Corrigé de la première partie : automatismes
Question 1. Un nombre à deux décimales s'écrit sur 100 : \(0{,}75=\dfrac{75}{100}\). En simplifiant par 25, on obtient \(0{,}75=\dfrac{3}{4}\). Réponse : \(\dfrac{3}{4}\) (la fraction \(\dfrac{75}{100}\) convient aussi).
Question 2. Les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro, \(4{,}7-3{,}5=1{,}2\), et le résultat prend le signe du nombre qui est le plus loin de zéro, ici le négatif. Réponse : \(-1{,}2\).
Question 3. Dans la première ligne, on passe de 6 à 18 en multipliant par 3. Le tableau est de proportionnalité, donc dans la seconde ligne on passe aussi de 12 à \(a\) en multipliant par 3 : \(a=12\times3=36\). Réponse : \(a=36\).
Question 4. Le sac contient \(10+4+6=20\) boules, toutes équiprobables, dont 4 sont bleues. La probabilité est donc \(\dfrac{4}{20}\) (qui vaut aussi \(\dfrac{1}{5}\)). Réponse B.
Question 5. On isole \(x\) : \(10x+16=-64\) donne \(10x=-64-16=-80\), puis \(x=\dfrac{-80}{10}=-8\). Réponse C.
Question 6. Une notation scientifique est de la forme \(a\times10^{n}\) avec \(1\leqslant a\lt10\). Pour \(0{,}00458\), on décale la virgule de 3 rangs vers la droite pour obtenir \(4{,}58\), donc \(0{,}00458=4{,}58\times10^{-3}\). Réponse C.
Question 7. Le secteur de la réponse B est limité par un angle droit, soit \(90^\circ\) sur les \(360^\circ\) du disque, c'est-à-dire un quart de l'effectif. Or \(\dfrac{1}{4}\times24=6\). Réponse : 6 élèves ont choisi la réponse B.
Question 8. Le périmètre d'un rectangle est la somme de ses quatre côtés : \(2\times10+2\times5=30\). Le périmètre est une longueur, il s'exprime en mm (et non en \(\text{mm}^2\), unité d'aire). Réponse A : \(30\ \text{mm}\).
Question 9. Dans le triangle DEF rectangle en E, le côté adjacent à l'angle \(\widehat{\mathrm{EDF}}\) est [DE] et l'hypoténuse est [DF]. Donc \(\cos\widehat{\mathrm{EDF}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\). Réponse B.
Corrigé de l’exercice 1 : médailles paralympiques, pourcentages et médiane
1. On lit dans la ligne « Pays-Bas » et la colonne « Or » : les Pays-Bas ont obtenu 27 médailles d'or.
2. Le total de l'Australie est la somme de ses trois types de médailles. Les médailles d'or valent donc le total moins l'argent et le bronze : \(63-17-28=18\). L'Australie a obtenu 18 médailles d'or.
3. La Grande-Bretagne a 31 médailles de bronze sur 124 médailles au total. La part de bronze est \(\dfrac{31}{124}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\), soit 25 %. Comme \(25\ \%\gt20\ \%\), l'affirmation est vraie.
4. a. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. On range d'abord les neuf totaux dans l'ordre croissant : \(56\ ;\ 63\ ;\ 71\ ;\ 75\ ;\ 82\ ;\ 89\ ;\ 105\ ;\ 124\ ;\ 220\). L'effectif est 9, un nombre impair, donc la médiane est la valeur du milieu, la 5e : 82 médailles.
b. Parmi ces 9 pays, au moins la moitié ont obtenu 82 médailles ou moins, et au moins la moitié en ont obtenu 82 ou plus. Plus précisément, 4 pays ont moins de 82 médailles et 4 pays en ont plus.
5. L'évolution est \(\dfrac{26-20}{20}=\dfrac{6}{20}=0{,}3\). Le nombre de médailles d'argent du Brésil a donc augmenté de 30 %. (Autre méthode : \(\dfrac{26}{20}=1{,}3\), c'est le coefficient multiplicateur d'une hausse de 30 %.)
Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore, Thalès et triangles semblables
1. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. On compare le carré de ce côté à la somme des carrés des deux autres : \(\mathrm{BC}^2=8^2=64\) et \(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=6{,}4^2+4{,}8^2=40{,}96+23{,}04=64\). Comme \(\mathrm{BC}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2\), la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle ABC est rectangle en A.
2. Les points B, A, D sont alignés, les points C, A, E aussi, et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Les triangles ABC et ADE sont donc dans la configuration de Thalès, avec A comme point commun, et on a l'égalité de rapports :
\[\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}\]
Avec les valeurs de l'énoncé : \(\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=\dfrac{\mathrm{AE}}{4{,}8}=\dfrac{\mathrm{DE}}{8}\). Le rapport \(\dfrac{4{,}8}{6{,}4}\) vaut \(0{,}75\). Donc \(\mathrm{DE}=8\times0{,}75=6\) et \(\mathrm{AE}=4{,}8\times0{,}75=3{,}6\). Ainsi \(\mathrm{DE}=6\ \text{cm}\) et \(\mathrm{AE}=3{,}6\ \text{cm}\).
3. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles et la droite (BD) les coupe toutes les deux. Les angles \(\widehat{\mathrm{ABC}}\) et \(\widehat{\mathrm{ADE}}\) sont situés de part et d'autre de la sécante (BD), entre les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Des droites parallèles forment des angles alternes-internes de même mesure, donc \(\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ADE}}\).
4. Le triangle ABC est rectangle en A (question 1). Les droites (BD) et (CE) étant perpendiculaires en A, le triangle ADE est aussi rectangle en A : \(\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{DAE}}=90^\circ\). On a de plus \(\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ADE}}\) (question 3). Deux triangles qui ont deux angles deux à deux égaux ont aussi le troisième angle égal : leurs trois angles sont égaux deux à deux, donc les triangles ABC et ADE sont semblables. On peut le confirmer par les longueurs : tous les côtés de ADE valent \(0{,}75\) fois ceux de ABC (\(4{,}8=0{,}75\times6{,}4\), \(3{,}6=0{,}75\times4{,}8\), \(6=0{,}75\times8\)).
5. Les diagonales [BD] et [CE] se coupent à angle droit en A. Le quadrilatère BCDE est donc formé de quatre triangles rectangles en A. On cherche leurs aires, avec \(\mathcal{A}=\dfrac{\text{côté}\times\text{côté}}{2}\) pour les deux côtés de l'angle droit :
\(\mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\dfrac{6{,}4\times4{,}8}{2}=15{,}36\), \(\mathcal{A}_{\mathrm{ABE}}=\dfrac{6{,}4\times3{,}6}{2}=11{,}52\), \(\mathcal{A}_{\mathrm{ADE}}=\dfrac{4{,}8\times3{,}6}{2}=8{,}64\), \(\mathcal{A}_{\mathrm{ADC}}=\dfrac{4{,}8\times4{,}8}{2}=11{,}52\) (toutes en \(\text{cm}^2\)).
La somme donne \(15{,}36+11{,}52+8{,}64+11{,}52=47{,}04\). Vérification : \(\mathrm{BD}=6{,}4+4{,}8=11{,}2\) et \(\mathrm{CE}=4{,}8+3{,}6=8{,}4\), d'où \(\dfrac{11{,}2\times8{,}4}{2}=47{,}04\). L'aire de BCDE est \(47{,}04\ \text{cm}^2\).
Corrigé de l’exercice 3 : volume d’une boule
Partie A
1. On part de 3,6 sur l'axe des rayons, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit la hauteur sur l'axe des volumes : on trouve un volume d'environ 195 \(\text{cm}^3\) (une lecture entre 190 et 200 est correcte). L'image de 3,6 est donc proche de 200.
2. On part de 660 sur l'axe des volumes, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend sur l'axe des rayons : on lit un rayon d'environ 5,4 cm.
Partie B
1. On remplace \(R\) par \(2{,}5\) dans la formule : \(V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times2{,}5^{3}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times15{,}625\approx65{,}45\). Arrondi à l'unité, le volume d'une boule est bien \(65\ \text{cm}^3\).
2. On cherche combien de fois 65 tient dans 1 000 : \(\dfrac{1\,000}{65}\approx15{,}4\). On ne peut pas fabriquer une fraction de boule, on garde la partie entière : au maximum 15 boules. (Avec le volume exact, \(\dfrac{1\,000}{65{,}45}\approx15{,}3\), le résultat est identique.)
3. Un \(\text{cm}^3\) de plastique a une masse de \(0{,}9\) g. Le tableau de proportionnalité donne \(0{,}9\times65=58{,}5\) g, et avec le volume non arrondi \(0{,}9\times65{,}45\approx58{,}9\) g. Dans les deux cas, la masse d'une boule est d'environ 59 g.
Corrigé de l’exercice 4 : sachets de bonbons et diviseurs communs
1. Avec 16 sachets, chaque sachet aurait \(112\div16=7\) bonbons à la fraise, ce qui est possible. Mais \(140\div16=8{,}75\) n'est pas un nombre entier : on ne peut pas répartir les 140 bonbons au caramel également entre 16 sachets. On ne peut pas constituer 16 sachets.
2. On divise 140 par les nombres premiers successifs : \(140=2\times70=2\times2\times35=2\times2\times5\times7\). La décomposition est \(140=2^{2}\times5\times7\).
3. Le nombre de sachets doit diviser à la fois 112 et 140. Pour en avoir le plus possible, on cherche leur plus grand diviseur commun. Dans \(112=2^{4}\times7\) et \(140=2^{2}\times5\times7\), les facteurs communs, pris avec le plus petit exposant, sont \(2^{2}\) et \(7\) : \(2^{2}\times7=28\). On peut donc constituer au maximum 28 sachets. Chaque sachet contient alors \(112\div28=4\) bonbons à la fraise et \(140\div28=5\) bonbons au caramel.