Fonction exponentielle et croissances comparées : cours de maths Terminale

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Cours de maths Terminale : cours de maths Terminale

La fonction exponentielle est la grande nouveauté d’analyse en Terminale. Elle décrit tout ce qui croît ou décroît « proportionnellement à lui-même » : une population de bactéries, un capital placé, la radioactivité, le refroidissement d’un café. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à la manipuler (algèbre, équations), à la dériver, à calculer ses limites (c’est là que les croissances comparées entrent en scène) et à l’utiliser pour modéliser.

Sommaire

1. Définition et propriétés algébriques

Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ′ = f et f(0) = 1. On l’appelle la fonction exponentielle, notée exp. Le nombre exp(1) est noté e (e ≈ 2,718 28) et, pour tout réel x, on écrit exp(x) = e^x.

Autrement dit, c’est la fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. Son existence est admise ; son unicité et ses propriétés se démontrent à partir de cette seule définition.

Relation fonctionnelle

Pour tous réels a et b et tout entier relatif n :

e⁰ = 1 et e¹ = e ;
e^a+b = e^a × e^b ;
e^−a = 1e^a ;
e^a−b = e^ae^b ;
(e^a)ⁿ = e^na.

Démonstration. On pose h(x) = e^x × e^−x. Alors h ′(x) = e^x e^−x − e^x e^−x = 0, donc h est constante, égale à h(0) = 1. Ainsi e^x × e^−x = 1 : l’exponentielle ne s’annule jamais et e^−x = 1/e^x.
Pour la somme, on fixe a et on pose g(x) = e^a+x × e^−x. Alors g ′(x) = e^a+x e^−x − e^a+x e^−x = 0, donc g(x) = g(0) = e^a. En multipliant par e^x : e^a+x = e^a e^x. ∎

Signe et comparaison

Pour tout réel x, e^x > 0. De plus : e^a = e^b ⇔ a = b et e^a < e^b ⇔ a < b.

Pourquoi e^x > 0 ? Elle ne s’annule jamais (voir plus haut), elle est continue et vaut 1 en 0 : si elle prenait une valeur négative, le théorème des valeurs intermédiaires lui imposerait de s’annuler. Contradiction.

Exemple : simplifier

A = e^2x+3×e^x−1e^4x = e^3x+2e^4x = e^3x+2−4x = e^2−x.

Pièges classiques

e^a+b n’est pas e^a + e^b ; e^−x n’est pas −e^x (il est toujours positif) ; e^2x = (e^x)² et non 2e^x.

2. Variations, courbe et tangente en 0

Comme exp ′ = exp et que e^x > 0, la dérivée est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e). La tangente en 0 a pour équation y = exp ′(0)(x − 0) + exp(0), soit y = x + 1.

De plus exp″ = exp > 0 : la fonction est convexe sur ℝ, donc sa courbe est située au-dessus de ses tangentes. En particulier, avec la tangente en 0 :

Inégalité fondamentale

Pour tout réel x, e^x ≥ x + 1, avec égalité si et seulement si x = 0.

Astuce

Cette inégalité sert très souvent à minorer une expression et à obtenir des limites (partie 5). Retiens-la !

3. Équations, inéquations et lien avec le logarithme

Sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est la fonction réciproque de exp. Cela donne deux formules à connaître par cœur :

Exponentielle et logarithme

Pour tout réel x : ln(e^x) = x.
Pour tout réel x > 0 : e^{ln x} = x.
Pour a > 0 : e^x = a ⇔ x = ln a. Pour a ≤ 0, l’équation e^x = a n’a aucune solution.

Les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x (la première bissectrice).

Méthode : résoudre une équation ou une inéquation

Isoler l’exponentielle (ou ramener chaque membre à une exponentielle).
Utiliser l’équivalence e^a = e^b ⇔ a = b (ou le logarithme si un membre est un nombre).
Pour une inéquation, on peut « passer à l’exponentielle » ou « au logarithme » sans changer le sens car exp et ln sont croissantes.
Si l’équation est de la forme e^2x + be^x + c = 0, poser X = e^x (avec X > 0), résoudre en X, puis revenir à x.

Exemples

(1) e^2x−1 = 6 ⇔ 2x − 1 = ln 6 ⇔ x = 1+ln 62 ≈ 1,40.

(2) e^x ≥ 4 ⇔ x ≥ ln 4 ; l’ensemble des solutions est [ln 4 ; +∞[.

(3) e^2x − 5e^x + 6 = 0. Avec X = e^x : X² − 5X + 6 = 0, soit (X − 2)(X − 3) = 0, donc X = 2 ou X = 3. Ces deux valeurs sont strictement positives, donc x = ln 2 ou x = ln 3.

4. Dérivée de e^u et primitives

Dérivée de e^u

Si u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u est dérivable sur I et (e^u) ′ = u ′ × e^u.

Démonstration. C’est la dérivée d’une composée : si f(x) = exp(u(x)), alors f ′(x) = u ′(x) × exp ′(u(x)) = u ′(x) e^u(x). ∎

Exemples

f(x) = e^−3x+2 : f ′(x) = −3e^−3x+2.
g(x) = e^x² : g ′(x) = 2x e^x².
h(x) = (3x + 1)e^−2x (produit) : h ′(x) = 3e^−2x + (3x + 1) × (−2)e^−2x = (1 − 6x)e^−2x.

Cas particulier à retenir : (e^kx) ′ = k e^kx. Autre conséquence : e^u a les mêmes variations que u, puisque la dérivée u ′ e^u a le signe de u ′.

Primitives

Une primitive de u ′ e^u est e^u. En particulier, pour k ≠ 0, une primitive de e^kx+b est 1k e^kx+b.

Exemple

Une primitive de x ↦ 6x e^x² est x ↦ 3e^x², car (3e^x²) ′ = 3 × 2x e^x². Une primitive de e^2x+1 est 12 e^2x+1.

5. Limites et croissances comparées

Limites de base

lim_x→+∞ e^x = +∞ et lim_x→−∞ e^x = 0. La courbe de exp admet donc l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en −∞.

Démonstration. Pour tout x, e^x ≥ x + 1 et lim (x + 1) = +∞ en +∞, donc e^x → +∞ (théorème de comparaison). En −∞, on écrit e^x = 1/e^−x : quand x → −∞, −x → +∞, donc e^−x → +∞ et son inverse tend vers 0. ∎

Croissances comparées

Pour tout entier naturel n non nul :

lim_x→+∞ e^xxⁿ = +∞, ce qui équivaut à lim_x→+∞ xⁿ e^−x = 0 ;
lim_x→−∞ xⁿ e^x = 0.

On retient : « en +∞, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x ».

Démonstration pour n = 1. Posons g(x) = e^x − x²2 sur [0 ; +∞[. Alors g ′(x) = e^x − x ≥ 1 > 0 d’après l’inégalité e^x ≥ x + 1. Donc g est croissante et g(x) ≥ g(0) = 1 > 0, soit e^x ≥ x²2. On en déduit, pour x > 0, e^xx ≥ x2 → +∞. ∎

Autre limite à connaître

lim_x→0 e^x−1x = 1. En effet, c’est le nombre dérivé de exp en 0 : exp ′(0) = e⁰ = 1.

Méthode : lever une forme indéterminée

Repérer la forme indéterminée (∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞).
Factoriser par le terme dominant (en +∞ : e^x) ou reconnaître un produit xⁿe^±x.
Appliquer les croissances comparées, puis les opérations sur les limites.

Exemples

(1) lim_x→+∞ (e^x − x) : on factorise, e^x − x = e^x(1 − xe^x). Comme xe^x → 0, le facteur entre parenthèses tend vers 1, donc la limite est +∞.

(2) lim_x→+∞ (x² + 1)e^−x = lim (x² e^−x + e^−x) = 0 + 0 = 0.

(3) lim_x→−∞ e^3x = 0, car 3x → −∞ (limite d’une composée).

(4) lim_x→0 e^2x−1x = 2 × e^2x−12x → 2 × 1 = 2.

6. Étudier une fonction contenant une exponentielle

Méthode : plan d’étude

Ensemble de définition, éventuelles limites aux bornes (donc asymptotes).
Dérivée : produit, quotient ou e^u. Factoriser par e^u, qui est toujours strictement positif : le signe de f ′ est alors celui du facteur restant.
Tableau de variations avec les valeurs aux extremums.
Tangente, convexité, équation f(x) = k, tracé de la courbe.

Exemple complet : f(x) = (x + 2)e^−x sur ℝ

Limites. En +∞ : f(x) = x e^−x + 2e^−x → 0 + 0 = 0 (croissances comparées). En −∞ : x + 2 → −∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → −∞. La droite y = 0 est asymptote horizontale en +∞.

Dérivée. f ′(x) = e^−x + (x + 2) × (−e^−x) = (−x − 1)e^−x. Comme e^−x > 0, f ′(x) a le signe de −x − 1 : positive si x < −1, négative si x > −1.

x	−∞	−1	+∞
f ′(x)		+ 0 −
Variations de f	−∞	↗ e ↘	0

Le maximum vaut f(−1) = (−1 + 2)e¹ = e ≈ 2,72. La courbe coupe l’axe des abscisses en x = −2 (seul zéro, car e^−x ne s’annule pas) et l’axe des ordonnées en 2.

7. Dérivée seconde et convexité

Rappel

Si f ″ ≥ 0 sur un intervalle, f est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes) ; si f ″ ≤ 0, elle est concave. Un point où f ″ s’annule en changeant de signe est un point d’inflexion.

Suite de l’exemple précédent

On dérive f ′(x) = (−x − 1)e^−x : f ″(x) = −e^−x + (−x − 1)(−e^−x) = x e^−x. Son signe est celui de x : f est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[. Le point (0 ; 2) est un point d’inflexion, comme on le voit sur la courbe.

Attention

Avec les exponentielles, ne développe pas inutilement : garde la forme factorisée de f ′ et de f ″, c’est elle qui donne le signe.

8. Équations différentielles et modélisation

Équation y ′ = ay

Soit a un réel. Les fonctions dérivables sur ℝ telles que y ′ = ay sont les fonctions x ↦ Ce^ax avec C réel. Pour une condition initiale y(0) = y₀, il y a une seule solution : y(x) = y₀ e^ax.

Démonstration. Soit y une solution et z(x) = y(x) e^−ax. Alors z ′ = y ′ e^−ax − ay e^−ax = (y ′ − ay)e^−ax = 0, donc z est constante, égale à un réel C, et y = Ce^ax. Réciproquement ces fonctions conviennent. ∎

Équation y ′ = ay + b (a ≠ 0)

Les solutions sont x ↦ Ce^ax − ba. La constante −ba est la solution « d’équilibre » (constante).

Exemple

y ′ = 3y − 6 avec y(0) = 5. Ici a = 3 et b = −6, donc −ba = 2 et y(x) = Ce^3x + 2. La condition y(0) = 5 donne C + 2 = 5, soit C = 3. Solution : y(x) = 3e^3x + 2.

Modèles usuels.

Décroissance radioactive : le nombre de noyaux vérifie N ′ = −λN (λ > 0), donc N(t) = N₀ e^−λt. La demi-vie est le temps t_½ tel que N(t_½) = N₀2 : e^−λt = 12 ⇔ t_½ = ln 2λ.
Refroidissement (loi de Newton) : la température d’un objet dans une pièce à la température T_e vérifie T ′ = −k(T − T_e), donc T(t) = T_e + (T₀ − T_e) e^−kt.
Croissance exponentielle (a > 0) : population de bactéries, capital à intérêts composés en temps continu.

Exemple : demi-vie

Un échantillon a pour demi-vie 8 jours. Alors λ = ln 28 ≈ 0,0866 jour⁻¹. Après 24 jours, il reste e^−24λ = e^{−3 ln 2} = (e^{ln 2})⁻³ = 2⁻³ = 18 de la quantité initiale, ce qui est cohérent : 24 jours = 3 demi-vies.

À retenir

exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ avec f ′ = f et f(0) = 1 ; e^x > 0 pour tout x.
e^a+b = e^ae^b, e^−a = 1/e^a, (e^a)ⁿ = e^na.
exp est strictement croissante et convexe ; e^x ≥ x + 1 ; tangente en 0 : y = x + 1.
e^x = a ⇔ x = ln a (a > 0) ; ln(e^x) = x ; e^{ln x} = x.
(e^u) ′ = u ′ e^u ; une primitive de u ′ e^u est e^u.
lim_+∞ e^x = +∞ ; lim_−∞ e^x = 0 ; croissances comparées : e^x/xⁿ → +∞ en +∞ et xⁿe^x → 0 en −∞.
Pour étudier une fonction : factoriser par e^u (toujours > 0) pour trouver le signe de la dérivée.
y ′ = ay ⇔ y = Ce^ax ; y ′ = ay + b ⇔ y = Ce^ax − b/a ; demi-vie = ln 2/λ.