Au lieu d’écrire à chaque fois un nouveau calcul, les mathématiciens utilisent des lettres pour parler de tous les nombres à la fois. Dans ce chapitre, tu apprends à écrire une expression avec une lettre, à la simplifier, à calculer sa valeur, à la réduire puis à la développer grâce à la distributivité simple et double. Tu apprends aussi à prouver qu’une égalité est vraie… ou fausse !
1. Rappels et rôle de la lettre
Tu connais déjà des formules : l’aire d’un rectangle est L × l, le périmètre d’un carré de côté c est 4 × c. Chaque lettre représente un nombre qui peut changer : on l’appelle une variable.
Expression littérale
Une expression littérale est un calcul dans lequel au moins un nombre est remplacé par une lettre. Par exemple 3x + 7, 2 × (a − 1) ou L × l sont des expressions littérales.
Une expression littérale est un calcul dans lequel au moins un nombre est remplacé par une lettre. Par exemple 3x + 7, 2 × (a − 1) ou L × l sont des expressions littérales.
L’intérêt est énorme : une seule expression permet de faire tous les calculs d’un même type. Une boulangère vend des croissants à 1,20 € pièce et ajoute 0,30 € pour le sachet. Pour n croissants, le prix à payer est 1,2 × n + 0,3 euros. Avec n = 5, on obtient 1,2 × 5 + 0,3 = 6,3 euros.
Rappel de priorités
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, toujours de gauche à droite. Ainsi 4 + 3 × 5 = 4 + 15 = 19, alors que (4 + 3) × 5 = 35.
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, toujours de gauche à droite. Ainsi 4 + 3 × 5 = 4 + 15 = 19, alors que (4 + 3) × 5 = 35.
2. Écrire une expression en fonction d’une lettre
Traduire une phrase en expression, c’est choisir une lettre pour le nombre inconnu, puis écrire les opérations dans l’ordre.
Traduire une phrase
1) Choisis une lettre pour le nombre qui varie. 2) Repère les mots-clés : « le double » (× 2), « le triple » (× 3), « la moitié » (÷ 2), « de plus » (+), « de moins » (−), « le carré » (le nombre multiplié par lui-même). 3) Utilise des parenthèses quand une opération porte sur une somme ou une différence.
1) Choisis une lettre pour le nombre qui varie. 2) Repère les mots-clés : « le double » (× 2), « le triple » (× 3), « la moitié » (÷ 2), « de plus » (+), « de moins » (−), « le carré » (le nombre multiplié par lui-même). 3) Utilise des parenthèses quand une opération porte sur une somme ou une différence.
Exemples
« Le triple d’un nombre x, diminué de 4 » : 3 × x − 4.
« Le triple de la différence entre x et 4 » : 3 × (x − 4).
Ces deux phrases se ressemblent mais donnent des résultats différents : pour x = 6, le premier vaut 14 et le second vaut 6.
« Le triple d’un nombre x, diminué de 4 » : 3 × x − 4.
« Le triple de la différence entre x et 4 » : 3 × (x − 4).
Ces deux phrases se ressemblent mais donnent des résultats différents : pour x = 6, le premier vaut 14 et le second vaut 6.
Attention aux parenthèses
4x + 3 et 4(x + 3) ne sont pas égales en général. Regarde le tableau.
4x + 3 et 4(x + 3) ne sont pas égales en général. Regarde le tableau.
| Valeur de x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur de 4x + 3 | 3 | 7 | 11 | 15 |
| Valeur de 4(x + 3) | 12 | 16 | 20 | 24 |
Dès que x vaut 1, 2 ou 3, les deux lignes n’ont plus rien à voir. Les parenthèses changent le sens du calcul.
3. Simplifier l’écriture : les conventions
Pour alléger l’écriture, on supprime le signe × quand il est placé devant une lettre ou devant une parenthèse.
Conventions d’écriture
• 3 × x s’écrit 3x ; a × b s’écrit ab ; 5 × (x + 2) s’écrit 5(x + 2).
• x × x s’écrit x² (« x au carré ») ; x × x × x s’écrit x³.
• 1 × x s’écrit x et 0 × x vaut 0.
• On écrit le nombre avant la lettre : 4x et non x4.
• 3 × x s’écrit 3x ; a × b s’écrit ab ; 5 × (x + 2) s’écrit 5(x + 2).
• x × x s’écrit x² (« x au carré ») ; x × x × x s’écrit x³.
• 1 × x s’écrit x et 0 × x vaut 0.
• On écrit le nombre avant la lettre : 4x et non x4.
Pièges
3x signifie 3 × x et pas « 3 puis x » : si x = 5, alors 3x = 15 et non 35. De même 2x² signifie 2 × (x × x) : pour x = 3, on trouve 2 × 9 = 18, et pas 6 × 6 = 36.
3x signifie 3 × x et pas « 3 puis x » : si x = 5, alors 3x = 15 et non 35. De même 2x² signifie 2 × (x × x) : pour x = 3, on trouve 2 × 9 = 18, et pas 6 × 6 = 36.
Exemple
2 × a × 5 × a : on regroupe les nombres et les lettres, 2 × 5 = 10 et a × a = a², donc 2 × a × 5 × a = 10a².
2 × a × 5 × a : on regroupe les nombres et les lettres, 2 × 5 = 10 et a × a = a², donc 2 × a × 5 × a = 10a².
4. Calculer la valeur d’une expression
Remplacer la lettre par un nombre
1) Récris l’expression en remettant les signes × qui avaient disparu. 2) Remplace la lettre par le nombre, entre parenthèses si le nombre est négatif. 3) Calcule en respectant les priorités.
1) Récris l’expression en remettant les signes × qui avaient disparu. 2) Remplace la lettre par le nombre, entre parenthèses si le nombre est négatif. 3) Calcule en respectant les priorités.
Exemple avec un nombre positif
Valeur de A = 2x² + 3x − 1 pour x = 4 : A = 2 × 4² + 3 × 4 − 1 = 2 × 16 + 12 − 1 = 32 + 12 − 1 = 43.
Valeur de A = 2x² + 3x − 1 pour x = 4 : A = 2 × 4² + 3 × 4 − 1 = 2 × 16 + 12 − 1 = 32 + 12 − 1 = 43.
Exemple avec un nombre négatif
Valeur de la même expression pour x = −3 : A = 2 × (−3)² + 3 × (−3) − 1 = 2 × 9 − 9 − 1 = 18 − 9 − 1 = 8.
Valeur de la même expression pour x = −3 : A = 2 × (−3)² + 3 × (−3) − 1 = 2 × 9 − 9 − 1 = 18 − 9 − 1 = 8.
Carré d’un nombre négatif
(−3)² = (−3) × (−3) = +9, mais −3² (sans parenthèses) vaut −9. C’est pour cela qu’on met toujours un nombre négatif entre parenthèses.
(−3)² = (−3) × (−3) = +9, mais −3² (sans parenthèses) vaut −9. C’est pour cela qu’on met toujours un nombre négatif entre parenthèses.
5. Réduire une expression
Termes semblables
Dans une somme, des termes sont semblables quand ils ont la même partie littérale : 5x et 2x sont semblables ; 3x² et 7x² aussi ; mais 4x et 4x² ne le sont pas, ni 3a et 3b.
Dans une somme, des termes sont semblables quand ils ont la même partie littérale : 5x et 2x sont semblables ; 3x² et 7x² aussi ; mais 4x et 4x² ne le sont pas, ni 3a et 3b.
Réduire une somme
On regroupe les termes semblables, puis on additionne ou soustrait leurs nombres devant la lettre. On range ensuite les termes, par exemple avec les puissances de la lettre décroissantes : x² puis x puis les nombres seuls.
On regroupe les termes semblables, puis on additionne ou soustrait leurs nombres devant la lettre. On range ensuite les termes, par exemple avec les puissances de la lettre décroissantes : x² puis x puis les nombres seuls.
Exemple
B = 5x² + 3x − 2 + 4x² − 7x + 6 : les termes en x² donnent 5 + 4 = 9 ; les termes en x donnent 3 − 7 = −4 ; les nombres donnent −2 + 6 = 4. Donc B = 9x² − 4x + 4.
B = 5x² + 3x − 2 + 4x² − 7x + 6 : les termes en x² donnent 5 + 4 = 9 ; les termes en x donnent 3 − 7 = −4 ; les nombres donnent −2 + 6 = 4. Donc B = 9x² − 4x + 4.
Produits à réduire
Pour multiplier deux termes, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles : 3x × 4 = 12x ; 2x × 5x = 10x² ; −3a × 2b = −6ab.
Pour multiplier deux termes, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles : 3x × 4 = 12x ; 2x × 5x = 10x² ; −3a × 2b = −6ab.
On n’additionne pas n’importe quoi
3x + 4x² ne se réduit pas : c’est déjà sa forme réduite. Ne conclus jamais que 3x + 4x² = 7x³ ! Pour t’en convaincre, essaie x = 1 : 3 + 4 = 7 et ça marche, mais avec x = 2 on trouve 6 + 16 = 22 alors que 7 × 8 = 56.
3x + 4x² ne se réduit pas : c’est déjà sa forme réduite. Ne conclus jamais que 3x + 4x² = 7x³ ! Pour t’en convaincre, essaie x = 1 : 3 + 4 = 7 et ça marche, mais avec x = 2 on trouve 6 + 16 = 22 alors que 7 × 8 = 56.
6. Supprimer des parenthèses
Parenthèses précédées d’un signe
• Devant des parenthèses précédées d’un +, on les supprime sans rien changer : a + (b − c) = a + b − c.
• Devant des parenthèses précédées d’un −, on les supprime en changeant tous les signes à l’intérieur : a − (b − c) = a − b + c.
• Devant des parenthèses précédées d’un +, on les supprime sans rien changer : a + (b − c) = a + b − c.
• Devant des parenthèses précédées d’un −, on les supprime en changeant tous les signes à l’intérieur : a − (b − c) = a − b + c.
Exemples
(5x + 2) + (3x − 8) = 5x + 2 + 3x − 8 = 8x − 6.
(5x + 2) − (3x − 8) = 5x + 2 − 3x + 8 = 2x + 10.
(5x + 2) + (3x − 8) = 5x + 2 + 3x − 8 = 8x − 6.
(5x + 2) − (3x − 8) = 5x + 2 − 3x + 8 = 2x + 10.
Pourquoi ça marche ?
Retrancher une somme, c’est retrancher chacun de ses termes. Mettre un signe moins devant une parenthèse revient à multiplier tout son contenu par −1, d’où le changement de tous les signes.
Retrancher une somme, c’est retrancher chacun de ses termes. Mettre un signe moins devant une parenthèse revient à multiplier tout son contenu par −1, d’où le changement de tous les signes.
7. La distributivité simple : développer
Regarde ce rectangle de hauteur 2 et de longueur x + 3. Son aire se calcule de deux façons :
Le grand rectangle a pour aire 2 × (x + 3). Découpé en deux, il a pour aire 2x + 6.
Distributivité simple
Pour tous les nombres k, a et b : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Passer de k(a + b) à ka + kb s’appelle développer ; le chemin inverse s’appelle factoriser (tu le verras plus tard).
Pour tous les nombres k, a et b : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Passer de k(a + b) à ka + kb s’appelle développer ; le chemin inverse s’appelle factoriser (tu le verras plus tard).
Développer
On multiplie le nombre devant la parenthèse par chaque terme à l’intérieur, en respectant les signes, puis on réduit si c’est possible.
On multiplie le nombre devant la parenthèse par chaque terme à l’intérieur, en respectant les signes, puis on réduit si c’est possible.
Exemples
5(x + 4) = 5x + 20 · 3(2a − 7) = 6a − 21 · x(x + 6) = x² + 6x · −2(x − 5) = −2x + 10 (car −2 × (−5) = +10).
5(x + 4) = 5x + 20 · 3(2a − 7) = 6a − 21 · x(x + 6) = x² + 6x · −2(x − 5) = −2x + 10 (car −2 × (−5) = +10).
Développer puis réduire
4(x + 2) − 3(x − 5) = 4x + 8 − 3x + 15 = x + 23. Attention : −3 × (−5) = +15.
4(x + 2) − 3(x − 5) = 4x + 8 − 3x + 15 = x + 23. Attention : −3 × (−5) = +15.
L’oubli le plus fréquent
2(x + 3) n’est pas égal à 2x + 3 : le 2 multiplie tous les termes, donc 2(x + 3) = 2x + 6.
2(x + 3) n’est pas égal à 2x + 3 : le 2 multiplie tous les termes, donc 2(x + 3) = 2x + 6.
8. La double distributivité
Quand on multiplie deux sommes, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde. Pour (x + 4)(x + 2), pense à un rectangle découpé en quatre morceaux :
Double distributivité
Pour tous les nombres a, b, c et d : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Il y a 4 produits à écrire, et la règle des signes s’applique à chacun.
Pour tous les nombres a, b, c et d : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Il y a 4 produits à écrire, et la règle des signes s’applique à chacun.
Méthode en deux temps
1) Écris les quatre produits, dans l’ordre : premier × premier, premier × second, second × premier, second × second. 2) Réduis les termes semblables (souvent les deux du milieu).
1) Écris les quatre produits, dans l’ordre : premier × premier, premier × second, second × premier, second × second. 2) Réduis les termes semblables (souvent les deux du milieu).
Avec des signes moins
(x − 3)(2x + 5) = x × 2x + x × 5 + (−3) × 2x + (−3) × 5 = 2x² + 5x − 6x − 15 = 2x² − x − 15.
(x − 3)(2x + 5) = x × 2x + x × 5 + (−3) × 2x + (−3) × 5 = 2x² + 5x − 6x − 15 = 2x² − x − 15.
Vérifier son développement
Remplace x par un petit nombre, par exemple 2, dans l’expression de départ puis dans le résultat. Pour l’exemple : (2 − 3)(4 + 5) = −9 et 2 × 4 − 2 − 15 = −9. Les valeurs sont les mêmes, bon signe ! (Mathbot : « Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur quelque part ! »)
Remplace x par un petit nombre, par exemple 2, dans l’expression de départ puis dans le résultat. Pour l’exemple : (2 − 3)(4 + 5) = −9 et 2 × 4 − 2 − 15 = −9. Les valeurs sont les mêmes, bon signe ! (Mathbot : « Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur quelque part ! »)
9. Égalités, tests et preuves
Égalité vraie pour tout nombre
Une égalité contenant une lettre est vraie pour tout nombre si, quelle que soit la valeur donnée à la lettre, les deux membres sont égaux. Elle est fausse dès qu’on trouve une seule valeur pour laquelle les deux membres sont différents : cette valeur s’appelle un contre-exemple.
Une égalité contenant une lettre est vraie pour tout nombre si, quelle que soit la valeur donnée à la lettre, les deux membres sont égaux. Elle est fausse dès qu’on trouve une seule valeur pour laquelle les deux membres sont différents : cette valeur s’appelle un contre-exemple.
Montrer qu’une égalité est fausse
Est-ce que 3x + 2x = 5x² ? Pour x = 2, le membre de gauche vaut 6 + 4 = 10 et celui de droite 5 × 4 = 20. Les valeurs diffèrent : l’égalité est fausse, x = 2 est un contre-exemple.
Est-ce que 3x + 2x = 5x² ? Pour x = 2, le membre de gauche vaut 6 + 4 = 10 et celui de droite 5 × 4 = 20. Les valeurs diffèrent : l’égalité est fausse, x = 2 est un contre-exemple.
Tester ne suffit pas pour prouver
Si une égalité marche pour x = 1, x = 2 et x = 3, cela ne prouve pas qu’elle est vraie pour tous les nombres. Pour le prouver, il faut développer et réduire l’un des membres pour retrouver l’autre.
Si une égalité marche pour x = 1, x = 2 et x = 3, cela ne prouve pas qu’elle est vraie pour tous les nombres. Pour le prouver, il faut développer et réduire l’un des membres pour retrouver l’autre.
Prouver une égalité
Montrons que (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3. On développe : (x + 1)(x + 3) = x² + 3x + x + 3 = x² + 4x + 3. Les deux expressions sont égales pour toute valeur de x.
Montrons que (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3. On développe : (x + 1)(x + 3) = x² + 3x + x + 3 = x² + 4x + 3. Les deux expressions sont égales pour toute valeur de x.
Équation et solution
Une équation est une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs de la lettre. Un nombre est solution si, en remplaçant la lettre par ce nombre, l’égalité est vraie.
Une équation est une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs de la lettre. Un nombre est solution si, en remplaçant la lettre par ce nombre, l’égalité est vraie.
Tester si un nombre est solution
L’équation est 5x − 3 = 2x + 9. Pour x = 4 : à gauche 20 − 3 = 17, à droite 8 + 9 = 17. Les deux membres sont égaux : 4 est solution. Pour x = 5 : 22 d’un côté, 19 de l’autre : 5 n’est pas solution.
L’équation est 5x − 3 = 2x + 9. Pour x = 4 : à gauche 20 − 3 = 17, à droite 8 + 9 = 17. Les deux membres sont égaux : 4 est solution. Pour x = 5 : 22 d’un côté, 19 de l’autre : 5 n’est pas solution.
À retenir
- Une lettre représente un nombre qui peut varier ; une expression littérale permet de faire tous les calculs d’un même type.
- On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x = 3x ; x × x = x² ; 1x = x.
- Pour calculer une valeur, on remplace la lettre par le nombre (entre parenthèses s’il est négatif) en respectant les priorités.
- On réduit en regroupant les termes semblables : 5x + 2x = 7x, mais x + x² ne se réduit pas.
- Parenthèses précédées de + : rien ne change. Précédées de − : on change tous les signes.
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Une égalité est fausse dès qu’un contre-exemple existe ; pour prouver qu’elle est vraie, on développe et on réduit.
- Un nombre est solution d’une équation si, en le mettant à la place de la lettre, les deux membres sont égaux.