Statistiques et information chiffrée : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Fréquences d’un sondage ★★★

a. Fréquence = effectif ÷ 80. Marche : 1880 = 22,5 %. Vélo : 1480 = 17,5 %. Bus : 3280 = 40 %. Voiture : 1680 = 20 %.

b. Bus ou vélo : 32 + 14 = 46 élèves, soit 4680 = 57,5 % (on retrouve 40 % + 17,5 %).

c. 22,5 + 17,5 + 40 + 20 = 100 %. C’est normal : chaque élève est compté une seule fois et les effectifs somment à 80.

2 Buts marqués ★★★

a. Somme : 20. Moyenne : 209 ≈ 2,22.

b. Série rangée : 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 7. n = 9 est impair : la médiane est la 5ᵉ valeur, soit 2.

c. Étendue : 7 − 0 = 7.

Remarque : la valeur 7 tire la moyenne vers le haut, pas la médiane.

3 Chronos au 100 m ★★★

a. 12,2, 12,4, 12,7, 12,9, 13,0, 13,1, 13,3, 13,5, 13,8, 14,0, 14,5.

b. n = 11. Médiane : 6ᵉ valeur = 13,1 s. Q₁ : 11 × 0,25 = 2,75, rang 3 : 12,7 s. Q₃ : 11 × 0,75 = 8,25, rang 9 : 13,8 s.

c. Étendue : 14,5 − 12,2 = 2,3 s. Écart interquartile : 13,8 − 12,7 = 1,1 s.

4 Lire une boîte à moustaches ★★★

a. Minimum 4 ; Q₁ = 9 ; médiane 12 ; Q₃ = 15 ; maximum 19.

b. Étendue : 19 − 4 = 15. Écart interquartile : 15 − 9 = 6.

c. Il y a moins de 25 % de notes strictement inférieures à 9, donc plus de 75 % des élèves ont une note ≥ 9. Au moins 75 % des élèves ont une note ≤ Q₃ = 15 : soit au moins 21 élèves sur 28.

5 Taux et coefficients ★★★

a. t = 54 − 4545 = 945 = 0,2 : hausse de 20 %.

b. CM = 1 − 0,15 = 0,85 ; nouveau prix : 80 × 0,85 = 68 €.

c. 1,07 = 1 + 0,07 : +7 %. 0,92 = 1 − 0,08 : −8 %.

d. 1 + 0,035 = 1,035.

6 Vrai ou faux ? ★★★

a. Faux : si n est pair, la médiane est la moyenne de deux valeurs et peut ne pas appartenir à la série (série 2, 4 : médiane 3).

b. Vrai : c’est la définition de Q₁.

c. Faux : ajouter une constante décale toutes les valeurs, les écarts à la moyenne ne changent pas : l’écart-type est inchangé.

d. Vrai : une moyenne ne peut ni être plus petite que la plus petite valeur, ni plus grande que la plus grande.

e. Faux : 0,7 × 1,3 = 0,91, soit une baisse globale de 9 %.

7 Cantine ou non ? ★★★

a.

b. 45150 = 0,3 : 30 %.

c. Filles : 1875 = 0,24 : 24 %. Garçons : 2775 = 0,36 : 36 %.

d. 1845 = 0,4 : 40 %.

8 Livres lus ★★★

a. Somme : 0×4 + 1×8 + 2×10 + 3×9 + 4×5 + 5×3 + 6×1 = 0 + 8 + 20 + 27 + 20 + 15 + 6 = 96. Moyenne : 9640 = 2,4 livres.

b. Effectifs cumulés croissants : 4 ; 12 ; 22 ; 31 ; 36 ; 39 ; 40.

• Médiane : moyenne des 20ᵉ et 21ᵉ valeurs. Les rangs 13 à 22 correspondent à la valeur 2, donc Me = 2.
• Q₁ : 40 × 0,25 = 10, rang 10. Les rangs 5 à 12 correspondent à la valeur 1 : Q₁ = 1.
• Q₃ : 40 × 0,75 = 30, rang 30. Les rangs 23 à 31 correspondent à la valeur 3 : Q₃ = 3.

c. Au plus 2 livres : effectif cumulé 22, soit 2240 = 55 % des élèves.

9 Variance et écart-type ★★★

a. 405 = 8.

b. Écarts : −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 6. Carrés : 16 ; 4 ; 1 ; 1 ; 36. Somme : 58. V = 585 = 11,6.

c. σ = √11,6 ≈ 3,41.

10 Changer d’unité ★★★

a. 1,8 × 4 + 32 = 7,2 + 32 = 39,2 °F.

b. |1,8| × 2,5 = 4,5 °F (le décalage de 32 ne change pas la dispersion).

c. Moyenne : 4 − 4 = 0. Écart-type : inchangé, 2,5.

11 Deux classes, un devoir ★★★

a. n = 15 : médiane au rang 8 ; Q₁ au rang 4 (15 × 0,25 = 3,75) ; Q₃ au rang 12 (15 × 0,75 = 11,25).

b.

c. Les médianes sont égales (12 et 12). L’écart interquartile vaut 4 pour A et 4 pour B ; l’étendue vaut 12 et 15. Les deux classes ont donc le même niveau « typique », mais la classe B est plus dispersée : plus d’écarts entre élèves, avec de très bonnes et de très faibles notes.

12 Musique en streaming ★★★

a.

b. 196250 = 0,784 : 78,4 %.

c. 15-17 ans : 119140 = 0,85 : 85 %. 18-25 ans : 77110 = 0,7 : 70 %. Les plus jeunes utilisent davantage le streaming : 15 points de pourcentage d’écart.

13 Hausse puis baisse ★★★

a. 50 × 1,2 = 60 € puis 60 × 0,8 = 48 €.

b. CM = 1,2 × 0,8 = 0,96 ; t = 0,96 − 1 = −4 %.

c. Non : les pourcentages ne portent pas sur la même base (20 % de 50 puis 20 % de 60). Le prix a baissé de 4 %.

14 Évolution réciproque ★★★

a. CM = 0,75. Coefficient réciproque : 10,75 = 43 ≈ 1,3333. Il faut une hausse d’environ 33,3 %.

b. CM = 1,6. Réciproque : 11,6 = 0,625 = 1 − 0,375 : une remise de 37,5 %.

15 Moyenne d’une classe ★★★

a. Somme des notes : 12 × 13,5 + 16 × 10,25 = 162 + 164 = 326. Moyenne : 32628 ≈ 11,64.

b. Les groupes n’ont pas le même effectif : (13,5 + 10,25) ÷ 2 = 11,875 donnerait autant de poids à chaque groupe. Il faut pondérer par les effectifs.

16 Chiffre d’affaires en indice ★★★

a. Indice = 100 × valeur ÷ 250 : 2020 : 100 ; 2021 : 110 ; 2022 : 132 ; 2023 : 118,8.

b. t = 330 − 275275 = 55275 = 0,2 : +20 %. La différence des indices est 132 − 110 = 22 points, mais ce n’est pas un pourcentage : 22 est rapporté à 110, d’où 22110 = 20 %.

c. t = 297 − 330330 = -33330 = −0,1 : −10 %.

17 Pourcentage de pourcentage ★★★

a. 0,4 × 0,3 = 0,12 : 12 % des élèves.

b. Variation : 56 − 64 = −8 points. En relatif : 56 − 6464 = −0,125 : −12,5 %.

18 Salaires dans une entreprise ★★★

a. Somme : 23 200 €. Moyenne : 23 2009 ≈ 2 577,78 €. Série rangée (déjà dans l’ordre), n = 9 : médiane = 5ᵉ valeur = 1 800 €.

b. Les deux ont raison : 2 577,78 > 2 500 et 5 salaires sur 9 sont ≤ 1 800 € (au moins la moitié). Mais le salaire de 9 000 € tire la moyenne vers le haut : la médiane décrit mieux la situation d’un employé « typique ».

c. Q₁ : 9 × 0,25 = 2,25, rang 3 : 1 600 €. Q₃ : 9 × 0,75 = 6,75, rang 7 : 2 000 €. Écart interquartile : 400 €. Sans 9 000 € : somme 14 200 €, moyenne 14 2008 = 1 775 €, tout près de la médiane : la valeur extrême faisait toute la différence.

19 Deux lycées, deux lectures ★★★

a. Alpha : 19 + 30100 = 49 %. Bêta : 72 + 5100 = 77 %. Globalement, Bêta fait mieux.

b. Générale : Alpha 1920 = 95 %, Bêta 7280 = 90 %. Technologique : Alpha 3080 = 37,5 %, Bêta 520 = 25 %.

c. Alpha a un meilleur taux dans chaque filière, mais un moins bon taux global. Les répartitions sont différentes : Alpha présente 80 % de candidats en filière technologique (filière où le taux est bas), Bêta seulement 20 %. Le taux global est une moyenne pondérée des taux des filières, avec des poids différents : comparer les totaux seuls est trompeur (paradoxe de Simpson).

20 Taux d’évolution moyen ★★★

a. CM global = 28 80020 000 = 1,44 : +44 %. Coefficient annuel : √1,44 = 1,2 (car 1,2² = 1,44) : +20 % par an.

b. Coefficient annuel : racine cubique de 1,331 = 1,1 (car 1,1³ = 1,331) : +10 % par an.

c. Coefficients : 1,05² = 1,1025 ; 1,05³ = 1,157625 ; 1,05⁴ = 1,21550625 ; 1,05⁵ = 1,2762815625 ≥ 1,25. Il faut 5 ans au minimum (en 4 ans : seulement +21,6 %).

21 Un graphique qui exagère ★★★

a. La barre de 2023 paraît environ deux fois plus haute (hauteur 50 contre 20 au-dessus de la graduation 1 000 ; rapport 2,5), ce qui suggère un énorme bond.

b. t = 1 050 − 1 0201 020 = 301020 ≈ 2,9 %.

c. L’axe vertical ne commence pas à 0 : cela exagère visuellement l’écart. Il faut un axe gradué à partir de 0, comme ci-dessous, où les deux barres sont presque identiques :

22 Deux magasins ★★★

a. n = 12 : Q₁ au rang 3, médiane = moyenne des rangs 6 et 7, Q₃ au rang 9.

b. Moyenne P : 37112 = 30,92 ; moyenne Q : 35512 = 29,58.

c. Les médianes et moyennes sont voisines (P : 30,5 ; Q : 30). L’écart interquartile est 10 pour P contre 5 pour Q, les étendues 26 et 16, et σ_P ≈ 7,3 contre σ_Q ≈ 4,3 : la fréquentation de Q est la plus régulière. En moyenne, P est légèrement plus fréquenté (30,92 contre 29,58), mais la différence reste faible devant la dispersion.

23 Une valeur extrême ★★★

a. S : somme 98, moyenne 14, médiane (4ᵉ valeur) = 14. S′ : somme 128, moyenne 1287 ≈ 18,29, médiane = 14.

b. n = 7 : Q₁ au rang 2 (7 × 0,25 = 1,75), Q₃ au rang 6 (7 × 0,75 = 5,25). S : Q₁ = 13, Q₃ = 15, écart 2. S′ : mêmes valeurs aux rangs 2 et 6 : Q₁ = 13, Q₃ = 15, écart 2.

c. La moyenne passe de 14 à ≈ 18,29 ; la médiane, Q₁, Q₃ et l’écart interquartile ne changent pas. (L’écart-type aussi serait fortement modifié.) Les indicateurs fondés sur le rang sont robustes ; ceux fondés sur toutes les valeurs sont sensibles aux valeurs extrêmes.