Corrigé de la partie 1 : les automatismes
Question 1. Entre 4,6 et 4,7, il y a 10 intervalles égaux, donc chaque graduation vaut \(0{,}01\). Le point A se trouve 8 graduations après 4,6. L'abscisse de A est 4,68.
Question 2. On additionne les termes en \(x\) : \(4x+6x=(4+6)x=10x\). Réponse C.
Question 3. « Rouge » et « pas rouge » sont deux événements contraires, leurs probabilités ont pour somme 1. La probabilité cherchée est \(1-0{,}4=\) 0,6.
Question 4. De 7 h 10 min, on avance de 50 min pour arriver à 8 h, puis de 3 min encore. La voiture arrive à 8 h 03 min.
Question 5. Augmenter de 10 %, c'est ajouter le dixième du prix : \(150\div 10=15\), donc \(150+15=165\). Réponse D, soit 165 €.
Question 6. Sur la courbe, on lit que la taille vaut 140 cm quand l'âge est 10 ans, puis elle continue d'augmenter. La taille dépasse donc 140 cm à partir de 10 ans.
Question 7. Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres l'est. Pour 954 : \(9+5+4=18\), et 18 est un multiple de 3. Pour les autres : \(3+0+7=10\), \(1+2+0+1=4\) et \(2+2+0+0+3=7\) ne conviennent pas. Réponse B.
Question 8. La somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\). Donc \(\widehat{BAC}=180^\circ-47^\circ-53^\circ=100^\circ\). Réponse C.
Question 9. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \(\dfrac{5}{8}\div\dfrac{8}{9}=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{9}{8}=\dfrac{45}{64}\). Réponse A.
Corrigé de l’exercice 1 : médailles olympiques et téléphérique
Partie A
1. On lit dans la ligne « France », colonne 2010 : la France a obtenu 11 médailles.
2. On additionne les six valeurs puis on divise par 6 : \(\dfrac{11+9+11+15+15+14}{6}=\dfrac{75}{6}=12{,}5\). La France a obtenu en moyenne 12,5 médailles par édition.
3. La proportion de médailles d'or est \(\dfrac{13}{25}\). Comme \(25\times 4=100\), on a \(\dfrac{13}{25}=\dfrac{52}{100}\). La Norvège a gagné 52 % de médailles d'or en 2002.
Partie B
1. Les points A et H sont à la même altitude, 1 814 m, et B est à 2 359 m. La longueur HB est la différence : \(2\,359-1\,814=545\). Donc \(HB=\) 545 m.
2. Le triangle ABH est rectangle en H. Par rapport à l'angle \(\widehat{BAH}\), le côté [HB] est le côté opposé et [AB] est l'hypoténuse. On utilise donc le sinus : \(\sin\widehat{BAH}=\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{545}{1\,600}\). À la calculatrice, \(\widehat{BAH}=\sin^{-1}\left(\dfrac{545}{1\,600}\right)\approx 19{,}9^\circ\). Comme \(19{,}9^\circ\lt 30^\circ\), la norme est respectée.
3. La durée vaut la distance divisée par la vitesse : \(\dfrac{1\,600}{5}=320\) secondes. Or \(320=5\times 60+20\). Le trajet dure 5 minutes et 20 secondes.
Corrigé de l’exercice 2 : un terrain avec gazon et potager
1. STVU est un rectangle, donc \(ST=UV=27\) m. Le point T est sur le segment [SM] qui mesure 36 m. Donc \(TM=SM-ST=36-27=\) 9 m.
2. Dans le rectangle STVU, \(TV=SU=12\) m. Le triangle TMV est rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore : \(MV^2=TM^2+TV^2=9^2+12^2=81+144=225\). Comme \(MV\) est une longueur positive, \(MV=\sqrt{225}=\) 15 m.
3. Le grillage suit le contour du terrain SMVU, soit les côtés [SM], [MV], [VU] et [US], sauf les 3 m du portail sur [UV] : \(36+15+27+12-3=87\). Il faut prévoir 87 m de grillage.
4. L'aire du rectangle STVU est \(27\times 12=\) 324 m².
5. Un rouleau déroulé mesure \(4\times 2=8\) m². Pour recouvrir 324 m², il faut \(\dfrac{324}{8}=40{,}5\) rouleaux. On ne peut pas acheter un demi-rouleau, donc il faut 41 rouleaux. Le coût est \(41\times 86=3\,526\) euros. Comme \(3\,526\gt 3\,500\), le budget de 3 500 € n'est pas suffisant. Même sans arrondir, 40 rouleaux ne couvrent que 320 m², donc il en manque.
Corrigé de l’exercice 3 : deux programmes de calcul
1. a. Programme A avec 4 : \(4+3=7\), puis \(7^2=49\), puis \(49-9=\) 40.
1. b. Programme B avec 4 : \(4+6=10\), puis \(10\times 4=\) 40. On obtient aussi 40.
2. Le nombre de départ est en B1. On ajoute 6 puis on multiplie par ce même nombre. La formule à saisir dans B3 est =(B1+6)*B1. En l'étirant vers la droite, B1 devient C1, D1, etc. dans chaque colonne.
3. a. L'image de \(-3\) se lit à l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(-3\). C'est le point le plus bas de la courbe : \(f(-3)=\) \(-9\).
3. b. Les antécédents de \(-5\) sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée \(-5\). La droite horizontale d'ordonnée \(-5\) coupe la courbe en deux points : les antécédents de \(-5\) sont \(-5\) et \(-1\).
4. Avec le programme B, on obtient \(f(x)=(x+6)\times x\). On cherche \(x\) tel que \(x(x+6)=0\). Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x+6=0\), donc \(x=-6\). Les nombres cherchés sont 0 et \(-6\), ce qui est cohérent avec les points où la courbe coupe l'axe des abscisses.
5. a. On développe : \((x+3)(x+3)=x\times x+x\times 3+3\times x+3\times 3=x^2+3x+3x+9=\) \(x^2+6x+9\).
5. b. Avec le programme A, le résultat est \((x+3)^2-9=x^2+6x+9-9=x^2+6x\). Avec le programme B, le résultat est \((x+6)\times x=x^2+6x\). Les deux expressions sont égales : les deux programmes donnent le même résultat pour tout nombre \(x\).