Diplôme national du brevet · Session 2023
Amérique du Nord · 31 mai 2023
Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures
Exercice 1 20 points
Les cinq situations suivantes sont indépendantes.
Situation 1
Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre \(780\).
Aucune justification n'est attendue.
Situation 2
On rappelle qu'un jeu de 32 cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique).
Chaque famille est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as.
L'expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir le 8 de pique ? Aucune justification n'est attendue.
b. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur ? Aucune justification n'est attendue.
Situation 3
Développer et réduire l'expression \(A=(2x+5)(3x-4)\).
Situation 4
a. Quel est le volume, en \(\text{cm}^3\), de ce prisme droit ?
b. Convertir ce résultat en litre.
Rappel : \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3\).
Situation 5
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.
Le coefficient de cet agrandissement est 3.
L'aire du polygone 1 est égale à \(11\ \text{cm}^2\).
Quelle est l'aire du polygone 2 ?
Représentation de la situation qui n'est pas à l'échelle.
Exercice 2 22 points
On considère la figure ci-dessous. On donne les mesures suivantes :
- AN = 13 cm
- LN = 5 cm
- AL = 12 cm
- ON = 3 cm
- O appartient au segment [LN]
- H appartient au segment [NA]
![Triangle LNA avec L en bas à gauche, N en bas à droite et A au-dessus de L ; le point O est sur [LN], le point H sur [NA], et le segment [OH] est perpendiculaire à [LN]](/wp-content/uploads/annales/brevet-2023-amerique-du-nord/sujet-ex2-triangle.webp)
Cette figure n'est pas à l'échelle.
1. Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.
2. Montrer que la longueur OH est égale à \(7{,}2\) cm.
3. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{\text{LNA}}\). Donner une valeur approchée à l'unité près.
4. Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?
5. a. Quelle est l'aire du quadrilatère LOHA ?
b. Quelle proportion de l'aire du triangle LNA représente l'aire du quadrilatère LOHA ?
Exercice 3 20 points
Les deux parties sont indépendantes
Partie A : évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique
1. Le diagramme ci-dessous représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021 sur ce site.
Titre du diagramme : « Nombre de visiteurs sur le site touristique par année » (en abscisse l'année, en ordonnée le nombre de visiteurs).
a. Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ? Aucune justification n'est attendue.
b. En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ? Aucune justification n'est attendue.
2. Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs sur le site touristique de cette ville en 2020 et en 2021 :
| Année | 2020 | 2021 |
|---|---|---|
| Nombre de visiteurs | 187 216 | 219 042 |
Le maire de cette ville avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d'au moins \(15\,\%\) entre 2020 et 2021.
L'objectif a-t-il été atteint ?
Partie B : étude des prix des hôtels de cette ville
Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels de cette ville.
| Prix facturés pour une nuit (en euro) | 60 | 80 | 85 | 90 | 110 | 120 | 350 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 200 | 1 350 | 1 000 | 1 100 | 1 200 | 1 300 | 900 | 300 |
3. Déterminer l'étendue des prix facturés.
4. Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l'euro près.
5. L'association des hôteliers de cette ville cherche à attirer des touristes et annonce : « Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 €. » Est-ce vrai ?
Exercice 4 20 points
À l'aide d'un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif « Fleur » suivant.
1. a. Le parallélogramme KLMN ci-dessous représente un des pétales du motif « Fleur ». Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant 1 cm pour 5 pas.
b. On définit le bloc « Pétale » ci-dessous afin de dessiner ce parallélogramme.
On commence la construction du parallélogramme au point K en s'orientant vers la droite.
Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 4, 5, 6 et 7 du bloc « Pétale » ci-dessus ?
Aucune justification n'est attendue, écrire sur la copie le numéro de la ligne du bloc « Pétale » et la valeur correspondante.
2. Le bloc ci-dessous permet de construire un motif « Fleur » en partant de son centre.
a. Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 du bloc « Fleur » ci-dessus ? Aucune justification n'est attendue.
b. Expliquer le choix de la valeur « 72 » dans la ligne 4.
c. On modifie le bloc « Fleur » pour construire le motif suivant :
Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » ? Aucune justification n'est attendue.
Exercice 5 18 points
Un hippodrome est un lieu où se déroule des courses de chevaux.
On s'intéresse à la piste d'un hippodrome.
Cette piste est composée de :
- deux lignes droites modélisées par des segments de 850 mètres ;
- deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon 40 mètres.
1. Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ 1 951 m.
2. Un cheval parcourt un tour de piste en 2 min 9 s.
a. Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètre par seconde (m/s). Donner une valeur approchée à l'unité près.
b. Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).
3. On admet que la surface de la piste a une aire d'environ \(73\,027\ \text{m}^2\).
On souhaite semer du gazon sur la totalité de la surface de la piste.
On doit choisir des sacs de gazon à semer parmi les trois marques ci-dessous :
| Surface couverte par sac | Prix d'un sac | |
|---|---|---|
| Marque A | 500 m² | 141,95 € |
| Marque B | 400 m² | 87,90 € |
| Marque C | 300 m² | 66,50 € |
Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?
