Fonctions polynômes du second degré : exercices de maths 1ère

1 Reconnaître un trinôme ★★★

Parmi les fonctions suivantes, indique lesquelles sont des fonctions polynômes du second degré. Pour celles qui le sont, donne les valeurs de a, b et c après avoir développé si nécessaire.

1. f(x) = 3x² − 5x + 2
2. g(x) = (x − 1)(x + 4)
3. h(x) = x³ + x
4. k(x) = (2x − 1)² − 4x²
5. m(x) = 7 − x²

2 Développer une forme factorisée ★★★

Écris sous forme développée, réduite et ordonnée :

1. f(x) = 2(x − 1)(x + 3)
2. g(x) = −(x + 2)(x − 5)
3. h(x) = 3(x − 4)²

3 Développer une forme canonique ★★★

Développe et réduis :

1. f(x) = 2(x − 3)² + 1
2. g(x) = −(x + 1)² + 5

4 Lire le sommet et les variations ★★★

Pour chaque fonction écrite sous forme canonique, donne les coordonnées du sommet de la parabole, le sens de variation et l’extremum (en précisant s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum).

1. f(x) = 3(x − 2)² − 5
2. g(x) = −(x + 4)² + 7
3. h(x) = −2(x + 1)² − 3

5 Calculer des discriminants ★★★

Calcule le discriminant de chaque trinôme et indique le nombre de racines réelles.

1. x² − 6x + 5
2. 2x² + x + 3
3. 9x² − 12x + 4
4. −x² + 2x + 3
5. 3x² − x − 2

6 Résoudre trois équations ★★★

Résous dans ℝ :

1. x² − 6x + 5 = 0
2. 2x² − 7x + 3 = 0
3. x² + 4x + 5 = 0

7 Racines évidentes ★★★

Pour chaque trinôme, trouve une racine évidente sans calculer le discriminant, puis déduis-en l’autre racine avec le produit des racines.

1. x² − 7x + 6
2. 3x² + 5x + 2

8 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Si a > 0, la fonction x ↦ ax² + bx + c admet un maximum.
2. L’équation x² + 1 = 0 admet deux solutions réelles.
3. Pour tout réel x, 2x² − 4x + 2 ≥ 0.
4. Si Δ > 0, les deux racines sont toujours de même signe.
5. La parabole de f(x) = −3(x + 2)² + 1 a pour sommet S(2 ; 1).
6. Pour tout réel x, x² − 6x + 10 > 0.

9 Lecture graphique d’une parabole ★★★

On donne la courbe d’une fonction f polynôme du second degré, définie sur [−2 ; 4].

1. Lis les racines de f et les coordonnées du sommet de la parabole.
2. Le coefficient a est-il positif ou négatif ? f admet-elle un maximum ou un minimum ?
3. Résous graphiquement f(x) > 0, puis f(x) ≤ 0.
4. Résous graphiquement f(x) = 3.
5. Écris la forme canonique de f, sachant que |a| = 1.

10 Forme canonique de quatre trinômes ★★★

Écris chaque trinôme sous forme canonique.

1. x² − 8x + 3
2. 2x² + 8x − 1
3. −3x² + 6x + 4
4. x² + 3x

11 Résoudre quatre équations ★★★

Résous dans ℝ (donne les solutions exactes) :

1. 3x² − 2x − 1 = 0
2. x² − 2x − 1 = 0
3. 4x² − 20x + 25 = 0
4. −2x² + 3x − 5 = 0

12 Factoriser des trinômes ★★★

Factorise, quand c’est possible :

1. 2x² − x − 10
2. x² − 10x + 25
3. −3x² + 12x − 9

13 Variations et extremum ★★★

Soit f(x) = −2x² + 8x − 3 définie sur ℝ.

1. Écris f sous forme canonique.
2. Dresse son tableau de variations sur ℝ.
3. Détermine le maximum et le minimum de f sur l’intervalle [0 ; 3] (précise où ils sont atteints).

14 Signe de trois trinômes ★★★

Dresse le tableau de signes de chaque trinôme.

1. x² − 2x − 3
2. −x² + 4x − 4
3. 2x² + x + 1

15 Résoudre des inéquations ★★★

Résous dans ℝ et écris les solutions sous forme d’intervalles :

1. x² − 5x + 6 > 0
2. −2x² + x + 1 ≥ 0
3. x² + 2x + 5 < 0
4. 3x² ≥ 12

16 Somme et produit : le rectangle ★★★

Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une aire de 40 cm².

1. Que valent la somme et le produit de sa longueur et de sa largeur ?
2. Détermine ses dimensions.
3. Existe-t-il un rectangle de périmètre 26 cm et d’aire 50 cm² ?

17 Retrouver une fonction ★★★

La parabole d’une fonction polynôme du second degré f coupe l’axe des abscisses en A(−1 ; 0) et B(2 ; 0), et l’axe des ordonnées en C(0 ; 4).

1. Écris f(x) sous la forme a(x − x₁)(x − x₂), puis détermine a.
2. Développe f(x).
3. Calcule les coordonnées du sommet de la parabole.

18 Deux carrés sur un segment ★★★

Un segment [AB] mesure 10 cm. Un point M est placé sur [AB]. On construit deux carrés, l’un de côté AM, l’autre de côté MB. On pose x = AM (en cm), avec 0 ≤ x ≤ 10.

1. Montre que la somme S(x) des aires des deux carrés est S(x) = 2x² − 20x + 100.
2. Où placer M pour que cette somme soit la plus petite possible ? Quelle est alors sa valeur ?
3. Pour quelles positions de M la somme des aires vaut-elle 68 cm² ?

19 Un paramètre dans l’équation ★★★

Soit m un réel et l’équation (E) : x² + mx + 9 = 0.

1. Calcule le discriminant en fonction de m.
2. Pour quelles valeurs de m l’équation (E) a-t-elle une unique solution ? Donne-la.
3. Pour quelles valeurs de m (E) n’a-t-elle aucune solution ? deux solutions ?
4. Résous (E) pour m = 10.

20 Équations bicarrées ★★★

Résous dans ℝ en posant X = x² :

1. x⁴ − 10x² + 9 = 0
2. x⁴ + 3x² − 4 = 0
3. x⁴ + x² + 1 = 0

21 Parabole et droite ★★★

Dans un repère, on considère la parabole (P) d’équation y = x² − 2x − 3 et la droite (d) d’équation y = x + 1.

1. Détermine par le calcul les coordonnées des points d’intersection de (P) et (d).
2. Étudie la position relative de (P) et (d) selon les valeurs de x.
3. La droite (d′) d’équation y = −4 est-elle sécante à (P), tangente ou extérieure ? Et la droite d’équation y = −5 ?

22 L’enclos de 60 mètres ★★★

Un éleveur dispose de 60 m de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur (le grillage n’est nécessaire que sur trois côtés). On note x la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprime la longueur du côté parallèle au mur, puis donne l’intervalle de variation de x.
2. Montre que l’aire est A(x) = −2x² + 60x.
3. Quelles dimensions donnent l’aire maximale ? Quelle est cette aire ?
4. Pour quelles valeurs de x l’aire est-elle égale à 400 m² ?

23 Le lancer de balle ★★★

Une balle est lancée vers le haut depuis une hauteur de 1,5 m. Sa hauteur (en mètres) à l’instant t (en secondes) est h(t) = −5t² + 20t + 1,5, pour t ≥ 0 jusqu’à l’arrivée au sol. Calculatrice autorisée pour les valeurs approchées.

1. À quel instant la balle atteint-elle sa hauteur maximale, et quelle est cette hauteur ?
2. À quel instant touche-t-elle le sol ? Arrondis au centième de seconde.
3. Pendant combien de temps la balle reste-t-elle à plus de 16,5 m de hauteur ?

24 Le bénéfice d’une entreprise ★★★

Une entreprise fabrique et vend x centaines d’objets (0 ≤ x ≤ 14). Son bénéfice, en milliers d’euros, est B(x) = −2x² + 28x − 66.

1. Montre que B(x) = −2(x − 3)(x − 11).
2. Pour quelles quantités l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
3. Quel nombre d’objets rend le bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?
4. Pour quelles quantités le bénéfice dépasse-t-il 20 000 € ? (valeurs approchées à 10⁻² près)

25 Démontrer des inégalités ★★★

1. Montre que, pour tout réel x, x² − x + 1 > 0.
2. En déduire que, pour tout réel x, x² + 1 > x.
3. Montre que, pour tout réel x > 0, x + 1x ≥ 2. (Indication : réduis x + 1x − 2 au même dénominateur.)

26 Combien de solutions selon k ? ★★★

Soit f(x) = x² − 4x + 1. Pour chaque réel k, on note (E_k) l’équation f(x) = k.

1. Détermine le minimum de f.
2. Montre que (E_k) est équivalente à x² − 4x + (1 − k) = 0 et exprime son discriminant en fonction de k.
3. Discute, selon la valeur de k, le nombre de solutions de (E_k). Interprète graphiquement.
4. Résous (E_k) pour k = 6.