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Corrigé des exercices de maths 2de : Géométrie plane et espace

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Corrigé des exercices de maths 2de : Géométrie plane et espace

Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.

1 Projetés et distances dans un rectangle ★★★

  1. Dans un rectangle, (AD) est perpendiculaire à (AB) : le projeté de D sur (AB) est A. De même (BC) ⟂ (AB), donc le projeté de C sur (AB) est B.
  2. La distance de C à (AB) est CB = AD = 5 cm.
  3. (AB) ⟂ (BC) en B : le projeté de A sur (BC) est B, donc la distance est AB = 9 cm.

2 L’échelle contre le mur ★★★

Le mur et le sol sont perpendiculaires : le triangle formé par l’échelle, le mur et le sol est rectangle, l’échelle étant l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore, h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8.

Réponse : l’échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur.

3 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Vrai. MHK est rectangle en H donc MK² = MH² + HK² > MH².
  2. Vrai. Si M est sur d, la perpendiculaire à d passant par M coupe d en M.
  3. Faux. Dans un triangle ayant un angle obtus, deux hauteurs ont leur pied sur le prolongement d’un côté, donc en dehors du triangle.
  4. Faux. Il y a deux droites parallèles à d, une de chaque côté, à 2 cm de d.
  5. Vrai. Si H est le pied de la hauteur issue de A, AH est la distance de A à (BC) et B, C sont des points de (BC) ; AH est donc inférieure à AB et à AC (plus courte distance).

4 Cosinus, sinus et tangente ★★★

  1. Pour l’angle B : l’hypoténuse est [BC], le côté adjacent est [AB], le côté opposé est [AC]. Donc cos B = 513, sin B = 1213, tan B = 125.
  2. cos B = 513 donc ∠B = cos⁻¹(513) ≈ 67,4° (on peut contrôler avec tan B = 2,4).

5 Cinq volumes ★★★

  1. V = 8 × 5 × 3 = 120 cm³.
  2. V = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282,7 cm³.
  3. V = 13 × π × 3² × 4 = 12π ≈ 37,7 cm³.
  4. V = 43 × π × 3³ = 36π ≈ 113,1 cm³.
  5. L’aire de la base est 36 cm², donc V = 13 × 36 × 5 = 60 cm³.

6 Agrandissement et réduction ★★★

a) Les aires sont multipliées par k² = 9 : 12 × 9 = 108 cm². Les volumes sont multipliés par k³ = 27 : 5 × 27 = 135 cm³.

b) La hauteur devient 40 × 12 = 20 cm. Le volume est multiplié par (12)³ = 18 : 3 200 ÷ 8 = 400 cm³.

7 Un point de la médiatrice ★★★

Soit I le milieu de [AB] : IA = 5 cm. M est sur la médiatrice, donc (MI) ⟂ (AB) : I est le projeté orthogonal de M sur (AB) et la distance cherchée est MI. Le triangle MIA est rectangle en I, donc MI² = MA² − IA² = 169 − 25 = 144, d’où MI = 12 cm.

ABIMmédiatrice de [AB]

8 Hauteur d’un triangle isocèle ★★★

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base : H est le milieu de [BC], donc BH = 5 cm. Le triangle ABH est rectangle en H : AH² = 13² − 5² = 144, donc AH = 12 cm. Aire = 12 × 10 × 12 = 60 cm².

9 Aire d’un trapèze ★★★

Aire = (9+5)2 × 4 = 7 × 4 = 28 cm². Un rectangle de hauteur 4 cm et d’aire 28 cm² a pour largeur 28 ÷ 4 = 7 cm, qui est bien la moyenne de 9 et 5. Oui.

10 Hauteur issue de l’angle droit ★★★

  1. BC² = 81 + 144 = 225 donc BC = 15 cm.
  2. Aire = 12 × 9 × 12 = 54 cm². Aussi aire = 12 × 15 × AH, donc AH = 10815 = 7,2 cm.
  3. ABH est rectangle en H : BH² = 81 − 51,84 = 29,16 donc BH = 5,4 cm. Alors HC = 15 − 5,4 = 9,6 cm (on vérifie : 7,2² + 9,6² = 51,84 + 92,16 = 144 = AC²).

11 Thalès et rapports ★★★

  1. D’après le théorème de Thalès, AMAB = ANAC = MNBC, soit 410 = 6AC = MN14. Donc AC = 6 × 10 ÷ 4 = 15 cm et MN = 14 × 4 ÷ 10 = 5,6 cm.
  2. AMN est une réduction de ABC dans le rapport k = 410 = 0,4. Le rapport des aires est k² = 0,16 : l’aire de AMN vaut 16 % de celle de ABC.

12 Hauteur d’un mât ★★★

On modélise par un triangle rectangle : sommet de l’angle = les yeux, côté adjacent = 40 m (horizontal), côté opposé = hauteur h au-dessus des yeux. tan 35° = h40, donc h = 40 × tan 35° ≈ 28,0 m. Il faut ajouter la hauteur des yeux : 28,0 + 1,6 ≈ 29,6 m.

Réponse : le mât mesure environ 29,6 m.

13 Médiane et cercle circonscrit ★★★

  1. BC² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse : O est ce centre et le rayon vaut 5 cm.
  2. Soit I le milieu de [AB]. Comme OB = OA, le triangle OAB est isocèle en O, donc (OI) est la médiatrice de [AB] et (OI) ⟂ (AB) : I est le projeté orthogonal de O sur (AB). Dans le triangle ABC, I et O sont les milieux de [AB] et [BC] : OI = AC2 = 4 cm. La distance de O à (AB) est 4 cm (on vérifie : OI² + IB² = 16 + 9 = 25 = OB²).

14 Points à distances imposées ★★★

  1. Les points à 3 cm de d forment deux droites parallèles à d, de part et d’autre, chacune à 3 cm de d.
  2. Le cercle de centre A et de rayon 5 cm coupe chacune de ces deux droites en deux points, car 3 < 5 : il y a 4 points. Si H est le projeté de M sur d, AHM est rectangle en H avec MH = 3 et AM = 5, donc AH² = 25 − 9 = 16 et AH = 4 cm. Les quatre points sont les sommets d’un rectangle de 8 cm sur 6 cm centré en A.

Ad

15 Un cône de glace ★★★

Génératrice : g² = 12² + 5² = 169 donc g = 13 cm. Volume : 13 × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314,2 cm³. Aire latérale : π × 5 × 13 = 65π ≈ 204,2 cm².

16 Une pyramide coupée ★★★

  1. La section est un carré, réduction de la base dans le rapport k = 39 = 13 : son côté vaut 12 × 13 = 4 cm.
  2. Petite pyramide : 13 × 4² × 3 = 16 cm³. Grande : 13 × 144 × 9 = 432 cm³. Rapport : 16 ÷ 432 = 127 = (13)³, comme prévu avec k³.

17 Diagonales d’un cube ★★★

ABC est rectangle en B : AC² = 36 + 36 = 72, AC = 6√2 ≈ 8,49 cm. Le triangle ACG est rectangle en C (l’arête (CG) est orthogonale au plan (ABC)) : AG² = 72 + 36 = 108, AG = 6√3 ≈ 10,39 cm.

Volume de ABCDG : 13 × 36 × 6 = 72 cm³ ; le cube vaut 216 cm³ = 3 × 72. Il faut 3 pyramides.

18 Section d’une boule ★★★

  1. r = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm. Aire = π × 8² = 64π ≈ 201,1 cm².
  2. d = √(10² − 5²) = √75 = 5√3 ≈ 8,66 cm.

19 Un réservoir ★★★

Cylindre : π × 2² × 5 = 20π m³. Demi-boule : 12 × 43 × π × 2³ = 16π3 m³. Total : 20π + 16π3 = 76π3 ≈ 79,6 m³. Comme 1 m³ = 1 000 L, le réservoir contient environ 79 600 litres.

20 Verre conique à moitié plein ★★★

Le liquide occupe un petit cône, réduction du verre dans le rapport k = 12 : hauteur 6 cm, rayon 2 cm. Son volume est 13 × π × 4 × 6 = 8π ≈ 25,1 cm³. Le verre complet vaut 13 × π × 16 × 12 = 64π cm³. La fraction est 864 = 18 = (12)³.

Le verre n’est donc rempli qu’au huitième, pas à moitié !

21 Le triangle 13 – 14 – 15 ★★★

  1. Dans ABH rectangle en H : AH² = 169 − x². Dans AHC rectangle en H, avec HC = 14 − x (H est entre B et C, vérifié ensuite) : AH² = 225 − (14 − x)² = 225 − 196 + 28x − x² = 29 + 28x − x². Donc 169 = 29 + 28x, soit x = 5. Alors AH² = 169 − 25 = 144 et AH = 12 cm. (H est bien dans [BC] car 0 < 5 < 14.)
  2. Aire = 12 × 14 × 12 = 84 cm². Hauteur issue de B : 16815 = 11,2 cm. Hauteur issue de C : 16813 ≈ 12,92 cm.
  3. p = 422 = 21 cm et r = 8421 = 4 cm.

22 Cordes et projeté dans un cercle ★★★

  1. C est sur le cercle de diamètre [AB], donc ACB est rectangle en C. Avec la démonstration de l’exercice 27, on obtient CH² = AH × HB. Ici HB = 20 − 5 = 15 cm.
  2. CH² = 5 × 15 = 75, donc CH = 5√3 ≈ 8,66 cm. Comme (AB) est la médiatrice de [CD] (CO = DO et même projeté H), CD = 2 CH = 10√3 ≈ 17,32 cm. Les diagonales [AB] et [CD] sont perpendiculaires : aire = 12 × AB × CD = 12 × 20 × 10√3 = 100√3 ≈ 173,2 cm².

23 Une tour, deux observations ★★★

Soit T le pied de la tour. Depuis P : tan 30° = hPT, donc PT = h ÷ tan 30° = h√3. Depuis Q (50 m plus près) : tan 45° = 1 = hQT donc QT = h. Comme PT − QT = 50 : h√3 − h = 50, soit h(√3 − 1) = 50. Alors h = 50 ÷ (√3 − 1) = 50(√3+1)2 = 25(√3 + 1) ≈ 68,30 m.

Vérification : PT ≈ 118,30 m, QT ≈ 68,30 m, différence = 50 m.

24 Un tronc de cône ★★★

Le plan est à 15 − 6 = 9 cm du sommet : le petit cône est une réduction de rapport k = 915 = 0,6. Le rayon de la section est 9 × 0,6 = 5,4 cm.

Grand cône : 13 × π × 81 × 15 = 405π cm³. Petit cône : k³ × 405π = 0,216 × 405π = 87,48π cm³. Tronc : 405π − 87,48π = 317,52π ≈ 997,5 cm³.

25 Le plan (BDG) dans un cube ★★★

  1. [BD], [DG] et [BG] sont des diagonales de faces carrées d’arête 4 : elles mesurent toutes 4√2 cm (Pythagore : 16 + 16 = 32). BDG est donc équilatéral. Son aire est √34 × (4√2)² = √34 × 32 = 8√3 ≈ 13,86 cm².
  2. La pyramide CBDG a pour base le triangle BCD, rectangle en C avec CB = CD = 4 (aire 8 cm²), et pour hauteur CG = 4 puisque (CG) ⟂ (ABC). Volume = 13 × 8 × 4 = 323 ≈ 10,67 cm³. En prenant BDG comme base : 13 × 8√3 × h = 323, donc h = 4√3 = 4√33 ≈ 2,31 cm : c’est la distance de C au plan (BDG).

26 Une glace à l’italienne ★★★

Cône : 13 × π × 9 × 9 = 27π cm³. Demi-boule : 12 × 43 × π × 27 = 18π cm³. Total : 45π ≈ 141,4 cm³. Part de la glace : 1845 = 0,4, soit 40 %.

27 Démonstration : AH² = BH × HC ★★★

  1. AB² = AH² + BH² ; AC² = AH² + HC² ; BC² = AB² + AC² avec BC = BH + HC.
  2. De la troisième : (BH + HC)² = AH² + BH² + AH² + HC², soit BH² + 2 BH × HC + HC² = 2AH² + BH² + HC². On simplifie : 2 BH × HC = 2AH², donc AH² = BH × HC. ∎
  3. AH² = 4 × 9 = 36 donc AH = 6 cm. AB² = 36 + 16 = 52 donc AB = 2√13 ≈ 7,21 cm ; AC² = 36 + 81 = 117 donc AC = 3√13 ≈ 10,82 cm. BC = 13 et AB² + AC² = 52 + 117 = 169 = BC², ce qui confirme (réciproque de Pythagore) que ABC est rectangle en A.

28 Un centre loin du milieu ★★★

  1. (AH) est la hauteur et la médiatrice de [BC] : AH² = 100 − 36 = 64, AH = 8 cm. O est équidistant de B et C, donc sur la médiatrice de [BC], qui est (AH).
  2. Si O est sur [AH] avec OH = y, alors OA = 8 − y et OB² = OH² + HB² = y² + 36. Comme OA = OB : (8 − y)² = y² + 36, soit 64 − 16y = 36, donc y = 1,75 cm (on a bien 0 < y < 8). Le rayon est OA = 8 − 1,75 = 6,25 cm (contrôle : √(1,75² + 36) = √39,0625 = 6,25).
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