Corrigé de la partie 1 : les automatismes
Question 1. Range d'abord les températures dans l'ordre croissant : \(-1\ ;\ 0\ ;\ 1\ ;\ 3\ ;\ 7\). Il y a cinq valeurs, la médiane est celle du milieu, la troisième. La médiane est 1 °C.
Question 2. Pour aller du motif n° 2 au motif n° 6, on descend d'une ligne et on avance d'un motif vers la droite. Applique le même déplacement au motif n° 4 : une ligne plus bas, un motif plus à droite. Tu arrives au motif n° 8.
Question 3. Il y a 3 boules rouges parmi 8 boules en tout, et chaque boule a la même chance d'être piochée. La probabilité est \(\dfrac{3}{8}\), soit 0,375.
Question 4. Le triangle est rectangle en L, son hypoténuse est donc le côté opposé à l'angle droit, [JK]. Le côté adjacent à l'angle \(\widehat{LKJ}\) est [LK]. Comme le cosinus est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse : \(\cos\left(\widehat{LKJ}\right)=\) \(\dfrac{LK}{JK}\).
Question 5. On place la virgule après le premier chiffre non nul : \(311\,200\,000=3{,}112\times 100\,000\,000\). Il y a huit zéros, donc \(100\,000\,000=10^8\). L'écriture scientifique est \(3{,}112\times 10^{8}\).
Question 6. La distance est égale à la vitesse multipliée par la durée. Avec 2 h 30 min \(=2{,}5\) h, on a \(40\times 2{,}5=100\). Charlie a parcouru 100 km.
Question 7. Les deux termes de \(5x+5\) ont le facteur 5 en commun : \(5x+5=5\times x+5\times 1=5(x+1)\). La bonne réponse est \(5(x+1)\).
Question 8. Une baisse de 10 % représente \(\dfrac{10}{100}\) du prix de départ, c'est-à-dire \(\dfrac{10}{100}\times 80\). Ce montant se retranche de 80. Le calcul est \(80-\dfrac{10}{100}\times 80\) (soit 72 €).
Question 9. Repère sur la courbe les deux endroits où elle coupe la ligne horizontale de hauteur 4 m. À la montée, c'est vers 14 h 30. À la descente, c'est vers 19 h. Entre ces deux instants, l'eau est au-dessus de 4 m, ce qui fait \(19\ \text{h}-14\ \text{h}\,30=4\ \text{h}\,30\ \text{min}\). Réponse : 4 h 30 min.
Corrigé de l’exercice 1 : triangle, Pythagore et Thalès
1. Voici une construction en vraie grandeur. Trace un segment [AB] de 6,4 cm. Place l'équerre en B et trace la perpendiculaire à (AB). Avec le compas piqué en A et ouvert à 8 cm, trace un arc de cercle qui coupe cette perpendiculaire : le point d'intersection est C. Garde l'arc et la perpendiculaire apparents, ce sont les traits de construction. Relie A à C pour terminer le triangle.
2. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore \(AC^2=AB^2+BC^2\). On isole : \(BC^2=AC^2-AB^2=8^2-6{,}4^2=64-40{,}96=23{,}04\). Comme BC est une longueur positive, \(BC=\sqrt{23{,}04}=\) 4,8 cm.
3. La droite (BC) est perpendiculaire à (AM), car le triangle ABC est rectangle en B et que A, B, M sont alignés. La droite (MN) est aussi perpendiculaire à (AM), car AMN est rectangle en M. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : (BC) // (MN).
4. On a AM \(=AB+BM=6{,}4+3{,}2=9{,}6\) cm. Les points A, B, M d'une part et A, C, N d'autre part sont alignés, dans le même ordre, et (BC) est parallèle à (MN). D'après le théorème de Thalès : \[\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}\] avec \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{6{,}4}{9{,}6}=\dfrac{2}{3}\). Alors \(MN=\dfrac{BC}{2/3}=4{,}8\times\dfrac{3}{2}=\) 7,2 cm et \(AN=\dfrac{AC}{2/3}=8\times\dfrac{3}{2}=\) 12 cm.
5. Le périmètre de ABC est \(6{,}4+4{,}8+8=19{,}2\) cm. Pour le quadrilatère BMNC, il manque CN. Comme C est entre A et N, \(CN=AN-AC=12-8=4\) cm. Alors le périmètre de BMNC est \(BM+MN+NC+CB=3{,}2+7{,}2+4+4{,}8=19{,}2\) cm. Les deux périmètres sont égaux, ils valent chacun 19,2 cm.
Corrigé de l’exercice 2 : bonbons en gélule et prix
Partie A
1. La longueur totale de 15 mm comprend le cylindre et une demi-boule de rayon 2,5 mm à chaque bout. Donc \(h=15-2\times 2{,}5=15-5=\) 10 mm.
2. a. Le cylindre a pour rayon 2,5 mm et pour hauteur 10 mm : \(V_{cyl}=\pi\times 2{,}5^2\times 10=62{,}5\pi\). Avec la calculatrice, \(62{,}5\pi\approx 196{,}35\), soit environ \(196\ \text{mm}^3\).
b. Deux demi-boules identiques forment une boule entière de rayon 2,5 mm : \(V_{boule}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 2{,}5^3=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 15{,}625\approx 65{,}45\ \text{mm}^3\). Le volume total d'un bonbon est donc d'environ \(196{,}35+65{,}45=261{,}8\ \text{mm}^3\). Cette valeur est comprise entre 260 et 262 : Léa a raison.
3. Un bonbon occupe au plus \(262\ \text{mm}^3\). Pour 300 000 bonbons, il faut au plus \(300\,000\times 262=78\,600\,000\ \text{mm}^3\). Or \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\,000\ \text{mm}^3\), donc ce volume vaut \(78{,}6\) L. Les 83 L de mélange quotidien sont supérieurs à 78,6 L : oui, la confiserie peut produire plus de 300 000 bonbons par jour.
Partie B
1 kg = 1 000 g. Avec le format A, il faut 2 sachets de 500 g : \(2\times 7{,}90=15{,}80\) €. Avec le format B, il faut 4 sachets de 250 g. Les trois premiers coûtent \(3\times 4{,}30=12{,}90\) € et le quatrième est à moitié prix, soit \(4{,}30\div 2=2{,}15\) €. Le total est \(12{,}90+2{,}15=15{,}05\) €. Comme \(15{,}05t 15{,}80\), Léa doit choisir le format B avec la promotion : elle paiera 15,05 €, soit 0,75 € de moins.
Corrigé de l’exercice 3 : programmes de calcul et Scratch
1. Avec le programme A et le nombre 1 : on ajoute 6, ce qui donne \(1+6=7\) ; on soustrait 4, ce qui donne \(1-4=-3\) ; on multiplie les deux résultats : \(7\times(-3)=-21\). On retrouve bien \(-21\).
2. Programme B avec 10 : le carré est \(10^2=100\), puis \(100-9=\) 91.
3. Avec \(x\) au départ, le programme B donne \(x^2-9\). On résout \(x^2-9=16\), soit \(x^2=25\). Les nombres dont le carré est 25 sont 5 et \(-5\). On peut aussi écrire \(x^2-25=0\), puis \((x-5)(x+5)=0\). Les nombres de départ possibles sont 5 et \(-5\).
4. Dans le script, la variable « Valeur 1 » doit contenir le résultat de la branche « ajouter 6 », « Valeur 2 » celui de la branche « soustraire 4 », et « Résultat » leur produit. Voici les lignes complétées :
3 mettre Valeur 1 à (réponse + 6) 4 mettre Valeur 2 à (réponse - 4) 5 mettre Résultat à (Valeur 1 * Valeur 2)
À la ligne 5, les deux cases vides contiennent les variables « Valeur 1 » et « Valeur 2 ».
5. Avec \(x\), les deux branches donnent \(x+6\) et \(x-4\), puis le produit \((x+6)(x-4)\). On développe : \(x^2-4x+6x-24=\) \(x^2+2x-24\). C'est bien l'expression demandée.
6. Les deux programmes donnent le même résultat quand \(x^2+2x-24=x^2-9\). On retranche \(x^2\) aux deux membres : \(2x-24=-9\), puis on ajoute 24 : \(2x=15\), donc \(x=\dfrac{15}{2}=7{,}5\). Les programmes A et B donnent le même résultat pour le nombre de départ 7,5 (le résultat commun est alors \(7{,}5^2-9=47{,}25\)).