1 Forme canonique et variations / 4 pts
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = −3x² + 12x − 5.
- Écris f(x) sous forme canonique. (2 points)
- Dresse le tableau de variations de f et indique son extremum. (1 point)
- Résous l’équation f(x) = −5. (1 point)
2 Trois équations / 3 pts
Résous dans ℝ chaque équation :
- 2x² − 3x − 5 = 0 (1 point)
- 9x² + 6x + 1 = 0 (1 point)
- x² + x + 4 = 0 (1 point)
3 Signe et inéquations / 4 pts
Soit g(x) = −x² + x + 6.
- Calcule le discriminant, les racines de g, puis factorise g(x). (2 points)
- Résous l’inéquation g(x) < 0. (1 point)
- Résous l’inéquation g(x) ≥ 4. (1 point)
4 Retrouver une parabole / 3 pts
La parabole représentant une fonction polynôme du second degré f coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses −2 et 1, et passe par le point de coordonnées (0 ; −4).
- Détermine l’expression de f(x) sous forme développée. (2 points)
- Détermine les coordonnées du sommet de la parabole. (1 point)
5 Équation bicarrée / 2 pts
Résous dans ℝ l’équation x⁴ − 13x² + 36 = 0 en posant X = x².
6 Optimiser le bénéfice d’un pâtissier / 4 pts
Un pâtissier prépare et vend x centaines de crêpes par jour (0 ≤ x ≤ 12). Son bénéfice quotidien, en euros, est B(x) = −40x² + 480x − 800.
- Montre que B(x) = −40(x − 2)(x − 10). (1 point)
- Pour quelles quantités le bénéfice est-il positif ? (1 point)
- Combien de crêpes doit-il vendre pour obtenir le bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ? Rédige une phrase de conclusion. (2 points)
