Corrigé de l’exercice 1 : probabilités sur une roulette
1. La roue porte les numéros de 0 à 36, donc \(36-0+1=37\) numéros. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun d'eux : il s'agit d'une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'obtenir le 7 est donc \(\dfrac{1}{37}\).
2. On repère sur la roue les cases noires : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35, soit 18 cases noires. Parmi elles, les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases. La probabilité est donc \(\dfrac{10}{37}\).
3.a. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a 7. La probabilité est \(\dfrac{7}{37}\).
3.b. Obtenir un numéro supérieur ou égal à 7, c'est l'événement contraire d'obtenir un numéro inférieur ou égal à 6. Donc la probabilité est \(1-\dfrac{7}{37}=\dfrac{37}{37}-\dfrac{7}{37}=\) \(\dfrac{30}{37}\).
3.c. On compare \(\dfrac{30}{37}\) et \(\dfrac{3}{4}\). On les écrit avec le même numérateur : \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{30}{40}\). Comme \(37 \lt 40\), la fraction \(\dfrac{30}{37}\) est plus grande que \(\dfrac{30}{40}\). On peut aussi calculer \(\dfrac{30}{37}\approx 0{,}81 \gt 0{,}75\). Le joueur a raison : il a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7.
Corrigé de l’exercice 2 : programmes de calcul
1.a. Avec le programme A et le nombre 5 : le carré de 5 est 25 ; on multiplie par 2 et on obtient 50 ; le double du nombre de départ est 10, donc \(50+10=60\) ; enfin \(60-4=56\). Le résultat est bien 56.
1.b. Avec le programme B et \(-9\) : le résultat 1 vaut \(-9+2=-7\) et le résultat 2 vaut \(-9-1=-10\). Le programme dit le produit des deux : \((-7)\times(-10)=\) 70.
2.a. Pour un nombre \(x\), le résultat 1 est \(x+2\), le résultat 2 est \(x-1\), et le programme affiche leur produit \((x+2)\times(x-1)\). C'est l'expression \(E_2\). L'expression \(E_1\) est une différence et non un produit, et \(E_3\) ne met pas les facteurs entre parenthèses.
2.b. On suit les étapes du programme A : \(x\), puis \(x^2\), puis \(2x^2\), puis \(2x^2+2x\), puis \(2x^2+2x-4\).
3. On développe le résultat du programme B : \((x+2)(x-1)=x^2-x+2x-2=x^2+x-2\). Alors, pour tout nombre \(x\) :
\[2\times\left(x^2+x-2\right)=2x^2+2x-4.\]
Le membre de droite est exactement le résultat du programme A. Le résultat du programme A est donc toujours le double de celui du programme B.
Corrigé de l’exercice 3 : cercle, Pythagore, Thalès et aires
1. Le diamètre est le double du rayon : \(\mathrm{AB}=2\times 4{,}5=\) 9 cm.
2. On cherche si la relation de Pythagore est vérifiée dans ABD. Le plus grand côté est [AB]. D'une part \(\mathrm{AB}^2=9^2=81\). D'autre part \(\mathrm{AD}^2+\mathrm{DB}^2=7{,}2^2+5{,}4^2=51{,}84+29{,}16=81\). Comme \(\mathrm{AB}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DB}^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.
3. Les points A, E, B d'une part et A, F, D d'autre part sont alignés, et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès dans les triangles AEF et ABD :
\[\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BD}}.\]
On utilise les deux premiers rapports : \(\dfrac{2{,}7}{9}=\dfrac{\mathrm{AF}}{7{,}2}\). Or \(\dfrac{2{,}7}{9}=0{,}3\), donc \(\mathrm{AF}=0{,}3\times 7{,}2=\) 2,16 cm.
4.a. Le triangle ABD est rectangle en D, donc ses côtés [DB] et [DA] sont perpendiculaires et l'un est la hauteur relative à l'autre. Son aire est \(\dfrac{\mathrm{DB}\times\mathrm{DA}}{2}=\dfrac{5{,}4\times 7{,}2}{2}=\dfrac{38{,}88}{2}=\) \(19{,}44\ \text{cm}^2\).
4.b. L'aire du disque de rayon 4,5 cm est \(\pi\times 4{,}5^2=20{,}25\,\pi\approx 63{,}617\). L'aire du disque est environ \(63{,}62\ \text{cm}^2\) au centième près.
5. Le pourcentage cherché est \(\dfrac{19{,}44}{63{,}62}\times 100\approx 30{,}6\). L'aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l'aire du disque.
Corrigé de l’exercice 4 : questionnaire à choix multiple
1. \(f(-4)=3\times(-4)-2=-12-2=-14\). Réponse A.
2. \((-5)^3=(-5)\times(-5)\times(-5)=25\times(-5)=-125\). Réponse A.
3. Sur la grille, pour aller de C à A, on descend d'une unité et on se déplace d'une unité vers la gauche. Appliquée à J, cette translation donne le point situé une unité à gauche et une unité plus bas, c'est-à-dire E. Réponse B.
4. La fonction de cette question est celle dont la courbe est tracée (ce n'est pas la fonction de la question 1). Un antécédent de 3 est l'abscisse d'un point de la courbe d'ordonnée 3. On lit que la droite passe par le point de coordonnées \((0\,;\,3)\) : l'antécédent de 3 est donc 0. Réponse C.
5. On range les sept tailles dans l'ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75. La médiane est la valeur du milieu, la quatrième : 1,67. Réponse B.
6. Dans le triangle rectangle en A, le côté adjacent à l'angle \(\alpha\) est [AB] et l'hypoténuse est [BC]. Donc \(\cos\alpha=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\dfrac{4}{5}=0{,}8\). Réponse A.
Corrigé de l’exercice 5 : sachets cadeaux et piscine
Partie A
1. Pour faire 15 sachets identiques avec tous les objets, il faudrait que 15 divise 330 et 132. On a \(330\div 15=22\), mais \(132\div 15=8{,}8\), qui n'est pas un entier. Il est donc impossible de faire 15 sachets, car 132 n'est pas un multiple de 15.
2.a. On décompose : \(330=2\times 165=2\times 3\times 55=2\times 3\times 5\times 11\) et \(132=2\times 66=2\times 2\times 33=2^2\times 3\times 11\). Donc \(330=2\times 3\times 5\times 11\) et \(132=2^2\times 3\times 11\).
2.b. Le nombre de sachets doit diviser 330 et 132. Le plus grand tel nombre est le produit des facteurs premiers communs, avec le plus petit exposant : \(2\times 3\times 11=66\). La présidente peut faire au maximum 66 sachets.
2.c. On a \(330\div 66=5\) et \(132\div 66=2\). Chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux.
Partie B
Le volume de la piscine, pavé droit de 25 m sur 15 m sur 2 m, est \(25\times 15\times 2=750\ \text{m}^3\). Elle est remplie aux \(\dfrac{9}{10}\) : \(750\times\dfrac{9}{10}=675\ \text{m}^3\) d'eau. Chaque mètre cube coûte 4,14 euros, donc le coût est \(675\times 4{,}14=2\,794{,}5\). Le remplissage coûte 2 794,50 euros.