Corrigé de l’exercice 1 : cinq affirmations vrai ou faux
1. La roue compte 8 secteurs de même mesure, donc les 8 issues sont équiprobables. En lisant la roue, on compte 4 secteurs « Peluche » (les deux à droite en bas, celui juste à droite de la flèche et celui à gauche en bas). La probabilité de gagner une peluche est donc \(\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\).
L'affirmation 1 est vraie.
2. Le plus grand côté est [BC] de longueur 7,5. On compare \(BC^2\) avec \(AB^2+AC^2\).
\[BC^2=7{,}5^2=56{,}25\]
\[AB^2+AC^2=4{,}5^2+6^2=20{,}25+36=56{,}25\]
Comme \(BC^2=AB^2+AC^2\), la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle ABC est rectangle en A.
L'affirmation 2 est vraie.
3. On additionne les parts en les mettant sur le dénominateur commun 35 :
\[\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{35}+\dfrac{14}{35}+\dfrac{5}{35}=\dfrac{34}{35}\]
Comme \(\dfrac{34}{35}\) est strictement inférieur à 1, il reste \(\dfrac{1}{35}\) du gâteau.
L'affirmation 3 est fausse.
4. On développe chaque terme séparément, en faisant attention au signe moins devant la deuxième parenthèse.
\[(2x+3)(5x-4)=10x^2-8x+15x-12=10x^2+7x-12\]
\[5(3x-2)=15x-10\]
\[10x^2+7x-12-(15x-10)=10x^2+7x-12-15x+10=10x^2-8x-2\]
On retrouve bien l'expression annoncée.
L'affirmation 4 est vraie.
5. Notons \(a\) la mesure de \(\widehat{\text{FDE}}\). Alors \(\widehat{\text{DEF}}=4a\). La somme des angles d'un triangle est égale à \(180^\circ\), donc :
\[a+4a+30=180\]
\[5a=150\]
\[a=30\]
Ainsi \(\widehat{\text{FDE}}=30^\circ\) et \(\widehat{\text{DEF}}=120^\circ\). Les angles en D et en F mesurent tous deux \(30^\circ\) : le triangle DEF a deux angles égaux, il est donc isocèle en E.
L'affirmation 5 est vraie.
Corrigé de l’exercice 2 : statistiques sur les tapisseries
1. La plus grande valeur du tableau est 57,5 m². La tapisserie de surface maximale est « L'Homme en gloire dans la paix ».
2. On range les dix surfaces dans l'ordre croissant :
| 10,2 | 12,8 | 27,2 | 30,9 | 32,4 | 39,2 | 45,4 | 45,4 | 45,9 | 57,5 |
Il y a 10 valeurs, un nombre pair : la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs, c'est-à-dire de 32,4 et 39,2.
\[\dfrac{32{,}4+39{,}2}{2}=\dfrac{71{,}6}{2}=35{,}8\]
La surface médiane est bien de 35,8 m². Cela signifie que la moitié des tapisseries ont une surface d'au plus 35,8 m².
3. Les surfaces sont dans les cellules B2 à B11. La formule à saisir en B12 est =SOMME(B2:B11).
4. On additionne les dix surfaces puis on divise par 10 :
\[10{,}2+12{,}8+27{,}2+30{,}9+32{,}4+39{,}2+45{,}4+45{,}4+45{,}9+57{,}5=346{,}9\]
\[\dfrac{346{,}9}{10}=34{,}69\]
La surface moyenne est de 34,69 m².
5. Les surfaces strictement supérieures à 45 m² sont 45,9 ; 45,4 ; 45,4 et 57,5 : cela fait 4 tapisseries sur 10.
\[\dfrac{4}{10}=0{,}4=40\ \%\]
Sara a raison.
Corrigé de l’exercice 3 : tarif d’un club de sport et Scratch
1. Pour dix séances, on paye la carte et dix fois le tarif par séance :
\[32+10\times 4{,}5=32+45=77\]
Dix séances coûtent 77 €.
2. Il reste à Noé \(95-32=63\) € une fois la carte payée. Chaque séance coûte 4,50 € :
\[\dfrac{63}{4{,}5}=14\]
Noé pourra faire 14 séances.
3.a. Le prix est la somme du prix fixe de la carte et de 4,50 € par séance :
\[p(x)=4{,}5x+32\]
3.b. On remplace \(x\) par 27 :
\[p(27)=4{,}5\times 27+32=121{,}5+32=153{,}5\]
L'égalité est vérifiée.
3.c. Pour 27 séances dans l'année, on paye 153,50 €.
4. Le programme doit calculer \(4{,}5\times\) (nombre de séances) puis ajouter les 32 € de la carte. Les lignes complétées sont :
- ligne 4 : mettre « résultat » à « nombre de séances \(*\) 4,5 » ;
- ligne 5 : mettre « résultat » à « 32 + résultat ».
Ainsi, à la ligne 4 la variable « résultat » contient le coût des séances, et à la ligne 5 on y ajoute 32. La ligne 6 affiche alors « le prix à payer est » suivi du total.
Corrigé de l’exercice 4 : le contre-la-montre du Tour de France
1. On part de 20 minutes sur l'axe vertical, on trace l'horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend sur l'axe des distances : on lit environ 17 km. En 20 minutes, Pogacar a parcouru environ 17 km.
2. Le point de la courbe d'abscisse 27,2 a pour ordonnée 32. Pogacar a mis environ 32 minutes.
3.a. La fonction \(f\) est linéaire, donc sa représentation est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point :
| \(x\) | 0 | 20 |
|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 28 |
On trace la droite passant par \((0\,;\,0)\) et \((20\,;\,28)\) (en vert sur le graphique ci-dessus), limitée à \(x=27{,}2\).
3.b. Pour 27,2 km, Coquard a mis \(f(27{,}2)=1{,}4\times 27{,}2=38{,}08\) minutes, contre environ 32 minutes pour Pogacar. Le plus petit temps est le meilleur : Pogacar a été classé avant Coquard.
4. En 20 minutes, Pogacar a parcouru environ 17 km. Une heure fait 3 fois 20 minutes, donc en 60 minutes il aurait parcouru \(17\times 3=51\) km. On peut le confirmer par le calcul sur tout le parcours : 32 minutes valent \(\dfrac{32}{60}\) h et
\[v=\dfrac{27{,}2}{\frac{32}{60}}=\dfrac{27{,}2\times 60}{32}=51\ \text{km/h}\]
Oui, sa vitesse moyenne est de 51 km/h, donc supérieure à 50 km/h.
Corrigé de l’exercice 5 : la tour de la Vade
1.a. La tour est verticale et Romane aussi : (AB) et (FG) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (MB) (angles droits en B et en G sur la figure). Or deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Donc (FG) // (AB).
1.b. On a \(MB=MG+GB=3+51=54\) m. Les points M, G, B d'une part et M, F, A d'autre part sont alignés, et (FG) // (AB) : d'après le théorème de Thalès dans les triangles MGF et MBA,
\[\dfrac{MG}{MB}=\dfrac{GF}{BA}\]
\[\dfrac{3}{54}=\dfrac{1{,}4}{AB}\]
\[AB=\dfrac{54\times 1{,}4}{3}=25{,}2\]
La tour mesure bien 25,2 m de haut.
2. Le diamètre est d'environ 14 m, donc le rayon est de 7 m. Le volume du cylindre est l'aire de la base multipliée par la hauteur :
\[V=\pi\times 7^2\times 25{,}2\approx 3\,879{,}2\ \text{m}^3\]
Le volume est d'environ 3 880 m³.
3. À l'échelle \(\dfrac{1}{20}\), toutes les longueurs sont divisées par 20, donc les volumes sont divisés par \(20^3=8\,000\).
\[\dfrac{3\,880}{8\,000}=0{,}485\]
Le volume de la maquette est d'environ 0,485 m³, soit environ 485 litres.
4. On traite la surface latérale du cylindre (la tour est donnée sans son toit) :
\[\mathcal{A}=2\times\pi\times 7\times 25{,}2\approx 1\,108\ \text{m}^2\]
Le coût est alors :
\[39\times 1\,108{,}35\approx 43\,226\ \text{euros}\]
Le traitement coûtera environ 43 200 € (le résultat dépend un peu des arrondis choisis). Si on traitait aussi un disque supérieur de \(\pi\times 7^2\approx 154\ \text{m}^2\), il faudrait ajouter environ 6 000 €, mais l'énoncé représente la tour sans toit et on s'en tient à la paroi.