Une règle pour mesurer un crayon, une balance pour peser des pommes, une bouteille pour doser du jus : tout cela repose sur des unités. Dans ce chapitre, tu apprends à choisir la bonne unité, à convertir des longueurs, des masses et des contenances, puis à calculer des périmètres, y compris celui d’un cercle avec le nombre π.
1. Mesurer une longueur
Longueur et unité
Une longueur mesure la distance entre deux points ou la taille d’un objet. Pour la donner, on choisit une unité et on compte combien de fois elle « rentre » dans la longueur. L’unité de référence est le mètre (symbole m).
Une longueur mesure la distance entre deux points ou la taille d’un objet. Pour la donner, on choisit une unité et on compte combien de fois elle « rentre » dans la longueur. L’unité de référence est le mètre (symbole m).
Pour mesurer précisément un petit objet, on utilise une règle graduée. On place le zéro au début de l’objet et on lit la graduation en face de la fin. Ici, le crayon orange mesure 7,3 cm, soit 73 mm :
Entre deux nombres entiers de centimètres, il y a 10 petites graduations : chacune vaut 1 mm. Le bout du crayon est 3 graduations après le 7.
Choisir la bonne unité
On prend l’unité qui donne un nombre facile à imaginer : le mm pour l’épaisseur d’un cahier, le cm pour un stylo, le m pour une pièce de la maison, le km pour la distance entre deux villes.
On prend l’unité qui donne un nombre facile à imaginer : le mm pour l’épaisseur d’un cahier, le cm pour un stylo, le m pour une pièce de la maison, le km pour la distance entre deux villes.
2. Les unités de longueur et le tableau de conversion
Multiples et sous-multiples du mètre
Les préfixes indiquent combien de mètres on prend : kilo = 1 000, hecto = 100, déca = 10, déci = un dixième, centi = un centième, milli = un millième. Ainsi 1 km = 1 000 m, 1 dm = 0,1 m, 1 cm = 0,01 m et 1 mm = 0,001 m.
Les préfixes indiquent combien de mètres on prend : kilo = 1 000, hecto = 100, déca = 10, déci = un dixième, centi = un centième, milli = un millième. Ainsi 1 km = 1 000 m, 1 dm = 0,1 m, 1 cm = 0,01 m et 1 mm = 0,001 m.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 000 m | 100 m | 10 m | 1 m | 0,1 m | 0,01 m | 0,001 m |
Chaque unité vaut dix fois la suivante.
À savoir par cœur
Quand on passe d’une unité à l’unité immédiatement plus petite (à droite dans le tableau), on multiplie par 10 : 1 m = 10 dm. Quand on passe à l’unité immédiatement plus grande (à gauche), on divise par 10 : 1 cm = 0,1 dm.
Quand on passe d’une unité à l’unité immédiatement plus petite (à droite dans le tableau), on multiplie par 10 : 1 m = 10 dm. Quand on passe à l’unité immédiatement plus grande (à gauche), on divise par 10 : 1 cm = 0,1 dm.
Convertir avec le tableau
1) Écris le nombre dans le tableau : le chiffre des unités de la mesure va dans la colonne de son unité, les autres chiffres suivent chacun dans sa colonne. 2) Repère la colonne de l’unité demandée. 3) Lis le nombre : le chiffre qui est dans cette colonne devient le chiffre des unités, la virgule se place juste après lui. 4) Complète par des zéros si des colonnes sont vides.
1) Écris le nombre dans le tableau : le chiffre des unités de la mesure va dans la colonne de son unité, les autres chiffres suivent chacun dans sa colonne. 2) Repère la colonne de l’unité demandée. 3) Lis le nombre : le chiffre qui est dans cette colonne devient le chiffre des unités, la virgule se place juste après lui. 4) Complète par des zéros si des colonnes sont vides.
Exemple : convertir 2 654 cm en m
Le chiffre 4 est dans la colonne des cm, le 5 dans celle des dm, le 6 dans celle des m et le 2 dans celle des dam.
Le chiffre 4 est dans la colonne des cm, le 5 dans celle des dm, le 6 dans celle des m et le 2 dans celle des dam.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 5 | 4 |
Le nombre 2 654 cm dans le tableau des longueurs.
Le chiffre 6 est dans la colonne des m : il devient le chiffre des unités. Donc 2 654 cm = 26,54 m.
3. Les masses
Masse
La masse d’un objet mesure la quantité de matière qu’il contient. On la mesure avec une balance. L’unité usuelle est le gramme (g) et le kilogramme (kg), avec 1 kg = 1 000 g. On utilise aussi la tonne : 1 t = 1 000 kg.
La masse d’un objet mesure la quantité de matière qu’il contient. On la mesure avec une balance. L’unité usuelle est le gramme (g) et le kilogramme (kg), avec 1 kg = 1 000 g. On utilise aussi la tonne : 1 t = 1 000 kg.
| kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
|---|---|---|---|---|---|---|
| kilogramme | hectogramme | décagramme | gramme | décigramme | centigramme | milligramme |
Même principe que pour les longueurs : de colonne en colonne, on multiplie ou on divise par 10.
Exemples
4,2 kg = 4 200 g (on décale de 3 colonnes vers la droite) · 870 g = 0,87 kg · 35 cg = 350 mg · 1 hg = 100 g.
4,2 kg = 4 200 g (on décale de 3 colonnes vers la droite) · 870 g = 0,87 kg · 35 cg = 350 mg · 1 hg = 100 g.
Sur une balance à plateaux, on met l’objet d’un côté et des masses marquées de l’autre. La balance est en équilibre quand les deux côtés ont la même masse :
À gauche : 600 g + 150 g = 750 g. À droite : 0,75 kg = 750 g. Les deux masses sont égales : la balance est en équilibre.
4. Les contenances
Contenance
La contenance d’un récipient est la quantité de liquide qu’il peut contenir. L’unité de référence est le litre (L). Les autres unités sont obtenues avec les mêmes préfixes : décilitre (dL), centilitre (cL), millilitre (mL), décalitre (daL), hectolitre (hL).
La contenance d’un récipient est la quantité de liquide qu’il peut contenir. L’unité de référence est le litre (L). Les autres unités sont obtenues avec les mêmes préfixes : décilitre (dL), centilitre (cL), millilitre (mL), décalitre (daL), hectolitre (hL).
| hL | daL | L | dL | cL | mL |
|---|---|---|---|---|---|
| hectolitre | décalitre | litre | décilitre | centilitre | millilitre |
À savoir par cœur
1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL. Un petit verre contient environ 20 cL, une cuillère à café 5 mL.
1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL. Un petit verre contient environ 20 cL, une cuillère à café 5 mL.
Litre et volume
Un litre est la contenance d’un cube de 1 dm d’arête : 1 L = 1 dm³. C’est pratique pour passer d’un volume à une quantité de liquide, tu le verras plus tard.
Un litre est la contenance d’un cube de 1 dm d’arête : 1 L = 1 dm³. C’est pratique pour passer d’un volume à une quantité de liquide, tu le verras plus tard.
Piège classique
Dans le tableau des contenances, il n’y a pas de colonne « km » ni « kL » : la première colonne est celle des hL. Fais attention à ne pas décaler tes chiffres d’une colonne.
Dans le tableau des contenances, il n’y a pas de colonne « km » ni « kL » : la première colonne est celle des hL. Fais attention à ne pas décaler tes chiffres d’une colonne.
5. Calculer avec des unités
Additionner ou soustraire des mesures
On ne peut additionner que des mesures exprimées dans la même unité. 1) Convertis dans l’unité la plus pratique (souvent la plus petite). 2) Calcule. 3) Donne le résultat, si besoin, dans une unité mieux adaptée.
On ne peut additionner que des mesures exprimées dans la même unité. 1) Convertis dans l’unité la plus pratique (souvent la plus petite). 2) Calcule. 3) Donne le résultat, si besoin, dans une unité mieux adaptée.
Exemple
Une planche de 1,8 m est rallongée de 35 cm. 1,8 m = 180 cm ; 180 + 35 = 215 cm, soit 2,15 m.
Une planche de 1,8 m est rallongée de 35 cm. 1,8 m = 180 cm ; 180 + 35 = 215 cm, soit 2,15 m.
Multiplier ou diviser une mesure
On calcule avec le nombre et on garde l’unité. 6 bouteilles de 1,5 L contiennent 6 × 1,5 = 9 L. Un ruban de 3 m coupé en 8 morceaux égaux donne 300 ÷ 8 = 37,5 cm par morceau.
On calcule avec le nombre et on garde l’unité. 6 bouteilles de 1,5 L contiennent 6 × 1,5 = 9 L. Un ruban de 3 m coupé en 8 morceaux égaux donne 300 ÷ 8 = 37,5 cm par morceau.
Pièges à éviter
N’écris jamais 2 m + 40 cm = 42 ! Écris 200 cm + 40 cm = 240 cm. Une même unité partout, puis seulement on calcule. Et écris toujours l’unité dans la réponse.
N’écris jamais 2 m + 40 cm = 42 ! Écris 200 cm + 40 cm = 240 cm. Une même unité partout, puis seulement on calcule. Et écris toujours l’unité dans la réponse.
Mesure en plusieurs unités
3 m 45 cm signifie 3 m + 45 cm = 300 cm + 45 cm = 345 cm = 3,45 m.
3 m 45 cm signifie 3 m + 45 cm = 300 cm + 45 cm = 345 cm = 3,45 m.
6. Le périmètre d’un polygone
Périmètre
Le périmètre d’une figure fermée est la longueur de son contour. Pour un polygone, c’est la somme des longueurs de tous ses côtés. Il s’exprime avec une unité de longueur.
Le périmètre d’une figure fermée est la longueur de son contour. Pour un polygone, c’est la somme des longueurs de tous ses côtés. Il s’exprime avec une unité de longueur.
Formules à connaître
Rectangle : P = 2 × (L + l) · Carré de côté c : P = 4 × c · Triangle : P = a + b + c (somme des trois côtés) · Triangle équilatéral de côté c : P = 3 × c.
Rectangle : P = 2 × (L + l) · Carré de côté c : P = 4 × c · Triangle : P = a + b + c (somme des trois côtés) · Triangle équilatéral de côté c : P = 3 × c.
Exemple
Un terrain rectangulaire mesure 18 m de long et 11 m de large. P = 2 × (18 + 11) = 2 × 29 = 58 m. Pour une clôture, il faut donc 58 m de grillage.
Un terrain rectangulaire mesure 18 m de long et 11 m de large. P = 2 × (18 + 11) = 2 × 29 = 58 m. Pour une clôture, il faut donc 58 m de grillage.
Retrouver un côté
Si on connaît le périmètre d’un carré, on divise par 4 pour trouver son côté. Pour un rectangle, on divise le périmètre par 2 (c’est la somme L + l), puis on enlève la longueur connue.
Si on connaît le périmètre d’un carré, on divise par 4 pour trouver son côté. Pour un rectangle, on divise le périmètre par 2 (c’est la somme L + l), puis on enlève la longueur connue.
Attention aux unités
Avant d’additionner les côtés, vérifie qu’ils sont tous dans la même unité. Un rectangle de 2 m sur 50 cm a pour périmètre 2 × (200 + 50) = 500 cm = 5 m.
Avant d’additionner les côtés, vérifie qu’ils sont tous dans la même unité. Un rectangle de 2 m sur 50 cm a pour périmètre 2 × (200 + 50) = 500 cm = 5 m.
7. Le cercle et le nombre π
Vocabulaire
Le rayon r est la distance entre le centre O et un point du cercle. Le diamètre d est la longueur d’un segment qui passe par le centre et joint deux points du cercle : d = 2 × r. Le périmètre d’un cercle s’appelle aussi sa circonférence.
Le rayon r est la distance entre le centre O et un point du cercle. Le diamètre d est la longueur d’un segment qui passe par le centre et joint deux points du cercle : d = 2 × r. Le périmètre d’un cercle s’appelle aussi sa circonférence.
Si tu mesures avec une ficelle le tour de plusieurs objets ronds (une boîte, une assiette, un verre) et que tu divises par leur diamètre, tu trouves toujours à peu près le même nombre : un peu plus de 3.
Le nombre π (se lit « pi »)
Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son diamètre. Le quotient « périmètre ÷ diamètre » est toujours le même nombre, noté π. On a π ≈ 3,141 592 65… Ce nombre n’est pas décimal : ses chiffres après la virgule ne s’arrêtent jamais. Une valeur arrondie au centième est 3,14.
Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son diamètre. Le quotient « périmètre ÷ diamètre » est toujours le même nombre, noté π. On a π ≈ 3,141 592 65… Ce nombre n’est pas décimal : ses chiffres après la virgule ne s’arrêtent jamais. Une valeur arrondie au centième est 3,14.
| Diamètre d (cm) | 2 | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Périmètre ≈ 3,14 × d (cm) | 6,28 | 15,7 | 31,4 | 62,8 |
Quand le diamètre double, le périmètre double aussi : c’est une situation de proportionnalité.
Calculer le périmètre d’un cercle
Avec le diamètre : P = π × d. Avec le rayon : P = 2 × π × r. On remplace la lettre par la valeur donnée. Le résultat exact contient toujours la lettre π ; pour une valeur approchée, on prend la touche π de la calculatrice ou 3,14.
Avec le diamètre : P = π × d. Avec le rayon : P = 2 × π × r. On remplace la lettre par la valeur donnée. Le résultat exact contient toujours la lettre π ; pour une valeur approchée, on prend la touche π de la calculatrice ou 3,14.
Exemple
Un cercle a pour rayon 4 cm. P = 2 × π × 4 = 8 × π cm (valeur exacte). Avec 3,14 : 8 × 3,14 = 25,12, donc P ≈ 25,1 cm au dixième.
Un cercle a pour rayon 4 cm. P = 2 × π × 4 = 8 × π cm (valeur exacte). Avec 3,14 : 8 × 3,14 = 25,12, donc P ≈ 25,1 cm au dixième.
Piège classique
Ne confonds pas rayon et diamètre. Si l’énoncé donne le rayon, le périmètre est 2 × π × r, pas π × r !
Ne confonds pas rayon et diamètre. Si l’énoncé donne le rayon, le périmètre est 2 × π × r, pas π × r !
8. Périmètre d’une figure composée et problèmes
Figure composée
1) Repère le contour de la figure : seuls les bords extérieurs comptent. 2) Décompose-le en segments et en arcs de cercle. 3) Calcule chaque longueur dans la même unité, puis additionne. Les traits qui sont à l’intérieur de la figure ne comptent pas !
1) Repère le contour de la figure : seuls les bords extérieurs comptent. 2) Décompose-le en segments et en arcs de cercle. 3) Calcule chaque longueur dans la même unité, puis additionne. Les traits qui sont à l’intérieur de la figure ne comptent pas !
Exemple
Un rectangle de 10 cm sur 6 cm est prolongé par un demi-disque de diamètre 6 cm sur un petit côté. Le contour comprend 10 + 10 + 6 = 26 cm de segments et un demi-cercle de longueur (π × 6) ÷ 2 = 3 × π cm. Périmètre exact : 26 + 3 × π cm, soit environ 35,4 cm (3 × 3,14 = 9,42 et 26 + 9,42 = 35,42).
Un rectangle de 10 cm sur 6 cm est prolongé par un demi-disque de diamètre 6 cm sur un petit côté. Le contour comprend 10 + 10 + 6 = 26 cm de segments et un demi-cercle de longueur (π × 6) ÷ 2 = 3 × π cm. Périmètre exact : 26 + 3 × π cm, soit environ 35,4 cm (3 × 3,14 = 9,42 et 26 + 9,42 = 35,42).
Mathbot te conseille
Avant de te lancer dans un problème, fais un petit schéma et note dessus les longueurs. Tu verras tout de suite quelles unités convertir et quels côtés manquent !
Avant de te lancer dans un problème, fais un petit schéma et note dessus les longueurs. Tu verras tout de suite quelles unités convertir et quels côtés manquent !
À retenir
- Les unités de longueur, de masse et de contenance se suivent de 10 en 10 : on multiplie par 10 pour passer à l’unité plus petite, on divise par 10 pour passer à l’unité plus grande.
- 1 km = 1 000 m ; 1 m = 100 cm = 1 000 mm ; 1 kg = 1 000 g ; 1 L = 100 cL = 1 000 mL.
- Le tableau de conversion aide à placer la virgule sans se tromper.
- On n’additionne que des mesures exprimées dans la même unité.
- Le périmètre est la longueur du contour : rectangle 2 × (L + l), carré 4 × c.
- Périmètre d’un cercle : P = π × d = 2 × π × r, avec π ≈ 3,14 ; la valeur exacte garde la lettre π.