Corrigé de l’exercice 1 : six affirmations à justifier
1. Pour trouver l'image de \(-1\), tu remplaces \(x\) par \(-1\) dans \(f(x)=3x-7\) :
\[f(-1)=3\times(-1)-7=-3-7=-10\]
L'image de \(-1\) est \(-10\) et non 2. L'affirmation 1 est fausse.
2. Tu développes avec la double distributivité :
\[\mathrm{E}=(x-5)(x+1)=x\times x+x\times1-5\times x-5\times1=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5\]
La forme annoncée est la bonne. L'affirmation 2 est vraie.
3. Pour \(n=5\) : \(2^5+1=32+1=33\). Or \(33=3\times11\), donc 33 admet d'autres diviseurs que 1 et lui-même. Il n'est pas premier. L'affirmation 3 est fausse.
4. La somme de toutes les fréquences d'une série vaut 1. Notons \(f_6\) la fréquence du 6 :
\[\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}+f_6=1\]
Les cinq premières fréquences donnent \(\dfrac{15}{15}=1\), donc \(f_6=1-1=0\). Autre façon de le voir : 3 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15 lancers sont déjà comptés, il n'en reste aucun pour le 6. L'affirmation 4 est vraie.
5. Dans le triangle RAS rectangle en S, le côté [AS] est opposé à l'angle \(\widehat{\mathrm{ARS}}\) et le côté [RS] lui est adjacent. C'est donc la tangente qui relie ces deux longueurs :
\[\tan\widehat{\mathrm{ARS}}=\dfrac{\mathrm{AS}}{\mathrm{RS}}\quad\text{donc}\quad \mathrm{RS}=\dfrac{\mathrm{AS}}{\tan 26^\circ}=\dfrac{80}{\tan 26^\circ}\approx 164{,}02\ \text{cm}\]
Le segment [RS] mesure bien environ 164 cm. L'affirmation 5 est vraie.
6. Une diagonale du rectangle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 160 cm et 95 cm. Avec le théorème de Pythagore :
\[d^2=160^2+95^2=25\,600+9\,025=34\,625\quad\text{donc}\quad d=\sqrt{34\,625}\approx 186{,}08\ \text{cm}\]
Si la diagonale mesurait exactement 186 cm, son carré serait \(186^2=34\,596\), ce qui n'est pas 34 625. L'affirmation 6 est fausse.
Corrigé de l’exercice 2 : lecture d’un graphique de triathlon
1. Le premier changement d'équipement correspond au premier palier horizontal du graphique : la distance ne varie plus, car l'athlète est arrêtée. Il commence à l'abscisse 14. L'athlète s'arrête donc au bout de 14 minutes, après la natation (palier de 14 à 15 minutes).
2. Notons \(c\) la longueur du parcours à vélo, en km. Les trois épreuves font 12,9 km au total, et la natation (400 m = 0,4 km) et la course (2,5 km) sont connues :
\[0{,}4+c+2{,}5=12{,}9\quad\text{donc}\quad c=12{,}9-2{,}9=10\]
Le graphique le confirme : entre la fin du premier arrêt (0,4 km) et le point M (10,4 km), la distance augmente de \(10{,}4-0{,}4=10\) km. L'épreuve de cyclisme mesure 10 km.
3. La course à pied commence à la fin du deuxième changement d'équipement, à 44 minutes, et s'arrête à l'arrivée, à 56 minutes. Elle dure \(56-44=12\) minutes. L'athlète a couru pendant 12 minutes.
4. Sur ce graphique, plus un segment est incliné, plus l'athlète va vite. Le segment le moins incliné est celui de la natation. Pour le vérifier, calculons les trois vitesses moyennes :
\[\text{natation : } \dfrac{0{,}4\ \text{km}}{14\ \text{min}}\times 60\approx 1{,}7\ \text{km/h}\qquad \text{vélo : } \dfrac{10\ \text{km}}{27\ \text{min}}\times 60\approx 22{,}2\ \text{km/h}\qquad \text{course : } \dfrac{2{,}5\ \text{km}}{12\ \text{min}}\times 60=12{,}5\ \text{km/h}\]
L'épreuve de cyclisme dure 27 minutes (de 15 à 42). L'athlète a été la moins rapide pendant la natation.
5. Sur l'ensemble du triathlon, changements d'équipement compris, l'athlète parcourt 12,9 km en 56 minutes, de l'instant 0 à l'instant 56. Sa vitesse moyenne est :
\[v=\dfrac{12{,}9\ \text{km}}{56\ \text{min}}\times 60=\dfrac{12{,}9\times 60}{56}\ \text{km/h}\approx 13{,}8\ \text{km/h}\]
Comme \(13{,}8\lt 14\), la vitesse moyenne n'est pas supérieure à 14 km/h.
Corrigé de l’exercice 3 : carrés, rotations et symétries
La rotation de 45° qui construit la figure tourne dans le sens des aiguilles d'une montre : on passe du carré 1 au carré 2, puis au 3, au 4, et ainsi de suite jusqu'au 8. Chaque carré est donc obtenu à partir du précédent par un huitième de tour autour de O.
1. La symétrie d'axe (DB) échange la gauche et la droite de la figure. Trois couples de carrés conviennent : les carrés 2 et 8, les carrés 3 et 7 et les carrés 4 et 6. Un seul couple suffit pour répondre.
2. La symétrie centrale de centre O envoie un carré sur celui qui lui est diamétralement opposé. Le carré 8 est en haut à gauche de O, son symétrique est donc en bas à droite : c'est le carré 4. Le carré 3, lui, est à droite de O, sur la même horizontale. Non, le carré 3 n'est pas l'image du carré 8 par la symétrie de centre O.
3. La rotation qui transforme le carré 1 en le carré 2 est la rotation de centre O et d'angle 45° dans le sens horaire. Dans la couronne, le carré qui vient juste avant le carré 1 est le carré 8 : le carré 8 est envoyé sur le carré 1. L'image du carré 8 est le carré 1.
4. Pour aller du carré 2 au carré 5, on passe par les carrés 3, 4, puis 5 : trois huitièmes de tour, soit \(3\times 45^\circ=135^\circ\) dans le sens horaire. Cette rotation de centre O envoie E sur H et F sur I. L'image du segment [EF] est donc le segment [HI].
Corrigé de l’exercice 4 : suites d’instructions sur un motif
Repère les cases par leur position : haut, milieu, bas et gauche, centre, droite.
1. L'instruction A noircit la case centrale. L'instruction B noircit la case en bas à gauche et celle en haut à droite. Après A B, trois cases sont noires : le bas à gauche, le centre et le haut à droite. Ces trois cases forment la diagonale qui monte de gauche à droite, les six autres cases restent blanches.
2. Le motif cherché a toutes ses cases noires sauf la case médiane à gauche et la case médiane à droite. On analyse chaque proposition.
- Proposition 1 (A B C) : A, B et C ne font que noircir. Le centre et les coins noircis par A et B restent noirs, ce qui ne correspond pas : seules 5 cases sont noires, au lieu de 7. Fausse.
- Proposition 2 (C E) : C noircit les deux cases médianes latérales, puis E inverse tout : ces deux cases deviennent blanches et les sept autres noires. Juste.
- Proposition 3 (B C E C) : après B et C, quatre cases sont noires ; E les rend blanches et rend les cinq autres noires ; le dernier C noircit les deux cases médianes latérales, qui étaient déjà noires ou le deviennent. Les coins du bas à gauche et du haut à droite restent blancs, ce qui ne correspond pas. Fausse.
- Proposition 4 (C A E A) : C noircit les deux cases médianes latérales ; A noircit le centre ; E inverse : la ligne du milieu devient entièrement blanche et le reste noir ; le dernier A noircit le centre. Le centre est noir, les deux cases médianes latérales sont blanches, les six autres sont noires. Juste.
Les deux propositions qui conviennent sont la proposition 2 (C E) et la proposition 4 (C A E A).
3. Le motif a trois cases blanches, celles de la diagonale qui monte de gauche à droite, et six cases noires. Or la suite A B de la question 1 noircit exactement ces trois cases. Il suffit d'inverser ensuite les couleurs : la suite A B E convient. D'autres suites sont possibles, par exemple B A E.
Corrigé de l’exercice 5 : coût du papier peint
1. Les quatre murs sont des rectangles : deux de 3,5 m sur 2,5 m et deux de 2,5 m sur 2,5 m. On retire la porte (2,1 m sur 0,8 m) et la fenêtre (1,6 m sur 1,2 m) :
\[\mathcal{A}=2\times3{,}5\times2{,}5+2\times2{,}5\times2{,}5-2{,}1\times0{,}8-1{,}6\times1{,}2\]
\[\mathcal{A}=17{,}5+12{,}5-1{,}68-1{,}92=30-3{,}6=26{,}4\ \text{m}^2\]
La surface à recouvrir est bien 26,4 m².
2. Un rouleau de 16,95 € couvre 5,3 m². Le prix du mètre carré est :
\[\dfrac{16{,}95}{5{,}3}\approx 3{,}198\]
Arrondi au centime, un mètre carré de papier peint coûte 3,20 €.
3. Nombre de rouleaux nécessaires : \(\dfrac{26{,}4}{5{,}3}\approx 4{,}98\). Comme les rouleaux sont vendus entiers, il en faut 5, et le vendeur conseille d'en prendre un de plus pour les pertes : 6 rouleaux.
Prix du papier peint : \(6\times16{,}95=101{,}70\) €.
Pour la colle, il faut 1 pot pour 4 rouleaux. Avec 6 rouleaux, 1 pot ne suffit pas (il couvre 4 rouleaux) et 2 pots suffisent : \(2\times5{,}70=11{,}40\) €.
Coût total : \(101{,}70+11{,}40=113{,}10\) €. La rénovation coûtera 113,10 €.
4. Retirer 8 % revient à multiplier par \(1-\dfrac{8}{100}=0{,}92\) :
\[113{,}10\times0{,}92=104{,}052\]
Après remise, le prix à payer est 104,05 €.