Corrigé de l’exercice 1 : QCM de calcul numérique et de probabilités
1. Au numérateur, on additionne les exposants : \(5^7 \times 5^3 = 5^{10}\). Ensuite, diviser par \(5^2\) revient à retrancher les exposants : \(\dfrac{5^{10}}{5^2} = 5^{8}\). Bonne réponse : C.
2. Décomposons en facteurs premiers : \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) et \(882 = 2 \times 3^2 \times 7^2\). On simplifie par \(2 \times 3^2 \times 7 = 126\) : \(\dfrac{630}{882} = \dfrac{5}{7}\). Cette fraction est irréductible, car 5 et 7 sont premiers entre eux. Les fractions B et C ne sont pas irréductibles (elles se simplifient par 7 et par 9). Bonne réponse : A.
3. On développe : \(A = 3x^2 + 7x - 6x - 14 = 3x^2 + x - 14\). Bonne réponse : C.
4. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. Soit \(2x + 1 = 0\), donc \(x = -\dfrac{1}{2}\). Soit \(-x + 3 = 0\), donc \(x = 3\). Bonne réponse : B.
5. Il y a 3 boules noires sur 9, donc 6 boules qui ne sont pas noires (4 blanches et 2 rouges). Les boules étant indiscernables au toucher, la probabilité de ne pas tirer de boule noire est \(\dfrac{6}{9}\) (qui vaut \(\dfrac{2}{3}\)). Bonne réponse : C.
Corrigé de l’exercice 2 : comparaison de tarifs et fonctions affines
1. Avec le tarif « Affaire », Yanis paie 0,50 € par kilomètre : \(280 \times 0{,}50 = 140\). Il paiera 140 €.
2. Pour 450 km, on calcule chaque tarif.
Tarif « Affaire » : \(450 \times 0{,}50 = 225\) €.
Tarif « Voyage court » : \(120 + 450 \times 0{,}20 = 120 + 90 = 210\) €.
Tarif « Voyage long » : 230 € quel que soit le trajet.
La plus petite somme est 210 €, donc l'offre la plus avantageuse est le tarif « Voyage court ».
3. a. La fonction \(l\) est constante : elle correspond au forfait fixe, donc au tarif « Voyage long ». La fonction \(m\) est proportionnelle à \(x\) : c'est le tarif « Affaire ». La fonction \(n\) a un forfait de 120 plus 0,2 par kilomètre : c'est le tarif « Voyage court ».
3. b. On cherche \(x\) tel que \(m(x) = n(x)\) :
\[0{,}5x = 0{,}2x + 120\]
\[0{,}3x = 120\]
\[x = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\]
Les tarifs « Voyage court » et « Affaire » sont égaux pour 400 km (et coûtent alors 200 €).
4. a. Les fonctions \(l\), \(m\) et \(n\) sont des fonctions constante, linéaire et affine : leurs courbes sont des droites. Il suffit de deux points pour chacune. La droite de \(l\) est horizontale à la hauteur 230. Celle de \(m\) passe par \((0\,;\,0)\) et \((400\,;\,200)\). Celle de \(n\) passe par \((0\,;\,120)\) et \((400\,;\,200)\), ce qui est cohérent avec la question précédente : les deux droites se coupent au point d'abscisse 400.
4. b. Le tarif « Voyage long » est le plus avantageux quand sa droite est sous les deux autres. La droite de \(m\) coupe celle de \(l\) vers 460 km, et celle de \(n\) la coupe plus loin, au point d'abscisse 550. Après ce point, les deux autres tarifs sont plus chers. Vérification par le calcul : \(0{,}2x + 120 = 230\) donne \(x = 550\). Yanis doit donc dépasser 550 km.
Corrigé de l’exercice 3 : pavage de cerfs-volants et programmes Scratch
Partie A
1. Le triangle SLP est équilatéral : ses trois angles mesurent \(\dfrac{180}{3} = 60^\circ\). Donc \(\widehat{\text{PSL}} = \) \(60^\circ\).
2. La symétrie d'axe (PL) échange les triangles équilatéraux SLP et ALP. Le cerf-volant 2 se trouve au sommet S du triangle SLP, son symétrique est donc au sommet A : l'image du cerf-volant 2 est le cerf-volant 5.
3. Le quadrilatère SLAP est un losange, et le point J est le milieu de la diagonale [PL]. Dans une symétrie centrale de centre J, P a pour image L. Le cerf-volant 1 (au sommet P) devient le cerf-volant 6 (au sommet L) : c'est la symétrie centrale de centre J.
Partie B
1. Le script de Nicolas avance de 300 pas (3 cm), tourne de \(120^\circ\) à gauche, avance de 300 pas, tourne encore de \(120^\circ\), puis avance de 300 pas. Les trois côtés mesurent 3 cm et l'angle extérieur est \(120^\circ\), donc les angles intérieurs valent \(60^\circ\) : on obtient un triangle équilatéral de côté 3 cm.
2. Le cerf-volant visé a deux côtés longs de 300 pas et deux côtés courts de 173 pas, les deux côtés courts étant consécutifs. Il a deux angles droits, entre un côté long et un côté court, et un angle de \(120^\circ\) entre les deux côtés courts.
Le script de Nicolas trace un triangle : il ne convient pas. Dans celui de Tyago, on avance de 173 pas puis on tourne de \(60^\circ\) : ce virage correspond à l'angle de \(120^\circ\) entre les deux côtés courts, donc le côté suivant devrait mesurer 173 pas, et non 300. Le script de Tyago est faux.
Dans le script d'Essya : 300 pas, virage de \(90^\circ\), 173 pas, virage de \(60^\circ\) (angle intérieur de \(120^\circ\)), 173 pas, virage de \(90^\circ\), puis 300 pas. L'ordre des côtés et des angles est celui de la figure, et le dernier côté de 300 pas ramène au point de départ. L'élève qui a écrit le script correct est Essya.
Corrigé de l’exercice 4 : statistiques sur le pont de l’île de Ré
1. Pour additionner les cellules B2 à B13, on saisit =SOMME(B2:B13).
2. Le total sur l'année vaut 2 801 172 passages, répartis sur 12 mois : \(\dfrac{2\,801\,172}{12} = 233\,431\). Il y a en moyenne 233 431 passages par mois.
3. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Le maximum est 389 250 (juillet) et le minimum 62 930 (avril) : \(389\,250 - 62\,930 = 326\,320\). L'étendue est 326 320.
4. Le nombre de passages est passé de 179 699 en mai 2020 à 305 214 en mai 2021. Le taux d'évolution est :
\[\dfrac{305\,214 - 179\,699}{179\,699} = \dfrac{125\,515}{179\,699} \approx 0{,}6985\]
Le nombre de passages a augmenté d'environ 70 %.
5. Le pont mesure 3 000 m = 3 km, parcourus en 10 minutes, soit \(\dfrac{1}{6}\) d'heure. La vitesse moyenne vaut \(3 \div \dfrac{1}{6} = 3 \times 6 = 18\). Le cycliste roule à 18 km/h en moyenne.
Corrigé de l’exercice 5 : la tyrolienne
1. Les points B, D et C sont alignés, avec la piscine de 6 m de long entre les distances 12,20 m et 1,80 m : \(\text{BC} = 12{,}20 + 6 + 1{,}80 = 20\). On retrouve bien BC = 20 m.
2. Dans le triangle ABC rectangle en B, l'angle formé par le câble et l'horizontale est \(\widehat{\text{ACB}}\). On connaît le côté opposé AB = 5,50 m et le côté adjacent BC = 20 m :
\[\tan\left(\widehat{\text{ACB}}\right) = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{5{,}5}{20} = 0{,}275\]
donc \(\widehat{\text{ACB}} \approx 15{,}4^\circ\). Cet angle est inférieur à \(30^\circ\) : le positionnement est conforme à la réglementation.
3. Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore donne :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 5{,}5^2 + 20^2 = 30{,}25 + 400 = 430{,}25\]
donc \(\text{AC} = \sqrt{430{,}25} \approx 20{,}74\). Il faut environ 21 m de câble.
4. Les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires à (BC), donc parallèles entre elles. Les points A, E, C d'une part et B, D, C d'autre part sont alignés. D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :
\[\dfrac{\text{DC}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}\]
Ici DE = 1,50 m, car Lya mesure 1,50 m et ses pieds touchent l'eau en D. Donc :
\[\text{DC} = \dfrac{1{,}5 \times 20}{5{,}5} = \dfrac{30}{5{,}5} \approx 5{,}45\]
Les pieds de Lya toucheront l'eau à environ 5,45 m du peuplier. Comme 5,45 m est compris entre 1,80 m et 7,80 m, le point D est bien au-dessus de la piscine.
5. \(V = 6 \times 6 \times 1{,}60 = 57{,}6\). Le volume de la piscine est de 57,6 m3.