1 Lecture sur une courbe / 4 pts
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt ; d) 1 pt.
- (1 pt)
x 0 1 3 4 w(x) 0 ↗ 4 ↘ 0 ↗ 4 - (1 pt) Maximum 4, atteint en x = 1 et en x = 4. Minimum 0, atteint en x = 0 et en x = 3.
- (1 pt) w(x) = 2 : 2 est entre 0 et 4 sur chacun des trois intervalles de monotonie : 3 solutions. w(x) = 5 : 5 > 4 = maximum : aucune solution.
- (1 pt) 1 ≤ 1,5 < 2,5 ≤ 3 et w est décroissante sur [1 ; 3], donc w(1,5) > w(2,5).
2 Comparer sans calculatrice / 3 pts
Barème : 1 pt par question. (Calculatrice interdite.)
- −5,1 < −4,9 ≤ 0 et le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0] : (−5,1)² > (−4,9)².
- −0,7 < −0,4 < 0 et l’inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ : 1−0,7 > 1−0,4 (−1,43… > −2,5).
- (√3)² = 3 > 1,7² = 2,89 donc √3 > 1,7, d’où −√3 < −1,7. f est affine de coefficient −4 < 0, donc décroissante : f(−√3) > f(−1,7).
3 Tableau de variations donné / 4 pts
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt ; d) 1 pt.
- f est croissante sur [−6 ; −2] et sur [1 ; 5] ; décroissante sur [−2 ; 1].
- Maximum 6, atteint en x = 5. Minimum −3, atteint en x = −6.
- f est décroissante sur [−2 ; 1] : f(1) ≤ f(x) ≤ f(−2), donc −2 ≤ f(x) ≤ 4.
- (0,5 pt) −4 < −3 dans [−6 ; −2] où f est croissante : f(−4) < f(−3). (0,5 pt) f(0) est compris entre −2 et 4 ; f(3) est compris entre −2 et 6 : ces plages se chevauchent, on ne peut pas comparer avec le tableau seul (0 est dans la zone décroissante, 3 dans la zone croissante).
4 Une parabole renversée / 4 pts
Barème : a) 2 pts ; b) 1 pt ; c) 1 pt.
- (1 pt) Soient 0 ≤ a < b ≤ 3. Alors 3 − a > 3 − b ≥ 0. Le carré est croissant sur [0 ; +∞[ : (3 − a)² > (3 − b)², c’est-à-dire (a − 3)² > (b − 3)². En multipliant par −2 < 0, on renverse : −2(a − 3)² < −2(b − 3)², puis f(a) < f(b) : f est croissante sur [0 ; 3]. Un raisonnement analogue donne f décroissante sur [3 ; 5]. (1 pt) f(0) = −18 + 8 = −10 ; f(3) = 8 ; f(5) = −8 + 8 = 0 :
x 0 3 5 f(x) −10 ↗ 8 ↘ 0 - (1 pt) Maximum 8, atteint en x = 3 ; minimum −10, atteint en x = 0.
- (1 pt) f(x) ≥ 6 ⇔ −2(x − 3)² ≥ −2 ⇔ (x − 3)² ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x − 3 ≤ 1 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4. Cet intervalle est dans [0 ; 5] : S = [2 ; 4].
5 Problème : l’enclos contre un mur / 5 pts
Barème : a) 1,5 pt ; b) 1 pt ; c) 1,5 pt ; d) 1 pt.
- (1,5 pt) Le grillage sert pour deux côtés de longueur x et un côté de longueur 60 − 2x (côté parallèle au mur). Il faut 60 − 2x ≥ 0 donc x ≤ 30 : x ∈ [0 ; 30]. L’aire est A(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x.
- (1 pt) 450 − 2(x − 15)² = 450 − 2(x² − 30x + 225) = 450 − 2x² + 60x − 450 = −2x² + 60x. ✓
- (1,5 pt) A(0) = 0 ; A(15) = 450 ; A(30) = −1 800 + 1 800 = 0. A est croissante sur [0 ; 15] et décroissante sur [15 ; 30] (car (x − 15)² décroît puis croît et il est multiplié par −2) :
x 0 15 30 A(x) 0 ↗ 450 ↘ 0 L’aire maximale est 450 m², atteinte pour x = 15 : les côtés perpendiculaires au mur mesurent 15 m et le côté parallèle 60 − 30 = 30 m.
- (1 pt) A(x) ≥ 400 ⇔ 450 − 2(x − 15)² ≥ 400 ⇔ (x − 15)² ≤ 25 ⇔ −5 ≤ x − 15 ≤ 5 ⇔ 10 ≤ x ≤ 20. L’aire est d’au moins 400 m² pour x ∈ [10 ; 20].