Droites du plan et systèmes d’équations : exercices de maths 2de

1 Points et droite ★★★

La droite d a pour équation y = −2x + 5. Les points suivants appartiennent-ils à d ? Justifie.

A(1 ; 3) ; B(−2 ; 9) ; C(3 ; −2) ; D(2 ; 1).

2 Lire m et p ★★★

Donne, si elles existent, le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de chaque droite.

1. d₁ : y = 3x − 4
2. d₂ : y = −0,5x + 1
3. d₃ : y = 7
4. d₄ : x = −2

3 Deux points, une droite ★★★

Détermine l’équation réduite de la droite (AB) dans chaque cas.

1. A(0 ; 1) et B(2 ; 7)
2. A(−1 ; 4) et B(3 ; 0)

4 Vecteurs directeurs ★★★

Donne un vecteur directeur de chaque droite.

1. 2x + 5y − 10 = 0
2. x − 4y + 3 = 0
3. 3x − 7 = 0
4. 5y − 8 = 0

5 Forme réduite ★★★

Écris sous la forme y = m x + p les droites d’équations cartésiennes :

1. 2x + y − 6 = 0
2. 4x − 2y + 8 = 0
3. 3x + 6y − 12 = 0

6 Solution d’un système ? ★★★

On considère le système { 2x + y = 7 ; x − y = −1 }. Parmi les couples (2 ; 3), (3 ; 1), (1 ; 5) et (0 ; 7), lesquels sont solutions ?

7 Parallèles ou sécantes ? ★★★

Soit d₁ : y = 2x + 3 ; d₂ : y = 2x − 5 ; d₃ : y = −2x + 3 ; d₄ : 2y = 4x + 1.

1. Quelles droites sont parallèles ?
2. Détermine le point d’intersection de d₁ et d₃.

8 Droite par deux points (fraction) ★★★

Soit A(−2 ; 3) et B(4 ; −1).

1. Détermine l’équation réduite de (AB).
2. En déduire une équation cartésienne à coefficients entiers.

9 Droites verticale et horizontale ★★★

On donne A(3 ; −2), B(3 ; 5), C(−1 ; 4) et D(6 ; 4).

1. Donne une équation de (AB) puis de (CD).
2. Ces droites sont-elles parallèles ? Donne les coordonnées de leur point d’intersection.

10 Point et vecteur directeur ★★★

La droite d passe par A(2 ; −1) et a pour vecteur directeur u(3 ; 4).

1. Détermine une équation cartésienne de d.
2. Le point B(5 ; 3) est-il sur d ? Le point C(−1 ; −5) ? Le point E(0 ; 1) ?

11 Alignement ★★★

On donne A(−1 ; −2), B(2 ; 4), C(5 ; 10) et D(4 ; 7). Détermine l’équation réduite de (AB) puis dis si C et D sont alignés avec A et B.

12 Parallèles, confondues, sécantes ★★★

On considère d : 3x − 2y + 5 = 0, d′ : 6x − 4y − 1 = 0 et d″ : x + 2y − 9 = 0.

1. Montre que d et d′ sont parallèles. Sont-elles confondues ?
2. Montre que d et d″ sont sécantes et calcule les coordonnées de leur point d’intersection.

13 Parallèle par un point ★★★

Détermine une équation de la parallèle à d passant par le point indiqué.

1. d : y = −3x + 2 ; A(2 ; 1)
2. d : 4x − 5y + 1 = 0 ; B(−1 ; 3)

14 Substitution ★★★

Résous par substitution : (S₁) { y = 2x − 8 ; x + 3y = 11 } puis (S₂) { x − 2y = −1 ; 4x + 3y = 18 }.

15 Combinaison ★★★

Résous par combinaison : (S₁) { 2x + 3y = 12 ; 5x − 3y = 9 } puis (S₂) { 4x + 5y = 3 ; 3x + 2y = 4 }.

16 Les billets de cinéma ★★★

Au cinéma, 3 places adultes et 2 places enfants coûtent 28,50 €. Avec 2 places adultes et 3 places enfants, on paie 24 €. Quel est le prix d’une place adulte et d’une place enfant ?

17 Deux clubs de sport ★★★

Le club A demande 20 € d’inscription puis 15 € par mois. Le club B demande 50 € d’inscription puis 10 € par mois. On note x le nombre de mois et y le coût total en euros.

1. Écris l’équation de la droite associée à chaque club.
2. Résous le système par le calcul.
3. À partir de combien de mois le club B est-il plus avantageux ?

18 Pièces de monnaie ★★★

Dans une tirelire, il y a 25 pièces, toutes de 1 € ou de 2 €, pour une somme totale de 38 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?

19 Aire d’un triangle ★★★

Dans un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère d₁ : y = x + 1, d₂ : y = −2x + 7 et l’axe des abscisses (y = 0).

1. Calcule les coordonnées des trois points d’intersection A = d₁ ∩ d₂, B = d₁ ∩ (Ox) et C = d₂ ∩ (Ox).
2. Calcule l’aire du triangle ABC.

20 Intersection avec les axes ★★★

Soit d la droite d’équation 3x + 4y − 24 = 0.

1. Détermine ses points d’intersection E avec l’axe des abscisses et F avec l’axe des ordonnées.
2. Détermine le point G d’intersection de d et de la droite y = x.
3. Calcule l’aire du triangle OEF (unité : le cm², repère orthonormé d’unité 1 cm).

21 Paramètre et parallélisme ★★★

Soit m un réel. On considère d_m : m x + 2y − 1 = 0 et d′_m : 8x + m y + 3 = 0.

1. Pour quelles valeurs de m ces droites sont-elles parallèles ?
2. Pour ces valeurs, sont-elles confondues ?

22 Système sans solution ou infini ★★★

Résous chaque système et interprète le résultat géométriquement.

1. { 2x − 4y = 6 ; −x + 2y = 5 }
2. { 3x + 6y = 9 ; x + 2y = 3 }

23 Rencontre de deux cyclistes ★★★

Léa part d’un village à 14 h et roule à 12 km/h le long d’une route droite. Tom part du même village une demi-heure plus tard et roule à 20 km/h sur la même route, dans le même sens. On note t le temps écoulé depuis 14 h (en heures) et d la distance au village (en km).

1. Donne l’équation de la droite associée à Léa, puis celle associée à Tom (pour t ≥ 0,5).
2. À quelle heure Tom rejoint-il Léa ? À quelle distance du village ?

24 Tarifs de location ★★★

Une entreprise loue des vélos avec un forfait f (en € par vélo) et un prix j (en € par vélo et par jour). Le coût de n vélos pendant k jours est n × (f + k j). Louer 2 vélos pendant 3 jours coûte 84 € ; louer 3 vélos pendant 2 jours coûte 90 €. Détermine f et j, puis le coût de 4 vélos pendant 5 jours.