Combien de frères et sœurs ont les élèves de ta classe ? Quel est le moyen de transport préféré pour venir au collège ? Pour répondre, on collecte des données, on les organise dans un tableau, on les résume avec quelques nombres (fréquence, moyenne, étendue) et on les dessine avec des diagrammes. C’est ce que font les statisticiens, et tu vas apprendre à le faire toi aussi.
1. Le vocabulaire des statistiques
Population, caractère, valeurs
La population est l’ensemble des personnes ou des objets que l’on étudie. Le caractère est ce que l’on observe ou mesure sur chacun d’eux. Les différentes réponses possibles sont les valeurs du caractère. Les données recueillies forment une série statistique.
La population est l’ensemble des personnes ou des objets que l’on étudie. Le caractère est ce que l’on observe ou mesure sur chacun d’eux. Les différentes réponses possibles sont les valeurs du caractère. Les données recueillies forment une série statistique.
Caractère quantitatif ou qualitatif
Un caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (âge, taille, nombre de frères et sœurs…). Il est qualitatif quand ses valeurs sont des mots (sport pratiqué, couleur des yeux, mode de transport…).
Un caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (âge, taille, nombre de frères et sœurs…). Il est qualitatif quand ses valeurs sont des mots (sport pratiqué, couleur des yeux, mode de transport…).
Exemple
On interroge les 25 élèves d’une classe de 5ème sur leur nombre de frères et sœurs. La population est « les 25 élèves de la classe ». Le caractère est « le nombre de frères et sœurs » : il est quantitatif. Ses valeurs sont 0, 1, 2, 3 et 4.
On interroge les 25 élèves d’une classe de 5ème sur leur nombre de frères et sœurs. La population est « les 25 élèves de la classe ». Le caractère est « le nombre de frères et sœurs » : il est quantitatif. Ses valeurs sont 0, 1, 2, 3 et 4.
Effectif
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L’effectif total est le nombre total de données : c’est la somme de tous les effectifs.
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L’effectif total est le nombre total de données : c’est la somme de tous les effectifs.
2. Organiser les données dans un tableau
Quand on a beaucoup de données, on les range dans un tableau d’effectifs : on compte chaque valeur une seule fois. Voici les réponses de la classe de 25 élèves :
| Frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 9 | 7 | 2 | 1 | 25 |
Dresser un tableau d’effectifs
1) On repère toutes les valeurs différentes et on les écrit dans l’ordre croissant. 2) On relit la liste de données en barrant chaque donnée comptée (ou en traçant un petit trait à chaque fois). 3) On écrit l’effectif de chaque valeur. 4) On vérifie que la somme des effectifs est égale au nombre de données.
1) On repère toutes les valeurs différentes et on les écrit dans l’ordre croissant. 2) On relit la liste de données en barrant chaque donnée comptée (ou en traçant un petit trait à chaque fois). 3) On écrit l’effectif de chaque valeur. 4) On vérifie que la somme des effectifs est égale au nombre de données.
Tableau à double entrée
Un tableau à double entrée classe les données selon deux critères en même temps : un critère par ligne et un par colonne. Les totaux se lisent en bout de lignes et de colonnes.
Un tableau à double entrée classe les données selon deux critères en même temps : un critère par ligne et un par colonne. Les totaux se lisent en bout de lignes et de colonnes.
| Activité | Filles | Garçons | Total |
|---|---|---|---|
| Natation | 12 | 8 | 20 |
| Judo | 5 | 11 | 16 |
| Tennis | 9 | 7 | 16 |
| Total | 26 | 26 | 52 |
Dans ce club de 52 adhérents, 11 garçons font du judo et il y a 26 filles en tout. Le total des totaux (52) se retrouve en bas à droite, que l’on additionne les lignes ou les colonnes.
3. La fréquence
Fréquence
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total. On l’écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total. On l’écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
Exemple
Dans la classe de 25 élèves, 9 élèves ont exactement 1 frère ou sœur. La fréquence de la valeur 1 est 925 = 0,36 = 36 %. (Pour passer en pourcentage, on peut écrire 925 = 36100.)
Dans la classe de 25 élèves, 9 élèves ont exactement 1 frère ou sœur. La fréquence de la valeur 1 est 925 = 0,36 = 36 %. (Pour passer en pourcentage, on peut écrire 925 = 36100.)
| Frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 9 | 7 | 2 | 1 | 25 |
| Fréquence (décimal) | 0,24 | 0,36 | 0,28 | 0,08 | 0,04 | 1 |
| Fréquence (%) | 24 % | 36 % | 28 % | 8 % | 4 % | 100 % |
À savoir
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %). La somme de toutes les fréquences vaut 1 (soit 100 %). C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %). La somme de toutes les fréquences vaut 1 (soit 100 %). C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
Astuce
Pour passer d’une fréquence décimale à un pourcentage, on multiplie par 100 : 0,28 = 28 %. Et quand on arrondit, par exemple 13 ≈ 0,33 ≈ 33 %, la somme des pourcentages peut valoir 99 % ou 101 % : ce n’est pas une erreur.
Pour passer d’une fréquence décimale à un pourcentage, on multiplie par 100 : 0,28 = 28 %. Et quand on arrondit, par exemple 13 ≈ 0,33 ≈ 33 %, la somme des pourcentages peut valoir 99 % ou 101 % : ce n’est pas une erreur.
4. La moyenne
Moyenne
La moyenne d’une série de nombres est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l’effectif total. Elle indique la valeur « au milieu » de la série : c’est un indicateur de position.
La moyenne d’une série de nombres est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l’effectif total. Elle indique la valeur « au milieu » de la série : c’est un indicateur de position.
Exemple
Relevé des températures de 7 jours consécutifs : 12 °C ; 15 °C ; 11 °C ; 14 °C ; 18 °C ; 17 °C ; 11 °C.
Somme : 12 + 15 + 11 + 14 + 18 + 17 + 11 = 98. Il y a 7 valeurs.
Moyenne : 98 ÷ 7 = 14 °C.
Relevé des températures de 7 jours consécutifs : 12 °C ; 15 °C ; 11 °C ; 14 °C ; 18 °C ; 17 °C ; 11 °C.
Somme : 12 + 15 + 11 + 14 + 18 + 17 + 11 = 98. Il y a 7 valeurs.
Moyenne : 98 ÷ 7 = 14 °C.
Calculer une moyenne avec un tableau d’effectifs
Chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif. On multiplie donc chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l’effectif total.
Pour les frères et sœurs : somme = 0×6 + 1×9 + 2×7 + 3×2 + 4×1 = 0 + 9 + 14 + 6 + 4 = 33 ; moyenne = 33 ÷ 25 = 1,32.
Chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif. On multiplie donc chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l’effectif total.
Pour les frères et sœurs : somme = 0×6 + 1×9 + 2×7 + 3×2 + 4×1 = 0 + 9 + 14 + 6 + 4 = 33 ; moyenne = 33 ÷ 25 = 1,32.
Piège
La moyenne n’est pas forcément une valeur de la série, ni même un nombre possible : personne n’a 1,32 frère ou sœur ! Et ne divise jamais par le nombre de valeurs différentes (ici 5) mais par l’effectif total (ici 25).
La moyenne n’est pas forcément une valeur de la série, ni même un nombre possible : personne n’a 1,32 frère ou sœur ! Et ne divise jamais par le nombre de valeurs différentes (ici 5) mais par l’effectif total (ici 25).
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes
Une seule valeur très grande ou très petite peut tirer la moyenne vers le haut ou vers le bas. Avec les notes 12 ; 13 ; 14 ; 13 la moyenne vaut 13, mais avec 12 ; 13 ; 14 ; 1 elle tombe à 10.
Une seule valeur très grande ou très petite peut tirer la moyenne vers le haut ou vers le bas. Avec les notes 12 ; 13 ; 14 ; 13 la moyenne vaut 13, mais avec 12 ; 13 ; 14 ; 1 elle tombe à 10.
5. L’étendue
Étendue
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite : étendue = valeur maximale − valeur minimale. Elle mesure la dispersion de la série.
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite : étendue = valeur maximale − valeur minimale. Elle mesure la dispersion de la série.
Exemple
Pour les températures de la partie précédente : maximum 18 °C, minimum 11 °C, donc étendue = 18 − 11 = 7 °C.
Pour les températures de la partie précédente : maximum 18 °C, minimum 11 °C, donc étendue = 18 − 11 = 7 °C.
La moyenne et l’étendue se complètent. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des étendues très différentes : l’une est alors très groupée autour de la moyenne, l’autre très dispersée.
Exemple de comparaison
Série A : 9 ; 10 ; 11 ; 10 (moyenne 10, étendue 2). Série B : 2 ; 18 ; 10 ; 10 (moyenne 10, étendue 16). Même moyenne, mais B est bien plus dispersée.
Série A : 9 ; 10 ; 11 ; 10 (moyenne 10, étendue 2). Série B : 2 ; 18 ; 10 ; 10 (moyenne 10, étendue 16). Même moyenne, mais B est bien plus dispersée.
6. Le diagramme en bâtons
Un diagramme en bâtons représente une série dont le caractère est quantitatif. Sous chaque valeur, on dessine un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Diagramme en bâtons du nombre de frères et sœurs dans la classe. Le bâton le plus haut (effectif 9) correspond à la valeur 1.
Construire un diagramme en bâtons
1) Trace deux axes et note ce qu’ils représentent. 2) Gradue l’axe vertical régulièrement (par exemple de 2 en 2). 3) Place les valeurs régulièrement espacées sur l’axe horizontal. 4) Trace un bâton par valeur, de la hauteur de son effectif. 5) Ajoute un titre.
1) Trace deux axes et note ce qu’ils représentent. 2) Gradue l’axe vertical régulièrement (par exemple de 2 en 2). 3) Place les valeurs régulièrement espacées sur l’axe horizontal. 4) Trace un bâton par valeur, de la hauteur de son effectif. 5) Ajoute un titre.
7. Le diagramme circulaire
Diagramme circulaire
Un diagramme circulaire est un disque partagé en secteurs. Chaque secteur représente une valeur ; la mesure de son angle est proportionnelle à l’effectif (donc à la fréquence). Le disque entier correspond à 360°. Un diagramme semi-circulaire utilise un demi-disque : 180°.
Un diagramme circulaire est un disque partagé en secteurs. Chaque secteur représente une valeur ; la mesure de son angle est proportionnelle à l’effectif (donc à la fréquence). Le disque entier correspond à 360°. Un diagramme semi-circulaire utilise un demi-disque : 180°.
Voici le mode de transport des 40 élèves d’une autre classe :
| Transport | Bus | À pied | Voiture | Vélo | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 16 | 10 | 8 | 6 | 40 |
| Fréquence | 40 % | 25 % | 20 % | 15 % | 100 % |
| Angle (°) | 144 | 90 | 72 | 54 | 360 |
Calculer l’angle d’un secteur
Angle = fréquence × 360°. Pour le bus : 1640 × 360 = 0,4 × 360 = 144°. Comme le total vaut 40, on peut aussi multiplier chaque effectif par 360 ÷ 40 = 9 : 16 × 9 = 144. Le tableau est un tableau de proportionnalité. On vérifie toujours que la somme des angles fait 360° (ici 144 + 90 + 72 + 54 = 360).
Angle = fréquence × 360°. Pour le bus : 1640 × 360 = 0,4 × 360 = 144°. Comme le total vaut 40, on peut aussi multiplier chaque effectif par 360 ÷ 40 = 9 : 16 × 9 = 144. Le tableau est un tableau de proportionnalité. On vérifie toujours que la somme des angles fait 360° (ici 144 + 90 + 72 + 54 = 360).
Tracer le diagramme
Trace un cercle, puis un rayon. Avec le rapporteur, trace le premier angle, puis le deuxième à partir de la fin du premier, etc. Colorie chaque secteur d’une couleur et complète la légende.
Trace un cercle, puis un rayon. Avec le rapporteur, trace le premier angle, puis le deuxième à partir de la fin du premier, etc. Colorie chaque secteur d’une couleur et complète la légende.
8. Le diagramme cartésien et le bon choix de graphique
Diagramme cartésien
Un diagramme cartésien représente l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre, par exemple une température au cours du temps. Chaque information est un point repéré par ses coordonnées (x ; y) : l’abscisse x se lit sur l’axe horizontal, l’ordonnée y sur l’axe vertical. On relie souvent les points pour voir l’évolution.
Un diagramme cartésien représente l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre, par exemple une température au cours du temps. Chaque information est un point repéré par ses coordonnées (x ; y) : l’abscisse x se lit sur l’axe horizontal, l’ordonnée y sur l’axe vertical. On relie souvent les points pour voir l’évolution.
Température mesurée toutes les deux heures. À 14 h, le point a pour coordonnées (14 ; 22) : il fait 22 °C. La température monte jusqu’à 16 h (23 °C), puis redescend.
Quel graphique choisir ?
• Bâtons : comparer des effectifs de valeurs numériques. • Circulaire : montrer la répartition d’un tout en parts. • Cartésien : suivre une évolution (temps, distance…).
• Bâtons : comparer des effectifs de valeurs numériques. • Circulaire : montrer la répartition d’un tout en parts. • Cartésien : suivre une évolution (temps, distance…).
Lire un graphique avec esprit critique
Regarde toujours les graduations des axes : si l’axe vertical ne commence pas à 0, les différences paraissent bien plus grandes qu’elles ne le sont. Dans un diagramme circulaire en pourcentages, deux secteurs de même pourcentage ne représentent pas le même nombre de personnes si les totaux sont différents : 25 % de 200 élèves, c’est 50 ; 25 % de 800 élèves, c’est 200.
Regarde toujours les graduations des axes : si l’axe vertical ne commence pas à 0, les différences paraissent bien plus grandes qu’elles ne le sont. Dans un diagramme circulaire en pourcentages, deux secteurs de même pourcentage ne représentent pas le même nombre de personnes si les totaux sont différents : 25 % de 200 élèves, c’est 50 ; 25 % de 800 élèves, c’est 200.
Mathbot, le robot-coach
« Avant de calculer, demande-toi toujours : qui est la population ? quel est le caractère ? Cela évite la moitié des erreurs ! »
« Avant de calculer, demande-toi toujours : qui est la population ? quel est le caractère ? Cela évite la moitié des erreurs ! »
À retenir
- La population est ce qu’on étudie, le caractère ce qu’on observe (quantitatif ou qualitatif).
- L’effectif total est la somme des effectifs ; la fréquence = effectif ÷ effectif total, et la somme des fréquences vaut 1 (100 %).
- Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total (avec un tableau : on multiplie chaque valeur par son effectif).
- Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
- Diagramme en bâtons : hauteur proportionnelle à l’effectif.
- Diagramme circulaire : angle = fréquence × 360° ; la somme des angles vaut 360°.
- Diagramme cartésien : points de coordonnées (abscisse ; ordonnée) pour lire une évolution.
- On contrôle toujours les axes et les totaux d’un graphique avant de conclure.