Que devient la valeur d’une fonction quand x devient gigantesque ? Et quand x s’approche d’un nombre où la fonction n’est pas définie, comme x = 0 pour 1/x ? Un chauffage atteint-il une température qui se stabilise, un coût moyen peut-il descendre aussi bas qu’on veut, une population explose-t-elle ? Les limites répondent à ces questions : elles décrivent le comportement d’une fonction « à l’infini » ou « tout près d’un point ». Elles permettent de trouver les asymptotes d’une courbe, première étape de toute étude de fonction. Dans ce chapitre, tu apprends à lire une limite, à la calculer avec les opérations, à lever les formes indéterminées, à utiliser la composition et les théorèmes de comparaison, puis à connaître les croissances comparées.
Pour étudier un quotient, tu auras besoin de son signe : un produit ou un quotient est positif quand il a un nombre pair de facteurs négatifs. Un trinôme se factorise avec ses racines : x2 – x – 6 = (x-3)(x+2). Les fonctions de référence sont x ↦ x, x2, x3, √x et 1/x. Enfin, la notation x → a+ signifie « x tend vers a en restant plus grand que a » et x → a− « en restant plus petit ».
1. Limite en +∞ et en −∞
Quand on lit la courbe d’une fonction très loin vers la droite (ou vers la gauche), on observe trois comportements possibles : les valeurs deviennent arbitrairement grandes, arbitrairement grandes négatives, ou elles se rapprochent d’un nombre fixe.
Dire que f a pour limite +∞ en +∞, et écrire limx→+∞ f(x) = +∞, signifie que f(x) dépasse n’importe quel réel A dès que x est assez grand : pour tout réel A, il existe un réel B tel que x > B entraîne f(x) > A.
De même limx→+∞ f(x) = −∞ si f(x) devient aussi négatif qu’on veut ; et on définit de la même façon les limites en −∞.
Dire que limx→+∞ f(x) = ℓ (où ℓ est un réel) signifie que f(x) se rapproche autant qu’on veut de ℓ dès que x est assez grand : tout intervalle ouvert contenant ℓ contient f(x) pour x assez grand. La fonction est alors dite convergente en +∞.
Pour tout entier n ≥ 1 : limx→+∞ xn = +∞ et limx→+∞ 1/xn = 0 ; limx→−∞ 1/xn = 0 ; limx→+∞ √x = +∞.
En −∞, xn tend vers +∞ si n est pair et vers −∞ si n est impair.
| Fonction | En −∞ | En +∞ |
|---|---|---|
| x | −∞ | +∞ |
| x2 | +∞ | +∞ |
| x3 | −∞ | +∞ |
| √x | pas définie | +∞ |
| 1x | 0 | 0 |
| 1x² | 0 | 0 |
| 1x³ | 0 | 0 |
La fonction cos oscille entre −1 et 1 sans jamais se stabiliser : elle n’a pas de limite en +∞. Une fonction n’a donc pas toujours de limite, et une fonction qui n’est pas bornée ne tend pas forcément vers l’infini (pense à x ↦ x·cos x).
Pour f(x) = x3 : f(10) = 1 000, f(100) = 1 000 000 ; les valeurs explosent, donc limx→+∞ x3 = +∞. Pour g(x) = 1/x2 : g(10) = 0,01, g(1 000) = 0,000 001 ; les valeurs s’écrasent contre 0, donc limx→+∞ g(x) = 0.
2. Asymptote horizontale
Si limx→+∞ f(x) = ℓ (ou limx→−∞ f(x) = ℓ), la droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞ (ou en −∞) : la distance entre la courbe et la droite tend vers 0.
Sur la figure, f(x) = 1 + 3x²+1. Quand |x| grandit, x2 + 1 tend vers +∞, donc la fraction tend vers 0 et f(x) tend vers 1 : la droite y = 1 est asymptote en +∞ et en −∞.
Pour savoir si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l’asymptote y = ℓ, on étudie le signe de f(x) − ℓ. Ici f(x) − 1 = 3x²+1 > 0 : la courbe est toujours au-dessus de l’asymptote.
3. Limite en un réel et asymptote verticale
Dire que limx→a f(x) = +∞ signifie que f(x) devient aussi grand qu’on veut dès que x est assez proche de a (avec x ≠ a). On distingue la limite à droite (x → a+, avec x > a) et la limite à gauche (x → a−, avec x < a). Si l’une des deux (ou les deux) est infinie, la droite d’équation x = a est asymptote verticale à Cf.
limx→0+ 1/x = +∞ et limx→0− 1/x = −∞. Plus généralement, pour n entier ≥ 1 : limx→0+ 1/xn = +∞ ; en 0−, la limite de 1/xn vaut +∞ si n est pair et −∞ si n est impair. Aussi limx→0+ 1/√x = +∞.
Ici f(x) = 2 + 1x−1. En 1+, x − 1 est un petit nombre positif donc 1x−1 → +∞ ; en 1−, il tend vers −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale. En ±∞, 1x−1 → 0 : la droite y = 2 est asymptote horizontale.
Pour les polynômes, les fractions rationnelles, √x, cos et sin, la limite en un réel a appartenant à l’ensemble de définition est tout simplement f(a) (propriété admise). Par exemple limx→2 (x2 − 3x) = 4 − 6 = −2.
1. Calcule la limite du numérateur : si c’est un réel non nul, la limite sera infinie.
2. Détermine le signe du dénominateur quand x tend vers a par la droite, puis par la gauche (un tableau de signes aide).
3. Applique la règle des signes pour conclure : +∞ ou −∞ de chaque côté.
Soit g(x) = 3x+2. Le numérateur vaut 3 (positif). En −2+, x + 2 tend vers 0 en restant positif : g(x) → +∞. En −2−, x + 2 reste négatif : g(x) → −∞. La droite x = −2 est asymptote verticale.
4. Opérations sur les limites
Dans les tableaux, f et g ont chacune une limite en a (qui peut être un réel, +∞ ou −∞) ; ℓ et ℓ’ sont des réels. Le symbole FI signale une forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement.
Limite d’une somme f + g
| lim f ↓ \ lim g → | ℓ’ | +∞ | −∞ |
|---|---|---|---|
| ℓ | ℓ + ℓ’ | +∞ | −∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | FI |
| −∞ | −∞ | FI | −∞ |
Limite d’un produit f × g (règle des signes)
| lim f ↓ \ lim g → | ℓ’ > 0 | ℓ’ < 0 | 0 | +∞ | −∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| ℓ > 0 | ℓ × ℓ’ | ℓ × ℓ’ | 0 | +∞ | −∞ |
| ℓ < 0 | ℓ × ℓ’ | ℓ × ℓ’ | 0 | −∞ | +∞ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | FI | FI |
| +∞ | +∞ | −∞ | FI | +∞ | −∞ |
| −∞ | −∞ | +∞ | FI | −∞ | +∞ |
Limite d’un quotient f / g (0⁺ : tend vers 0 par valeurs positives ; 0⁻ : par valeurs négatives)
| lim f ↓ \ lim g → | ℓ’ ≠ 0 | 0⁺ | 0⁻ | +∞ | −∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| ℓ > 0 | ℓ / ℓ’ | +∞ | −∞ | 0 | 0 |
| ℓ < 0 | ℓ / ℓ’ | −∞ | +∞ | 0 | 0 |
| 0 | 0 | FI | FI | 0 | 0 |
| +∞ | ±∞ (signe de ℓ’) | +∞ | −∞ | FI | FI |
| −∞ | ±∞ (signe de ℓ’) | −∞ | +∞ | FI | FI |
Ce sont : +∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞∞ ; 00. Le mot « indéterminée » ne veut pas dire que la limite n’existe pas, mais que les règles ne suffisent pas : il faut transformer l’expression.
• limx→+∞ (x2 + √x) = +∞ car x2 → +∞ et √x → +∞ (somme +∞ + ∞).
• limx→+∞ (3 − 2x) = 3 car 2x → 0.
• limx→−∞ x3 · (1 + 1x) : x3 → −∞ et 1 + 1x → 1 > 0, donc le produit tend vers −∞.
• limx→0+ 5x : numérateur 5 > 0, dénominateur → 0+ : on trouve +∞.
N’écris jamais « +∞ − ∞ = 0 » ni « ∞∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées. Par exemple limx→+∞ (x2 − x) = +∞, alors que limx→+∞ (x − x) = 0 : les deux sont de la forme +∞ − ∞, mais les résultats diffèrent.
5. Lever une forme indéterminée
• En +∞ et en −∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
• En +∞ et en −∞, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.
Démonstration. Soit P(x) = an xn + … + a1 x + a0 avec an ≠ 0. On factorise : P(x) = xn (an + aₙ₋₁x + … + a_0xⁿ). Tous les termes sous la parenthèse sauf an tendent vers 0 (limites de référence), donc la parenthèse tend vers an et P(x) a la même limite que an xn. Pour un quotient, on applique cet argument au numérateur et au dénominateur.
Repère la puissance de x la plus grande, factorise-la, puis utilise 1x^k → 0 pour les autres termes.
Exemple (+∞ − ∞). limx→+∞ (x3 − 4x2 + 1) : on écrit x3 − 4x2 + 1 = x3 (1 − 4x + 1x³). La parenthèse tend vers 1 et x3 → +∞, donc la limite est +∞.
Exemple (∞∞). limx→+∞ 2x²−x+3x²+5 = limx→+∞ (2 − 1/x + 3/x²) / (1 + 5/x²) = 2 (on a simplifié par x2 en haut et en bas).
Quand numérateur et dénominateur tendent tous deux vers 0 en a, ils s’annulent en a : on peut les factoriser par (x − a) puis simplifier.
Exemple. limx→3 x²−x−6x−3 : pour x ≠ 3, x²−x−6x−3 = (x−3)(x+2)x−3 = x + 2. La limite vaut donc 3 + 2 = 5.
Pour une forme +∞ − ∞ contenant une racine, on multiplie et divise par la quantité conjuguée : (A − B)(A + B) = A2 − B2.
Exemple. limx→+∞ (√(x+5) − √x). Pour x > 0 : √(x+5) − √x = (x+5) − x√(x+5) + √x = 5√(x+5) + √x. Le dénominateur tend vers +∞, donc la limite est 0.
Avant de factoriser, essaie toujours de remplacer x par sa valeur limite : si le résultat n’est pas une forme indéterminée, tu as terminé. Les formes +∞ − ∞ en ±∞ pour un polynôme se règlent presque toujours par le terme de plus haut degré.
6. Limite d’une fonction composée
Soient a, b et c des éléments de ℝ ∪ {−∞ ; +∞}. Si limx→a u(x) = b et si limX→b v(X) = c, alors limx→a v(u(x)) = c.
On pose X = u(x) : on calcule d’abord la limite de la fonction « intérieure » u, puis celle de la fonction « extérieure » v en cette valeur.
• limx→+∞ √(x2 + 1) : u(x) = x2 + 1 → +∞ et limX→+∞ √X = +∞, donc la limite est +∞.
• limx→+∞ (1 + 2x)3 : u(x) = 1 + 2x → 1 et X3 → 1 quand X → 1 : la limite est 1.
• limx→2+ 1x−2 : on pose X = x − 2 → 0+, et 1X → +∞ en 0+ : la limite est +∞.
• limx→+∞ cos(1x) : 1x → 0 et cos vaut 1 en 0, donc la limite est 1.
7. Théorèmes de comparaison
Quand une expression est difficile à manipuler (par exemple avec sin ou cos), on l’encadre par des fonctions dont on connaît les limites. Les énoncés qui suivent sont écrits en +∞ ; ils restent vrais en −∞ et en un réel a.
Minoration. Si f(x) ≥ g(x) pour x assez grand et limx→+∞ g(x) = +∞, alors limx→+∞ f(x) = +∞.
Majoration. Si f(x) ≤ g(x) pour x assez grand et limx→+∞ g(x) = −∞, alors limx→+∞ f(x) = −∞.
Théorème des gendarmes. Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) pour x assez grand et limx→+∞ g(x) = limx→+∞ h(x) = ℓ, alors limx→+∞ f(x) = ℓ.
Démonstration (minoration). Soit A un réel. Comme g tend vers +∞, il existe B tel que x > B entraîne g(x) > A. Pour ces x (et x assez grand pour que f ≥ g), on a f(x) ≥ g(x) > A. Donc f(x) dépasse tout réel A dès que x est assez grand : limx→+∞ f(x) = +∞.
Pour tout réel x, −1 ≤ sin x ≤ 1, donc x + sin x ≥ x − 1. Comme limx→+∞ (x − 1) = +∞, on obtient limx→+∞ (x + sin x) = +∞.
Pour x > 0 : −1 ≤ sin x ≤ 1, donc en divisant par x : −1x ≤ sin xx ≤ 1x (courbes orange et verte sur la figure). Les deux « gendarmes » tendent vers 0 en +∞, donc limx→+∞ sin xx = 0 : la courbe bleue est « coincée » entre eux.
Si |f(x) − ℓ| ≤ u(x) avec lim u = 0, alors lim f = ℓ : c’est une autre écriture du théorème des gendarmes, pratique pour des encadrements symétriques.
8. Croissances comparées
Que se passe-t-il pour xn, ex et ln x quand elles sont combinées ? Il s’agit de formes indéterminées (∞∞ ou 0 × ∞) dont le résultat est à connaître. Les fonctions exponentielle et logarithme seront étudiées en détail plus loin dans l’année ; on admet ici ces résultats.
Pour tout entier n ≥ 1 :
- limx→+∞ E^xxⁿ = +∞ et limx→−∞ xn ex = 0 ;
- limx→+∞ ln xxⁿ = 0 et limx→0+ xn ln x = 0.
Autrement dit, l’exponentielle l’emporte sur la puissance, qui l’emporte sur le logarithme.
• limx→+∞ x e−x = limx→+∞ xE^x = 0 (inverse de E^xx qui tend vers +∞).
• limx→+∞ (ex − x2) est de la forme +∞ − ∞ : on factorise ex − x2 = x2 (E^xx² − 1), et la parenthèse tend vers +∞ : la limite est +∞.
• limx→0+ x ln x = 0 : près de 0, le facteur x « écrase » le logarithme.
limx→−∞ x2 ex = 0 (on pose X = −x et on retrouve X²E^X → 0), mais limx→+∞ x2 ex = +∞ (aucune indétermination : +∞ × +∞). Regarde toujours où tend x avant d’appliquer un résultat.
À retenir
- Une limite décrit ce que devient f(x) quand x tend vers +∞, −∞ ou un réel a (à gauche ou à droite).
- Si lim f = ℓ en ±∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale ; si lim f = ±∞ en a, la droite x = a est asymptote verticale.
- Limites de référence : xn → +∞, 1xⁿ → 0 en +∞ ; 1x → ±∞ en 0^± ; 1x² → +∞ en 0.
- Somme, produit, quotient : on applique les tableaux, sauf pour les 4 formes indéterminées +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞∞, 00.
- En ±∞, polynôme et fraction rationnelle se comportent comme leurs termes de plus haut degré.
- Pour 00 : factoriser et simplifier ; pour une racine : quantité conjuguée.
- Composition : lim u = b et limX→b v = c donnent lim v(u) = c.
- Comparaison : minoration par +∞, majoration par −∞, gendarmes pour un encadrement de même limite.
- Croissances comparées : E^xxⁿ → +∞, ln xxⁿ → 0 en +∞, xn ln x → 0 en 0+.