Fonction exponentielle et croissances comparées : exercices de maths Terminale

1 Simplifier des écritures ★★★

Écris chaque expression sous la forme e^k ou e^{expression en x} :

1. A = e³ × e⁻⁵
2. B = (e²)³e⁴
3. C = e^x+1×e^2xe^x
4. D = (e^−x)² × e^3x

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. Pour tous réels a et b, e^a+b = e^a + e^b.
2. L’équation e^x = −2 admet une solution.
3. Pour tout réel x, (e^x)² = e^2x.
4. La fonction exponentielle est décroissante sur ]−∞ ; 0].
5. e⁰ = 0.

3 Équations élémentaires ★★★

Résous dans ℝ :

1. e^x = 5
2. e^2x = 1
3. e^x−3 = e^2x+1
4. e^x = −2

4 Inéquations élémentaires ★★★

Résous dans ℝ :

1. e^x > 1
2. e^3x−1 ≤ e
3. e^−x < e²

5 Premières dérivées ★★★

Dérive les fonctions suivantes sur ℝ :

1. f(x) = e^3x
2. g(x) = e^−x/2
3. h(x) = e^x²+1
4. k(x) = 5e^2x+1 − x

6 Limites simples ★★★

Détermine les limites suivantes (justifie en une ligne) :

1. lim_x→+∞ e^−x
2. lim_x→−∞ (3 − e^x)
3. lim_x→+∞ (e^−x + x)
4. lim_x→−∞ e^−x

7 Exponentielle et logarithme ★★★

Calcule sans calculatrice : A = ln(e⁵) ; B = e^{ln 7} ; C = e^{2 ln 3} ; D = ln(1e³) ; E = e^{−ln 2}.

8 Un tableau de signes ★★★

Étudie le signe de g(x) = (2 − x) e^x sur ℝ, puis résous g(x) > 0.

9 Produits et quotients ★★★

Dérive et factorise :

1. f(x) = (x² − x) e^x
2. g(x) = e^xe^x+1
3. h(x) = (3x + 1) e^−2x

10 Changement de variable ★★★

Résous dans ℝ : (e^x)² − 3e^x + 2 = 0.

11 Inéquation du second degré en e^x ★★★

Résous dans ℝ : e^2x − e^x − 6 > 0.

12 Limites avec croissances comparées ★★★

Calcule :

1. lim_x→+∞ x² e^−x
2. lim_x→−∞ x e^x
3. lim_x→+∞ (x − e^x)
4. lim_x→0 e^2x−1x

13 Une inégalité par l’étude de fonction ★★★

Soit f(x) = e^x − 2x sur ℝ.

1. Calcule f ′(x) et étudie son signe.
2. Dresse le tableau de variations et calcule le minimum.
3. En déduire que pour tout x, e^x > 2x.

14 Tangentes ★★★

Soit f(x) = x e^x. Détermine l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0, puis au point d’abscisse 1.

15 Étude de x ↦ e^x / x ★★★

Soit f(x) = e^xx sur ]0 ; +∞[.

1. Calcule les limites de f en 0 et en +∞.
2. Montre que f ′(x) = e^x(x−1)x² puis dresse le tableau de variations.
3. En déduire que e^x ≥ ex pour tout x > 0.

16 Primitives ★★★

Donne une primitive de chaque fonction sur ℝ :

1. f₁(x) = e^2x+1
2. f₂(x) = e^−x+3
3. f₃(x) = 4x e^x²
4. f₄(x) = (2x + 3) e^x²+3x

17 Suite géométrique et exponentielle ★★★

On pose u_n = 2e^−0,5n pour tout entier n ≥ 0.

1. Montre que (u_n) est géométrique. Donne sa raison et son premier terme.
2. Quelle est sa limite ?
3. Détermine le plus petit entier n tel que u_n < 0,01.

18 Problème : étude complète ★★★

Soit f(x) = (3 − x) e^x sur ℝ.

1. Calcule les limites de f en −∞ et en +∞.
2. Montre que f ′(x) = (2 − x)e^x et dresse le tableau de variations.
3. Détermine la tangente T en 0.
4. Calcule f ″ et étudie la convexité ; donne le point d’inflexion.
5. Résous f(x) = 0 et trace l’allure de la courbe.

19 Fonction avec paramètre ★★★

Pour a > 0, on pose f_a(x) = e^x − ax sur ℝ.

1. Étudie les variations de f_a et montre que son minimum est a − a ln a.
2. Pour quelles valeurs de a > 0 a-t-on e^x ≥ ax pour tout réel x ?
3. Retrouve ainsi le résultat de l’exercice sur e^x ≥ ex.

20 Fonction logistique ★★★

Soit f(x) = 11+e^−x sur ℝ.

1. Calcule f(0) et les limites en −∞ et +∞. Quelles asymptotes ?
2. Montre que f ′(x) = e^−x(1+e^−x)² et dresse le tableau de variations.
3. Montre que f(−x) = 1 − f(x). Que peut-on dire de la courbe ?

21 Décroissance radioactive ★★★

Un échantillon contient 500 mg d’un isotope dont la demi-vie est de 5 jours. La masse restante au bout de t jours est m(t) = 500 e^−λt.

1. Détermine λ (valeur exacte puis arrondie à 10⁻³).
2. Quelle fraction de la masse initiale reste-t-il après 12 jours ?
3. Au bout de combien de jours la masse est-elle égale à 10 % de la masse initiale ?

22 Équations différentielles ★★★

Résous :

1. y ′ = −0,5 y avec y(0) = 8. Calcule y(4).
2. y ′ = 2y + 3 avec y(0) = 1.

23 Refroidissement d’un thé ★★★

Un thé à 90 °C est servi dans une pièce à 20 °C. Sa température (en °C) à l’instant t (en minutes) vérifie T ′ = −0,2(T − 20).

1. Montre que T(t) = 20 + 70e^−0,2t.
2. À partir de quand le thé est-il à 40 °C ou moins ?
3. Quelle est la limite de T en +∞ ? Interprète.

24 Seuil avec un programme ★★★

On cherche le plus petit entier n tel que n e⁻ⁿ < 0,001.

1. Complète ce programme Python :

   from math import exp
   n = 1
   while ...... :
       n = n + 1
   print(n)

2. Quelle valeur affiche-t-il ? Justifie par deux calculs.
3. Justifie que cet entier existe (limite).

25 Croissances comparées : preuve ★★★

Soit g(x) = e^x − x³6 sur [0 ; +∞[.

1. Montre que e^x ≥ x²2 pour x ≥ 0 (résultat du cours) puis étudie les variations de g.
2. En déduire e^x ≥ x³6 sur [0 ; +∞[.
3. Déduis-en lim_x→+∞ e^xx².