Dérivation : nombre dérivé et tangente : exercices de maths 1ère

1 Taux de variation entre deux valeurs ★★★

Calcule le taux de variation de chaque fonction entre les deux valeurs données.

1. f(x) = x² entre 1 et 4.
2. g(x) = 2x² − x entre −1 et 2.
3. h(x) = 1x entre 2 et 5.

2 Vitesse moyenne d’une pierre ★★★

Une pierre lâchée dans un puits parcourt d(t) = 5t² mètres en t secondes.

1. Calcule sa vitesse moyenne entre t = 1 et t = 3.
2. Calcule sa vitesse moyenne entre t = 2 et t = 2,5.
3. Quelle notion représente chacun de ces nombres pour la courbe de d ?

3 Du taux de variation au nombre dérivé ★★★

Soit f(x) = x².

1. Montre que le taux de variation de f entre 2 et 2 + h (h ≠ 0) vaut 4 + h.
2. Calcule-le pour h = 1, h = 0,1 et h = 0,01.
3. En déduire f ′(2).

4 Lecture graphique de nombres dérivés ★★★

La courbe C ci-dessous représente une fonction f ; on a tracé ses tangentes aux points A(0 ; 1), B(2 ; 3) et C(4 ; 1).

1. Lis f ′(0), f ′(2) et f ′(4).
2. Écris l’équation de la tangente en A.

5 Nombres dérivés avec les formules ★★★

Calcule avec les dérivées usuelles :

1. f(x) = x³ : f ′(2).
2. g(x) = 1x : g ′(4).
3. h(x) = √x : h ′(9).
4. k(x) = x⁵ : k ′(−1).

6 Dérivées de polynômes ★★★

Détermine la dérivée de chaque fonction sur ℝ.

1. f(x) = 5x² − 3x + 7
2. g(x) = x⁴ + x²
3. h(x) = 12x⁴ − 3x³ + x
4. k(x) = 7 − x⁵

7 Équations de tangentes simples ★★★

Détermine l’équation réduite de la tangente :

1. à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 3 ;
2. à la courbe de g(x) = x³ au point d’abscisse 1.

8 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. La dérivée de x ↦ 3x + 5 est la fonction constante égale à 3.
2. La dérivée de x ↦ x² en 3 vaut 9.
3. La dérivée du produit uv est u ′v ′.
4. Si f ′(a) = 0, la tangente en a est horizontale.
5. La fonction racine carrée est dérivable en 0.

9 Nombre dérivé par la définition ★★★

En utilisant la définition (limite du taux de variation) :

1. calcule f ′(1) pour f(x) = 2x² − 3x ;
2. calcule g ′(−1) pour g(x) = x² + 5x.

10 Tangente à une cubique ★★★

Soit f(x) = x³ − 2x. Détermine l’équation réduite de la tangente à sa courbe aux points d’abscisses 1 puis −2.

11 Dérivées de produits ★★★

Dérive sur l’intervalle indiqué.

1. f(x) = (x² + 1)(3x − 2) sur ℝ
2. g(x) = (2x − 1)√x sur ]0 ; +∞[
3. h(x) = (x³ − x)(x² + 2) sur ℝ

12 Dérivées de quotients ★★★

Dérive chaque fonction sur son ensemble de dérivabilité.

1. f(x) = x + 1x − 2 sur ]2 ; +∞[
2. g(x) = 3x − 1x² + 1 sur ℝ
3. h(x) = xx² + 4 sur ℝ

13 Composées avec une fonction affine ★★★

Dérive sur l’intervalle où chaque fonction est dérivable.

1. f(x) = (3x − 5)⁴
2. g(x) = √(2x + 1)
3. h(x) = 14x + 3
4. k(x) = (1 − x)⁶

14 Tangentes horizontales ★★★

Détermine les points de la courbe où la tangente est horizontale.

1. f(x) = x³ − 3x
2. g(x) = x² − 6x + 4

15 Tangentes passant par l’origine ★★★

Soit f(x) = x² + 1. Pour quelles abscisses a la tangente à la courbe au point d’abscisse a passe-t-elle par l’origine O ? Donne leurs équations.

16 Tangente parallèle à une droite ★★★

Soit f(x) = x² − 4x. Existe-t-il un point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = 2x + 1 ? Si oui, donne l’équation de cette tangente.

17 Coût marginal ★★★

Une entreprise fabrique q objets pour un coût de C(q) = 0,5q² + 4q + 50 euros.

1. Calcule C ′(q) puis C ′(10).
2. Calcule le coût réel de la fabrication du 11^e objet, C(11) − C(10).
3. Compare les deux résultats.

18 Vitesse instantanée ★★★

Un cycliste part d’un point et sa distance parcourue (en mètres) après t secondes est d(t) = 5t² + 2t, pour 0 ≤ t ≤ 10.

1. Donne l’expression de sa vitesse instantanée d ′(t).
2. Quelle est sa vitesse à t = 0 ? à t = 3 ? Convertis la seconde en km/h.
3. Calcule sa vitesse moyenne entre t = 0 et t = 3 et compare.

19 Tangente à un quotient ★★★

Soit f(x) = 2x + 1x − 1 définie sur ]1 ; +∞[.

1. Calcule f ′(x).
2. Détermine l’équation de la tangente T au point d’abscisse 2.
3. Détermine les coordonnées des points d’intersection de T avec les axes.

20 Tangente à une fonction avec racine ★★★

Soit g(x) = 3√x − 2x sur ]0 ; +∞[. Détermine g ′(x) puis l’équation de la tangente au point d’abscisse 4.

21 Dérivée de l’inverse par la définition ★★★

Soit a un réel non nul et f(x) = 1x. Démontre que f est dérivable en a et que f ′(a) = −1a².

22 Non-dérivabilité de la racine carrée en 0 ★★★

Soit f(x) = √x.

1. Calcule le taux de variation de f entre 0 et h, pour h > 0.
2. Calcule-le pour h = 0,01 puis h = 0,0001.
3. Que peut-on en conclure sur la dérivabilité de f en 0 ? Quelle est l’allure de la courbe en O ?

23 Déterminer une parabole ★★★

Soit f(x) = ax² + bx + 1, où a et b sont deux réels. On sait que la courbe de f passe par A(1 ; 2) et que la tangente en A a pour coefficient directeur 3. Détermine a et b.

24 Position relative d’une courbe et de sa tangente ★★★

Dans chaque cas, détermine la tangente T au point d’abscisse 1, puis étudie la position de la courbe par rapport à T.

1. f(x) = x² − 2x
2. g(x) = x³

25 Deux courbes tangentes ★★★

Soit f(x) = x² et g(x) = −x² + 4x − 2. Montre que les courbes de f et de g ont au point d’abscisse 1 le même point et la même tangente, et donne l’équation de cette tangente.

26 Approximations affines ★★★

En utilisant l’approximation f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a)h, donne une valeur approchée de :

1. √9,06 (avec f(x) = √x, a = 9) ;
2. 11,02 (avec f(x) = 1x, a = 1) ;
3. 1,01⁵ (avec f(x) = x⁵, a = 1).

Compare ensuite à la valeur donnée par la calculatrice.