Brevet de maths 2021 Centres étrangers : sujet

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Voici le sujet du brevet de mathématiques passé en juin 2021 dans les centres étrangers. Au programme : décomposition en facteurs premiers, transformations d'un pavage, calcul de fraction et volume de la Lune, probabilités avec un et deux dés, trois programmes de calcul dont deux en Scratch, une montée à vélo au col de Hardknott avec Thalès et pente, puis le choix de la meilleure formule dans une station de ski avec des fonctions. Prends une feuille, chronomètre-toi pendant 2 heures et cherche chaque question avant d'ouvrir le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2021

Centres étrangers · 15 juin 2021

Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures

L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé. L'usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Sommaire

Exercice 1 24 points

Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n'est demandée.

1. Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.

2. À partir du triangle BEJ, rectangle isocèle en J, on a obtenu par pavage la figure ci-dessous.

Pavage : grand carré ABCD avec le carré EFGH inscrit, les diagonales et les points I, J, K, L, M, formant huit triangles identiques autour du centre M

a. Quelle est l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) ?

b. Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?

c. Par quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD ?

3. Calculer en détaillant les étapes :

\[\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25}\]

On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

4. Pour cette question, on indiquera sur la copie l'unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d'environ 3 474 km, la valeur qui approche le mieux son volume est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(12{,}3 \times 10^{17}\ \text{km}^3\)	\(1\,456\,610\ \text{km}^3\)	\(1{,}8 \times 10^{11}\ \text{km}^3\)	\(2{,}2 \times 10^{10}\ \text{km}^3\)

5. On considère un triangle RST rectangle en S. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie. On arrondira la valeur des angles à l'unité.

Annexe à rendre avec la copie (exercice 1, question 5)

Longueurs	Angles	Périmètre du triangle RST	Aire du triangle RST
RS = 10 mm	\(\widehat{\text{RST}} = 90^\circ\)	\(\mathcal{P} =\)	\(\mathcal{A} =\)
ST = 24 mm	\(\widehat{\text{STR}} \approx\)
RT = 26 mm	\(\widehat{\text{SRT}} \approx\)

Exercice 2 21 points

Partie 1

Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6, puis on note le numéro de la face du dessus.

1. Donner sans justification les issues possibles.

2. Quelle est la probabilité de l'évènement A : « On obtient 2 » ?

3. Quelle est la probabilité de l'évènement B : « On obtient un nombre impair » ?

Partie 2

Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

1. Quelle est la probabilité de l'évènement C : « le score est 13 » ? Comment appelle-t-on un tel évènement ?

2. Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

a. Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.

b. Donner la liste des scores possibles.

3. a. Déterminer la probabilité de l'évènement D : « le score est 10 ».

b. Déterminer la probabilité de l'évènement E : « le score est un multiple de 4 ».

c. Démontrer que le score obtenu a autant de chance d'être un nombre premier qu'un nombre strictement plus grand que 7.

Annexe à rendre avec la copie (exercice 2, partie 2, question 2. a.)

Dé rouge \ Dé vert	2	4
1
2
3		7
4	6
5
6

Exercice 3 16 points

Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

Programmes A et B en Scratch : demander un nombre, le stocker dans nombre choisi, calculer Valeur 1, Valeur 2 puis résultat et le dire pendant 2 secondes. Programme A : Valeur 1 = 1 + nombre choisi, Valeur 2 = 3 * Valeur 1, résultat = Valeur 2 - 3. Programme B : Valeur 1 = nombre choisi + 3, Valeur 2 = nombre choisi - 5, résultat = Valeur 1 * Valeur 2

Programme C

Choisir un nombre
Multiplier par 7
Ajouter 3
Soustraire le nombre de départ

1. a. Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient 3 ».

b. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient \(-15\) ».

2. Soit \(x\) le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l'exécution du programme C ?

3. Un élève affirme qu'avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?

4. a. Résoudre l'équation \((x + 3)(x - 5) = 0\).

b. Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient 0 » ?

5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?

Exercice 4 19 points

Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.

Elle est partie d'une altitude de 251 mètres et arrivera au sommet à une altitude de 393 mètres.

Sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point A et le sommet par le point E. Aurélie est actuellement au point D.

Schéma de la montée : triangle ACE rectangle en C, point D sur [AE] avec B sur [AC] tel que DB est perpendiculaire à AC, AD = 51,25 m, DB = 11,25 m, altitude de A 251 m et de E 393 m, une cycliste en D

Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et (CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont alignés. Les points A, B et C sont alignés.

AD = 51,25 m et DB = 11,25 m.

1. Justifier que le dénivelé qu'Aurélie aura effectué, c'est-à-dire la hauteur EC, est égal à 142 m.

2. a. Prouver que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.

b. Montrer que la distance qu'Aurélie doit encore parcourir, c'est-à-dire la longueur DE, est d'environ 596 m.

3. On utilisera pour la longueur DE la valeur 596 m.

Sachant qu'Aurélie roule à une vitesse moyenne de 8 km/h, si elle part à 9 h 55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ? Arrondir à la minute.

4. La pente d'une route est obtenue par le calcul suivant :

\[\text{pente} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale parcourue}}\]

La pente s'exprime en pourcentage.

Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de 22,5 %.

Exemple d'une pente à 13 % : triangle rectangle avec une longueur horizontale parcourue de 200 m, un dénivelé de 26 m, et la route comme hypoténuse. La figure n'est pas en vraie grandeur

Exercice 5 20 points

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d'hiver :

Formule A : on paie 36,50 € par journée de ski.
Formule B : on paie 90 € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis 18,50 € par journée de ski.
Formule C : on paie 448,50 € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.

1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski. Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.

2. Dans cette question, \(x\) désigne le nombre de journées de ski.

On considère les trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies par :

\[f(x) = 90 + 18{,}5x \qquad g(x) = 448{,}5 \qquad h(x) = 36{,}5x\]

a. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?

b. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.

c. Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.

3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci-dessous.

Sans justifier et à l'aide du graphique :

a. Associer chaque représentation graphique \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\) à la fonction \(f\), \(g\) ou \(h\) correspondante.

b. Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de 320 €, en choisissant la formule la plus avantageuse.

c. Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.

Graphique du prix en euros (de 0 à 520) en fonction du nombre de journées de ski (de 0 à 20) : une droite horizontale (d1) à 448,5 ; une droite (d2) passant par l'origine ; une droite (d3) partant de 90 sur l'axe des ordonnées. (d2) et (d3) se coupent au point d'abscisse 5

Annexe à rendre avec la copie (exercice 5, question 1)

Nombre de journées de ski	2	6	10
Formule A	73 €
Formule B	127 €
Formule C	448,50 €