Longueurs, aires, durées, volumes, capacités : en 5ème, tu rassembles tout ce qui se mesure. Tu apprends à calculer le périmètre et l’aire des figures usuelles (rectangle, triangle, parallélogramme, disque), à convertir d’une unité à l’autre et à calculer le volume d’un pavé droit ou d’un prisme droit. À la fin, tu sauras résoudre des problèmes concrets du quotidien.
1. Périmètre d’une figure
PérimètreLe périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Il s’exprime en unités de longueur (mm, cm, m, km…).
Formules à connaître
- Rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l).
- Carré de côté c : P = 4 × c.
- Cercle de rayon r (ou de diamètre D) : P = 2 × π × r = π × D. Le nombre π vaut environ 3,14.
- Polygone quelconque : on additionne les longueurs de tous les côtés.
ExempleUn terrain rectangulaire mesure 12,5 m de long et 8 m de large. Son périmètre est P = 2 × (12,5 + 8) = 2 × 20,5 = 41 m.
Un cercle de rayon 3 cm a pour périmètre P = 2 × π × 3 = 6 × π ≈ 18,85 cm (valeur arrondie au centième).
Un cercle de rayon 3 cm a pour périmètre P = 2 × π × 3 = 6 × π ≈ 18,85 cm (valeur arrondie au centième).
PiègeDans un périmètre, on ne peut additionner que des longueurs exprimées dans la même unité. Convertis d’abord, calcule ensuite.
2. Aire d’un rectangle et d’un carré
AireL’aire d’une figure mesure la taille de sa surface. Elle s’exprime en unités d’aire : mm², cm², m², km²… Une aire de 1 cm² est celle d’un carré de 1 cm de côté.
Formules
- Rectangle : A = L × l (longueur × largeur).
- Carré : A = c × c = c².
ExempleUne affiche mesure 40 cm sur 30 cm. Son aire est 40 × 30 = 1 200 cm². Un carré de 7 m de côté a pour aire 7 × 7 = 49 m².
Ne confonds pasPérimètre et aire sont deux grandeurs différentes. Un rectangle de 6 cm sur 2 cm a un périmètre de 16 cm et une aire de 12 cm². Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes.
3. Aire d’un parallélogramme et d’un triangle
HauteurDans un parallélogramme ou un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté (la base) et qui joint cette base au sommet opposé ou au côté opposé. Elle fait un angle droit avec la base : ce n’est pas un côté penché.
Aire d’un parallélogrammeSi on découpe un triangle rectangle à une extrémité du parallélogramme et qu’on le recolle de l’autre côté, on obtient un rectangle de même aire. Donc
A = base × hauteur, avec la hauteur relative à cette base.
A = base × hauteur, avec la hauteur relative à cette base.
Aire d’un triangleUn triangle est la moitié d’un parallélogramme (on le double en le faisant tourner d’un demi-tour autour du milieu d’un côté). Donc
A = base × hauteur ÷ 2.
A = base × hauteur ÷ 2.
ExemplesParallélogramme de base 9 cm et de hauteur 4 cm : A = 9 × 4 = 36 cm².
Triangle de base 7 cm et de hauteur 5 cm : A = 7 × 5 ÷ 2 = 35 ÷ 2 = 17,5 cm².
Triangle de base 7 cm et de hauteur 5 cm : A = 7 × 5 ÷ 2 = 35 ÷ 2 = 17,5 cm².
PiègeLa hauteur n’est pas le côté « penché » de la figure. Si un énoncé donne un côté oblique de 6 cm et une hauteur de 4 cm, c’est 4 qu’on utilise dans l’aire (et 6 dans le périmètre).
4. Périmètre et aire d’un disque
VocabulaireUn disque de centre O et de rayon r est limité par un cercle. Son diamètre vaut D = 2 × r : c’est le double du rayon.
FormuleAire d’un disque de rayon r : A = π × r × r = π × r². On calcule d’abord r × r, puis on multiplie par π.
ExempleUn disque a un diamètre de 10 m, donc un rayon de 5 m. Son aire est A = π × 5² = 25 × π, soit environ 78,54 m². Son périmètre est P = π × 10 ≈ 31,42 m.
La valeur exacte de l’aire est 25π ; la valeur donnée par la calculatrice est un arrondi.
La valeur exacte de l’aire est 25π ; la valeur donnée par la calculatrice est un arrondi.
Pièges fréquents1) Utiliser le diamètre à la place du rayon dans A = π × r². 2) Calculer 2 × r au lieu de r × r. 3) Confondre périmètre du cercle (en m) et aire du disque (en m²).
5. Convertir des longueurs et des aires
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 0 | 0 | |||
| 2 | 3 | 0 |
Lecture : 4 500 m dans la colonne des mètres (4,5 km), et 230 cm = 2,3 m.
Convertir des longueursChaque unité vaut 10 fois l’unité qui la suit : 1 m = 10 dm = 100 cm = 1{S}000 mm et 1 km = 1{S}000 m. On place le chiffre des unités dans la colonne de l’unité de départ et on décale la virgule jusqu’à l’unité d’arrivée.
Exemples : 4,5 km = 4{S}500 m ; 230 cm = 2,3 m ; 75 mm = 7,5 cm.
Exemples : 4,5 km = 4{S}500 m ; 230 cm = 2,3 m ; 75 mm = 7,5 cm.
Convertir des airesPour les aires, chaque unité vaut 100 fois la suivante : on utilise un tableau avec deux chiffres par colonne. 1 m² = 100 dm² = 10{S}000 cm² ; 1 cm² = 100 mm².
Exemples : 3 m² = 300 dm² ; 5{S}000 cm² = 50 dm² ; 2,5 dm² = 250 cm².
Exemples : 3 m² = 300 dm² ; 5{S}000 cm² = 50 dm² ; 2,5 dm² = 250 cm².
Aires agrairesPour les terrains, on utilise l’are (1 a = 100 m²) et l’hectare (1 ha = 100 a = 10{S}000 m²). Un champ de 3 ha a donc une aire de 30{S}000 m².
6. Les durées
Unités de temps1 h = 60 min ; 1 min = 60 s ; donc 1 h = 3{S}600 s. Attention : ce n’est pas un système décimal. 1 j = 24 h.
Convertir et calculer
- 2 h 15 min = 2 × 60 + 15 = 135 min.
- 95 min = 60 + 35 = 1 h 35 min.
- 3,5 h : 0,5 h = 30 min, donc 3,5 h = 3 h 30 min.
- Pour ajouter : 3 h 45 min + 2 h 30 min = 5 h 75 min = 6 h 15 min (on convertit 75 min en 1 h 15 min).
- Pour trouver une durée : de 14 h 50 à 17 h 15, on va de 14 h 50 à 15 h (10 min), puis à 17 h (2 h), puis à 17 h 15 (15 min) : 2 h 25 min.
Piège2,5 h ne vaut pas 2 h 50 min ! La partie décimale d’une heure se multiplie par 60 : 0,5 h = 30 min.
7. Volumes et capacités
VolumeLe volume d’un solide mesure la place qu’il occupe. Les unités sont le cm³, le dm³, le m³… Un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³. La capacité d’un récipient est le volume de liquide qu’il peut contenir : on la mesure en litres (L), centilitres (cL), millilitres (mL).
Équivalences à connaître1 dm³ = 1 L ; 1 L = 100 cL = 1{S}000 mL ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 m³ = 1{S}000 dm³ = 1{S}000 L. Pour les volumes, chaque unité vaut 1{S}000 fois la suivante (trois chiffres par colonne).
Exemples3 dm³ = 3 L ; 4{S}500 L = 4{S}500 dm³ = 4,5 m³ ; 250 mL = 25 cL = 0,25 L ; 1,2 m³ = 1{S}200 L.
8. Volume du pavé droit et du prisme droit
Pavé droit et cubeV = longueur × largeur × hauteur. Pour un cube d’arête c : V = c × c × c = c³.
ExempleUn aquarium de 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut a un volume de 60 × 30 × 40 = 72{S}000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
Prisme droitUn prisme droit est un solide dont deux faces parallèles et superposables, les bases, sont des polygones, et dont les autres faces sont des rectangles. La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases (la longueur d’une arête latérale). Le pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles.
Volume d’un prisme droitV = aire de la base × hauteur. On calcule d’abord l’aire de la base (ici un triangle), puis on multiplie par la hauteur du prisme, en gardant la même unité de longueur partout.
ExempleBase : triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm, donc aire = 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Hauteur du prisme : 10 cm. Volume : 12 × 10 = 120 cm³, soit 0,12 L.
Mathbot te conseillePour un prisme, repère d’abord les deux bases : ce sont elles qui portent la forme. La « hauteur » du prisme est la longueur qui les sépare, même si le prisme est posé sur le côté !
9. Résoudre un problème de grandeurs
Méthode en 5 étapes
- Lis l’énoncé et repère la grandeur demandée (longueur, aire, volume, durée…).
- Fais un schéma et note les données dessus.
- Convertis toutes les données dans la même unité.
- Choisis la bonne formule, calcule, et écris l’unité.
- Vérifie que le résultat est vraisemblable et rédige une phrase-réponse.
Figure composéeCette figure est formée d’un rectangle de 9 cm sur 6 cm et d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 5 cm. Aire du rectangle : 9 × 6 = 54 cm². Aire du triangle : 6 × 5 ÷ 2 = 15 cm². Aire totale : 54 + 15 = 69 cm².
AstucePour une figure compliquée, découpe-la en figures simples (rectangles, triangles…) et additionne les aires, ou complète-la pour retrancher ce qui dépasse.
À retenir
- Périmètre du rectangle : 2 × (L + l) ; du carré : 4 × c ; du cercle : 2 × π × r.
- Aires : rectangle L × l ; carré c × c ; parallélogramme base × hauteur ; triangle base × hauteur ÷ 2 ; disque π × r × r.
- La hauteur est perpendiculaire à la base.
- Longueurs : un cran = × 10. Aires : un cran = × 100. Volumes : un cran = × 1 000.
- 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 ha = 10 000 m².
- 1 h = 60 min = 3 600 s : les durées ne sont pas décimales.
- Volume du pavé droit : L × l × h ; du prisme droit : aire de la base × hauteur.