabilité p de succès (épreuves indépendantes), alors P(au moins un succès sur n) = 1 − (1 − p)n. Cette idée est le point de départ du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale.
Si chaque épreuve a une probabilité p de succès (épreuves indépendantes), alors P(au moins un succès sur n) = 1 − (1 − p)n. Cette idée est le point de départ du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale.
Astuce
Pour « au moins un », passe toujours par l’événement contraire « aucun », qui est un simple produit. Pour trouver le nombre d’épreuves nécessaires, résous une inéquation du type (1 − p)n ≤ ε, avec la calculatrice ou un logarithme.
Pour « au moins un », passe toujours par l’événement contraire « aucun », qui est un simple produit. Pour trouver le nombre d’épreuves nécessaires, résous une inéquation du type (1 − p)n ≤ ε, avec la calculatrice ou un logarithme.
8. Problèmes à plusieurs étapes : mode d’emploi
Méthode
- Nommer les événements avec des lettres claires et écrire les données sous la forme P(…) = … ou P…(…) = … .
- Dessiner l’arbre en suivant l’ordre chronologique et en plaçant les probabilités conditionnelles sur les branches.
- Identifier les chemins qui réalisent l’événement demandé, multiplier le long des chemins, additionner entre chemins.
- Si l’énoncé donne « sachant que » dans l’ordre inverse de l’arbre, passer par P(A∩B) puis diviser.
- Contrôler : toutes les probabilités sont entre 0 et 1, les branches d’un nœud ont pour somme 1.
Exemple : un tirage avec transfert
L’urne U contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l’urne V contient 1 rouge et 4 vertes. On tire une boule de U, on la place dans V (qui compte alors 6 boules), puis on tire une boule dans V. R₁ : « la première boule est rouge » ; R₂ : « la seconde est rouge ».
L’urne U contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l’urne V contient 1 rouge et 4 vertes. On tire une boule de U, on la place dans V (qui compte alors 6 boules), puis on tire une boule dans V. R₁ : « la première boule est rouge » ; R₂ : « la seconde est rouge ».
- P(R₂) = 630 + 230 = 830 = 415 (partition R₁ ; R̄₁).
- La seconde boule est rouge : quelle est la probabilité que la première l’ait été aussi ? PR₂(R₁) = 630 ÷ 830 = 34.
Mathbot, le robot-coach
« Un énoncé qui dit “sachant que” te demande de te placer dans un univers plus petit. Divise toujours par la probabilité de ce qui est connu. »
« Un énoncé qui dit “sachant que” te demande de te placer dans un univers plus petit. Divise toujours par la probabilité de ce qui est connu. »
À retenir
- PA(B) = P(A∩B)P(A) (avec P(A) ≠ 0) ; P(A∩B) = P(A) × PA(B).
- Dans un arbre pondéré : on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins ; la somme des branches issues d’un nœud vaut 1.
- Partition : événements non vides, incompatibles deux à deux, de réunion Ω. Probabilités totales : P(B) = Σ P(Ai) × PAi(B).
- Pour inverser un conditionnement : PB(A) = P(A∩B)P(B), avec P(B) obtenu par les probabilités totales.
- A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A)P(B) ⇔ PA(B) = P(B) (si P(A) ≠ 0). Alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ sont aussi indépendants.
- Incompatibles (non nuls) ⇒ jamais indépendants.
- X et Y indépendantes : E(X+Y) = E(X) + E(Y) et V(X+Y) = V(X) + V(Y).
- Épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités ; P(au moins un succès) = 1 − (1 − p)n.