Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître et décrire des solides (prismes droits et cylindres), à les dessiner en perspective cavalière, à fabriquer leur patron, puis à calculer leur volume et à convertir les unités de volume et de capacité. Chaque partie se termine par une méthode ou un exemple à retenir.
0. Ce que tu dois déjà savoir
Rappels de 6ème
Le volume d’un pavé droit est L × l × h (dimensions dans la même unité) ; le volume d’un cube de côté c est c × c × c. Le périmètre d’un cercle de rayon r est 2 × π × r et l’aire d’un disque de rayon r est π × r × r. Un cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête.
Le volume d’un pavé droit est L × l × h (dimensions dans la même unité) ; le volume d’un cube de côté c est c × c × c. Le périmètre d’un cercle de rayon r est 2 × π × r et l’aire d’un disque de rayon r est π × r × r. Un cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête.
1. Les solides : prismes droits et cylindres
Prisme droit
Un prisme droit est un solide qui a deux bases : deux polygones identiques placés dans des plans parallèles. Les autres faces, appelées faces latérales, sont toutes des rectangles. La hauteur du prisme est la longueur d’une arête latérale, perpendiculaire aux bases.
Un prisme droit est un solide qui a deux bases : deux polygones identiques placés dans des plans parallèles. Les autres faces, appelées faces latérales, sont toutes des rectangles. La hauteur du prisme est la longueur d’une arête latérale, perpendiculaire aux bases.
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide qui a deux bases : deux disques identiques de même rayon r, dans des plans parallèles. Sa surface latérale est courbe. Sa hauteur h est la distance entre les deux disques.
Un cylindre de révolution est un solide qui a deux bases : deux disques identiques de même rayon r, dans des plans parallèles. Sa surface latérale est courbe. Sa hauteur h est la distance entre les deux disques.
À gauche, un prisme droit dont les bases sont des triangles ; à droite, un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h.
Cas particuliers
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un prisme droit dont les bases sont des rectangles ; le cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un prisme droit dont les bases sont des rectangles ; le cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur.
| Solide | Bases | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|---|
| Pavé droit | 2 rectangles | 6 | 12 | 8 |
| Prisme droit à base triangulaire | 2 triangles | 5 | 9 | 6 |
| Prisme droit à base pentagonale | 2 pentagones | 7 | 15 | 10 |
| Cylindre de révolution | 2 disques | 3 (2 plates, 1 courbe) | 0 arête droite | 0 |
Compter les faces, arêtes et sommets d’un prisme
Si la base a n côtés, le prisme a n + 2 faces (n rectangles et 2 bases), 3 × n arêtes (n sur chaque base et n arêtes latérales) et 2 × n sommets.
Si la base a n côtés, le prisme a n + 2 faces (n rectangles et 2 bases), 3 × n arêtes (n sur chaque base et n arêtes latérales) et 2 × n sommets.
2. La perspective cavalière
Perspective cavalière
La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter un solide de l’espace sur une feuille plane. Une face (en général celle de devant) est dessinée en vraie grandeur, et les arêtes qui partent vers l’arrière, appelées fuyantes, sont tracées en oblique.
La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter un solide de l’espace sur une feuille plane. Une face (en général celle de devant) est dessinée en vraie grandeur, et les arêtes qui partent vers l’arrière, appelées fuyantes, sont tracées en oblique.
Règles à respecter
1) Les arêtes parallèles dans le solide sont dessinées par des segments parallèles. 2) Les arêtes de même longueur et parallèles restent de même longueur sur le dessin. 3) Les arêtes cachées sont tracées en pointillés. 4) Les arêtes fuyantes sont raccourcies (par exemple de moitié), donc les longueurs ne sont pas toutes conservées.
1) Les arêtes parallèles dans le solide sont dessinées par des segments parallèles. 2) Les arêtes de même longueur et parallèles restent de même longueur sur le dessin. 3) Les arêtes cachées sont tracées en pointillés. 4) Les arêtes fuyantes sont raccourcies (par exemple de moitié), donc les longueurs ne sont pas toutes conservées.
Le pavé ABCDEFGH : la face ABCD est en vraie grandeur (rectangle). Les arêtes [AE], [EF] et [EH] sont cachées, donc en pointillés.
Dessiner un pavé droit en perspective cavalière
1) Trace la face avant : un rectangle en vraie grandeur. 2) Choisis la direction et la longueur des fuyantes, puis trace-les à partir de trois sommets (en haut à gauche, en haut à droite, en bas à droite), toutes parallèles et de même longueur. 3) Relie leurs extrémités pour dessiner la face arrière. 4) Repasse en pointillés les trois arêtes qui sont cachées.
1) Trace la face avant : un rectangle en vraie grandeur. 2) Choisis la direction et la longueur des fuyantes, puis trace-les à partir de trois sommets (en haut à gauche, en haut à droite, en bas à droite), toutes parallèles et de même longueur. 3) Relie leurs extrémités pour dessiner la face arrière. 4) Repasse en pointillés les trois arêtes qui sont cachées.
Piège
Sur le dessin, la face de dessus et la face de droite ressemblent à des parallélogrammes, alors que ce sont des rectangles dans la réalité. Les angles droits ne sont conservés que sur la face dessinée en vraie grandeur.
Sur le dessin, la face de dessus et la face de droite ressemblent à des parallélogrammes, alors que ce sont des rectangles dans la réalité. Les angles droits ne sont conservés que sur la face dessinée en vraie grandeur.
3. Les patrons
Patron
Un patron d’un solide est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de reconstituer ce solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents.
Un patron d’un solide est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de reconstituer ce solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents.
Voici un patron de pavé droit (4 cm sur 3 cm sur 2 cm) et un patron de prisme droit à base triangulaire (triangle de côtés 3, 4 et 5 cm, hauteur 4,5 cm, dessiné à l’échelle 1/2) :
Dans un patron de prisme droit, on trouve les deux bases et, collés les uns à côté des autres, autant de rectangles que la base a de côtés.
Patron d’un cylindre de révolution
Un patron de cylindre contient deux disques identiques et un rectangle. La largeur de ce rectangle est la hauteur h du cylindre. Sa longueur est égale au périmètre d’un disque de base : 2 × π × r.
Un patron de cylindre contient deux disques identiques et un rectangle. La largeur de ce rectangle est la hauteur h du cylindre. Sa longueur est égale au périmètre d’un disque de base : 2 × π × r.
Exemple
Un cylindre a pour rayon 2 cm et pour hauteur 7 cm. Le rectangle du patron mesure 7 cm de large et 2 × π × 2 = 4π ≈ 12,57 cm de long. Chaque disque a pour rayon 2 cm.
Un cylindre a pour rayon 2 cm et pour hauteur 7 cm. Le rectangle du patron mesure 7 cm de large et 2 × π × 2 = 4π ≈ 12,57 cm de long. Chaque disque a pour rayon 2 cm.
Reconnaître un patron
Vérifie trois choses : le bon nombre de faces, des rectangles dont les côtés ont les bonnes longueurs (ceux qui se touchent doivent avoir un côté commun de même longueur), et aucune face qui se chevauche quand on plie.
Vérifie trois choses : le bon nombre de faces, des rectangles dont les côtés ont les bonnes longueurs (ceux qui se touchent doivent avoir un côté commun de même longueur), et aucune face qui se chevauche quand on plie.
4. Aires : disque et faces latérales
Aire d’un disque et périmètre d’un cercle
Pour un disque de rayon r : aire = π × r × r = π × r² et périmètre = 2 × π × r.
Pour un disque de rayon r : aire = π × r × r = π × r² et périmètre = 2 × π × r.
Aire latérale
L’aire latérale d’un solide est la somme des aires de ses faces sans les bases. Pour un prisme droit : aire latérale = périmètre de la base × hauteur. Pour un cylindre : aire latérale = 2 × π × r × h (c’est l’aire du rectangle du patron).
L’aire latérale d’un solide est la somme des aires de ses faces sans les bases. Pour un prisme droit : aire latérale = périmètre de la base × hauteur. Pour un cylindre : aire latérale = 2 × π × r × h (c’est l’aire du rectangle du patron).
Exemple
Prisme droit de hauteur 8 cm dont la base est un rectangle de 5 cm sur 3 cm : périmètre de la base = 2 × (5 + 3) = 16 cm, donc aire latérale = 16 × 8 = 128 cm². Aire totale = 128 + 2 × (5 × 3) = 128 + 30 = 158 cm².
Prisme droit de hauteur 8 cm dont la base est un rectangle de 5 cm sur 3 cm : périmètre de la base = 2 × (5 + 3) = 16 cm, donc aire latérale = 16 × 8 = 128 cm². Aire totale = 128 + 2 × (5 × 3) = 128 + 30 = 158 cm².
5. Volume d’un prisme droit
Volume d’un prisme droit
Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire d’une base multipliée par la hauteur : V = aire de la base × h. Aire et hauteur doivent être exprimées dans la même unité de longueur (cm² avec cm, m² avec m…).
Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire d’une base multipliée par la hauteur : V = aire de la base × h. Aire et hauteur doivent être exprimées dans la même unité de longueur (cm² avec cm, m² avec m…).
Calculer le volume d’un prisme droit
1) Repère la base et sa forme. 2) Calcule l’aire de la base. 3) Repère la hauteur du prisme (l’arête qui joint les deux bases). 4) Multiplie, et écris l’unité (cm³, m³…).
1) Repère la base et sa forme. 2) Calcule l’aire de la base. 3) Repère la hauteur du prisme (l’arête qui joint les deux bases). 4) Multiplie, et écris l’unité (cm³, m³…).
Exemple 1 : le pavé
Pavé de 7 cm sur 4 cm sur 3 cm : aire de la base = 7 × 4 = 28 cm², hauteur 3 cm, donc V = 28 × 3 = 84 cm³.
Pavé de 7 cm sur 4 cm sur 3 cm : aire de la base = 7 × 4 = 28 cm², hauteur 3 cm, donc V = 28 × 3 = 84 cm³.
Exemple 2 : base triangulaire
La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 4 cm : son aire est 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Si la hauteur du prisme est 10 cm, V = 12 × 10 = 120 cm³.
La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 4 cm : son aire est 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Si la hauteur du prisme est 10 cm, V = 12 × 10 = 120 cm³.
Exemple 3 : base en L
Le L est un rectangle de 6 cm sur 4 cm auquel on a retiré un carré de 2 cm de côté : aire = 6 × 4 − 2 × 2 = 24 − 4 = 20 cm². Pour une hauteur de 9 cm, V = 20 × 9 = 180 cm³.
Le L est un rectangle de 6 cm sur 4 cm auquel on a retiré un carré de 2 cm de côté : aire = 6 × 4 − 2 × 2 = 24 − 4 = 20 cm². Pour une hauteur de 9 cm, V = 20 × 9 = 180 cm³.
6. Volume d’un cylindre de révolution
Volume d’un cylindre
La base est un disque d’aire π × r². Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est donc V = π × r × r × h.
La base est un disque d’aire π × r². Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est donc V = π × r × r × h.
Exemple
Cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm : V = π × 4 × 4 × 9 = 144π cm³ (valeur exacte) ≈ 452,39 cm³ (arrondi au centième).
Cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm : V = π × 4 × 4 × 9 = 144π cm³ (valeur exacte) ≈ 452,39 cm³ (arrondi au centième).
Pièges
Ne confonds pas le rayon et le diamètre : si on te donne un diamètre de 10 cm, le rayon est 5 cm. Dans la formule, le rayon est multiplié par lui-même (r × r), pas par 2.
Ne confonds pas le rayon et le diamètre : si on te donne un diamètre de 10 cm, le rayon est 5 cm. Dans la formule, le rayon est multiplié par lui-même (r × r), pas par 2.
Calculatrice
Utilise la touche π de ta calculatrice, et n’arrondis qu’à la toute fin du calcul. Tu peux aussi donner le résultat exact sous la forme 144π.
Utilise la touche π de ta calculatrice, et n’arrondis qu’à la toute fin du calcul. Tu peux aussi donner le résultat exact sous la forme 144π.
7. Unités de volume et de capacité
Unités de volume
1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête. De même 1 dm³ = 1 dm × 1 dm × 1 dm = 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1 000 cm³, et 1 m³ = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1 000 dm³.
1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête. De même 1 dm³ = 1 dm × 1 dm × 1 dm = 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1 000 cm³, et 1 m³ = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1 000 dm³.
Convertir des unités de volume
Quand on passe à l’unité immédiatement plus petite (m³ vers dm³, dm³ vers cm³…), on multiplie par 1 000 ; vers l’unité immédiatement plus grande, on divise par 1 000. Avec un tableau, chaque unité occupe trois colonnes.
Quand on passe à l’unité immédiatement plus petite (m³ vers dm³, dm³ vers cm³…), on multiplie par 1 000 ; vers l’unité immédiatement plus grande, on divise par 1 000. Avec un tableau, chaque unité occupe trois colonnes.
| km³ | hm³ | dam³ | m³ | dm³ | cm³ | mm³ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 0 |
Un tableau de volumes : chaque unité occupe trois colonnes dans l’écriture décimale. Ici 3 m³ = 3 000 dm³.
Exemples
2,4 dm³ = 2,4 × 1 000 = 2 400 cm³ · 5 600 mm³ = 5,6 cm³ · 0,008 m³ = 8 dm³ · 1 cm³ = 11000 dm³ = 0,001 dm³.
2,4 dm³ = 2,4 × 1 000 = 2 400 cm³ · 5 600 mm³ = 5,6 cm³ · 0,008 m³ = 8 dm³ · 1 cm³ = 11000 dm³ = 0,001 dm³.
Capacité et litre
Le litre (L) mesure la contenance d’un récipient. 1 L = 1 dm³, donc 1 mL = 1 cm³ et 1 m³ = 1 000 L. Pour les capacités, chaque unité vaut 10 fois la suivante : 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
Le litre (L) mesure la contenance d’un récipient. 1 L = 1 dm³, donc 1 mL = 1 cm³ et 1 m³ = 1 000 L. Pour les capacités, chaque unité vaut 10 fois la suivante : 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0 |
Dans ce tableau de capacités, chaque unité occupe une seule colonne. Ici 2,5 L = 25 dL = 250 cL.
Passer d’un volume à une capacité
Convertis le volume en dm³ puis écris-le en L (1 dm³ = 1 L), ou convertis-le en cm³ puis écris-le en mL (1 cm³ = 1 mL).
Exemple : 3 500 cm³ = 3,5 dm³ = 3,5 L = 3 500 mL.
Convertis le volume en dm³ puis écris-le en L (1 dm³ = 1 L), ou convertis-le en cm³ puis écris-le en mL (1 cm³ = 1 mL).
Exemple : 3 500 cm³ = 3,5 dm³ = 3,5 L = 3 500 mL.
8. Résoudre un problème de volume
Méthode en 5 étapes
1) Fais un schéma et place les données. 2) Identifie le solide (pavé, prisme, cylindre). 3) Convertis toutes les longueurs dans la même unité. 4) Calcule l’aire de la base, puis le volume. 5) Convertis si on te le demande (en litres par exemple) et écris une phrase réponse.
1) Fais un schéma et place les données. 2) Identifie le solide (pavé, prisme, cylindre). 3) Convertis toutes les longueurs dans la même unité. 4) Calcule l’aire de la base, puis le volume. 5) Convertis si on te le demande (en litres par exemple) et écris une phrase réponse.
Exemple : un aquarium
Un aquarium est un pavé droit de 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Son volume est 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³ = 72 dm³, c’est-à-dire 72 L. Rempli aux 34, il contient 34 de 72 = 54 L d’eau.
Un aquarium est un pavé droit de 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Son volume est 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³ = 72 dm³, c’est-à-dire 72 L. Rempli aux 34, il contient 34 de 72 = 54 L d’eau.
Mathbot
Mathbot te conseille : « Avant de calculer un volume, écris toujours les unités de chaque donnée. Une erreur de conversion est plus fréquente qu’une erreur de calcul ! »
Mathbot te conseille : « Avant de calculer un volume, écris toujours les unités de chaque donnée. Une erreur de conversion est plus fréquente qu’une erreur de calcul ! »
À retenir
- Un prisme droit a deux bases identiques et des faces latérales rectangulaires ; un cylindre a deux bases qui sont des disques.
- Prisme à base de n côtés : n + 2 faces, 3n arêtes, 2n sommets.
- En perspective cavalière : parallélisme conservé, arêtes cachées en pointillés, longueurs non conservées sur les fuyantes.
- Le patron d’un cylindre : deux disques et un rectangle de longueur 2 × π × r et de largeur h.
- Volume d’un prisme droit : V = aire de la base × hauteur ; cylindre : V = π × r × r × h.
- Aire latérale d’un prisme droit : périmètre de la base × h ; d’un cylindre : 2 × π × r × h.
- 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³.
- On exprime toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer, et on n’arrondit qu’à la fin.