Corrigé de l’exercice 1 : températures à Tours, moyenne et pourcentage
1. Novembre correspond à la colonne L du tableau. La température moyenne à Tours en novembre 2019 a été de 8,2 °C.
2. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. La plus grande température est 22,6 °C (juillet), la plus petite est 4,4 °C (janvier).
\(22{,}6-4{,}4=18{,}2\)
L'étendue de la série est 18,2 °C.
3. En N2, on peut saisir =MOYENNE(B2:M2). On peut aussi écrire =SOMME(B2:M2)/12, ou additionner les douze cellules puis diviser par 12.
4. On additionne les douze températures puis on divise par 12 :
\[\dfrac{4{,}4+7{,}8+9{,}6+11{,}2+13{,}4+19{,}4+22{,}6+20{,}5+17{,}9+14{,}4+8{,}2+7{,}8}{12}=\dfrac{157{,}2}{12}=13{,}1\]
La température moyenne annuelle est bien 13,1 °C.
5. Le pourcentage d'augmentation est la variation divisée par la valeur de départ :
\[\dfrac{13{,}1-11{,}9}{11{,}9}=\dfrac{1{,}2}{11{,}9}\approx 0{,}1008\]
Arrondi à l'unité, cela fait 10 %. Tu peux aussi contrôler : \(11{,}9\times 1{,}10=13{,}09\), valeur très proche de 13,1. Avec 7 %, on obtiendrait \(11{,}9\times 1{,}07\approx 12{,}7\), et avec 13 %, \(11{,}9\times 1{,}13\approx 13{,}4\) : ces deux réponses ne conviennent pas.
Corrigé de l’exercice 2 : le Futuroscope, diviseurs communs et Thalès
1. 1,9 million s'écrit 1 900 000 et 2 millions s'écrit 2 000 000.
\(2\,000\,000-1\,900\,000=100\,000\)
Il aurait fallu 100 000 visiteurs de plus.
2. 2019 n'est pas une année bissextile : elle compte 365 jours. Le nombre moyen de visiteurs par jour est
\[\dfrac{1\,900\,000}{365}\approx 5\,205\]
Cela fait bien environ 5 200 visiteurs par jour : l'affirmation est vraie.
3. a. On divise par les nombres premiers successifs :
\(126=2\times 63=2\times 3\times 21=2\times 3\times 3\times 7=2\times 3^2\times 7\)
\(90=2\times 45=2\times 3\times 15=2\times 3\times 3\times 5=2\times 3^2\times 5\)
3. b. Un diviseur commun ne peut contenir que les facteurs présents dans les deux décompositions, c'est-à-dire \(2\) (au plus une fois) et \(3\) (au plus deux fois). Les diviseurs communs de 126 et 90 sont donc :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
3. c. Le nombre de groupes doit diviser à la fois 126 et 90 pour que chaque groupe ait le même nombre de garçons et le même nombre de filles. Le plus grand diviseur commun est 18 : le professeur pourra former au maximum 18 groupes.
Dans chaque groupe, il y aura \(126\div 18=7\) garçons et \(90\div 18=5\) filles, soit 7 garçons et 5 filles.
4. Marie et la tour sont toutes deux perpendiculaires au sol : les droites \((DE)\) et \((CB)\) sont parallèles. Les points A, D, C d'une part, et A, E, B d'autre part, sont alignés. D'après le théorème de Thalès dans les triangles ADE et ACB :
\[\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{CB}\]
Avec \(AC=AD+DC=2+54{,}25=56{,}25\) m :
\[\dfrac{2}{56{,}25}=\dfrac{1{,}6}{BC}\]
Par le produit en croix :
\[BC=\dfrac{1{,}6\times 56{,}25}{2}=\dfrac{90}{2}=45\]
La Gyrotour mesure 45 m de haut.
Corrigé de l’exercice 3 : QCM de probabilités et de transformations
1. L'urne contient \(7+4+3+2=16\) jetons. Une probabilité de \(\dfrac{7}{16}\) correspond à 7 jetons favorables sur 16 : c'est le nombre de jetons verts. Réponse C (obtenir un jeton vert).
2. Il y a 3 jetons bleus sur 16, donc la probabilité de tirer un jeton bleu est \(\dfrac{3}{16}\). La probabilité de ne pas en tirer est \(1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}\). Réponse A.
3. La droite \((d)\) est horizontale et passe par O. La symétrie par rapport à cette droite échange le haut et le bas de la figure, en gardant la position gauche ou droite. Le motif 20 est en haut à gauche, juste au-dessus du motif 19 ; son symétrique est en bas à gauche, juste au-dessous du motif 18 : c'est le motif 17. Réponse A.
4. Les dix motifs d'une couronne sont répartis régulièrement autour de O, avec \(360^\circ\div 10=36^\circ\) entre deux motifs voisins. Pour passer du motif 1 au motif 3, on avance de deux motifs : \(2\times 36^\circ=72^\circ\). C'est une rotation de centre O et d'angle 72° (dans le sens des aiguilles d'une montre). Réponse B.
5. Une homothétie de rapport 2 multiplie les longueurs par 2 et donc les aires par \(2^2=4\). Le motif 11 a une aire égale à 4 fois celle du motif 1. Réponse B.
Corrigé de l’exercice 4 : programme de calcul, Scratch et équation produit
1. Départ 4 : le carré est 16, le triple est 12, puis on soustrait 10.
\(4^2+3\times 4-10=16+12-10=18\)
On obtient bien 18.
2. Départ \(-3\) :
\((-3)^2+3\times(-3)-10=9-9-10=-10\)
On obtient \(-10\).
3. Le script mémorise le nombre choisi dans x, puis le carré dans y. Il faut maintenant ajouter à y le triple du nombre de départ, puis soustraire 10. Voici les deux lignes à compléter :
- ligne 5 : mettre z à y + (3 * x), c'est-à-dire que dans le bloc de multiplication on place 3 dans la première case et la variable x dans la seconde ;
- ligne 6 : mettre Résultat à (z - 10), c'est-à-dire que dans le bloc de soustraction on place la variable z dans la première case et 10 dans la seconde.
Les autres lignes ne changent pas.
4. a. Avec \(x\) comme nombre de départ, le résultat est \(x^2+3x-10\).
4. b. On développe le produit proposé :
\((x+5)(x-2)=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10\)
On retrouve exactement l'expression de la question précédente : les deux écritures sont égales.
4. c. On cherche \(x\) tel que le résultat soit 0, c'est-à-dire \((x+5)(x-2)=0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul :
\(x+5=0\) donne \(x=-5\), ou \(x-2=0\) donne \(x=2\).
Pour obtenir 0 à l'arrivée, il faut choisir au départ \(-5\) ou \(2\).
Vérification : \(2^2+3\times 2-10=4+6-10=0\) et \((-5)^2+3\times(-5)-10=25-15-10=0\).
Corrigé de l’exercice 5 : déchets et composteur
1. La baisse est de 6,5 % de 5,2 tonnes :
\(5{,}2\times\dfrac{6{,}5}{100}=0{,}338\)
La production par habitant a diminué de 0,338 tonne, soit 338 kg.
2. a. Les points C, H et B sont alignés, et H est entre C et B. Donc :
\(CH=CB-HB\)
Or \(HB=DA=39\) cm, car ABHD est un rectangle (ses côtés opposés ont la même longueur). Ainsi :
\(CH=67-39=28\) cm. CH = 28 cm.
2. b. Le triangle CHD est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore :
\(CD^2=CH^2+DH^2\)
\(53^2=28^2+DH^2\)
\(DH^2=2\,809-784=2\,025\)
\(DH=\sqrt{2\,025}=45\)
La longueur DH est bien égale à 45 cm.
2. c. La hauteur du trapèze est \(DH=45\) cm. On applique la formule donnée :
\[\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(39+67)\times 45}{2}=\dfrac{106\times 45}{2}=2\,385\]
L'aire du trapèze est bien de 2 385 cm². On peut aussi découper : le rectangle ABHD vaut \(39\times 45=1\,755\) cm² et le triangle CHD vaut \(\dfrac{28\times 45}{2}=630\) cm², soit \(1\,755+630=2\,385\) cm².
2. d. Le composteur est formé d'un prisme droit, dont la base est le trapèze ABCD, posé sur un pavé droit. Le prisme a pour hauteur la largeur du composteur, soit 70 cm :
\(V_{\text{prisme}}=2\,385\times 70=166\,950\ \text{cm}^3\)
Le pavé droit a la même largeur 70 cm, une profondeur de 67 cm, et une hauteur égale à la hauteur totale moins la hauteur du trapèze : \(110-45=65\) cm.
\(V_{\text{pavé}}=70\times 67\times 65=304\,850\ \text{cm}^3\)
Le volume total est donc :
\(V=166\,950+304\,850=471\,800\ \text{cm}^3\)
Comme \(1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3\), on a \(V\approx 0{,}47\ \text{m}^3\), soit environ 470 litres. Ce volume est proche de 0,5 m³ : l'affirmation du descriptif est vraie, à quelques dizaines de litres près.