Fonction exponentielle et croissances comparées : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Simplifier des écritures ★★★

1. A = e³⁺⁽⁻⁵⁾ = e⁻².
2. (e²)³ = e⁶, puis B = e⁶⁻⁴ = e².
3. Au numérateur : e^x+1+2x = e^3x+1. Puis C = e^3x+1−x = e^2x+1.
4. (e^−x)² = e^−2x, donc D = e^−2x+3x = e^x.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. e^a+b = e^a × e^b. Contre-exemple : a = b = 0 donne e⁰ = 1 mais e⁰ + e⁰ = 2.
2. Faux. e^x > 0 pour tout x, donc e^x ne peut pas valoir −2.
3. Vrai. (e^x)² = e^x × e^x = e^x+x = e^2x.
4. Faux. Sa dérivée est exp, strictement positive : elle est strictement croissante sur ℝ.
5. Faux. e⁰ = 1.

3 Équations élémentaires ★★★

1. 5 > 0 donc x = ln 5 (≈ 1,61).
2. e^2x = e⁰ ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0.
3. e^x−3 = e^2x+1 ⇔ x − 3 = 2x + 1 ⇔ x = −4.
4. Aucune solution : une exponentielle est strictement positive. S = ∅.

4 Inéquations élémentaires ★★★

1. e^x > e⁰ ⇔ x > 0. S = ]0 ; +∞[.
2. e = e¹. e^3x−1 ≤ e¹ ⇔ 3x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 23. S = ]−∞ ; 23].
3. e^−x < e² ⇔ −x < 2 ⇔ x > −2. S = ]−2 ; +∞[.

5 Premières dérivées ★★★

On utilise (e^u) ′ = u ′ e^u.

1. f ′(x) = 3e^3x.
2. u(x) = −x2, u ′ = −12 : g ′(x) = −12 e^−x/2.
3. u = x² + 1, u ′ = 2x : h ′(x) = 2x e^x²+1.
4. k ′(x) = 5 × 2 e^2x+1 − 1 = 10e^2x+1 − 1.

6 Limites simples ★★★

1. Quand x → +∞, −x → −∞, et e^−x → 0.
2. e^x → 0 en −∞, donc 3 − e^x → 3.
3. e^−x → 0 et x → +∞, donc la somme tend vers +∞.
4. −x → +∞ donc e^−x → +∞.

7 Exponentielle et logarithme ★★★

A = 5. B = 7. C = e^{ln 3 × 2} = (e^{ln 3})² = 3² = 9. D = ln(e⁻³) = −3. E = e^{−ln 2} = 1e^{ln 2} = 12.

8 Un tableau de signes ★★★

Pour tout x, e^x > 0 : le signe de g(x) est celui de 2 − x.

2 − x > 0 ⇔ x < 2. Donc g(x) > 0 sur ]−∞ ; 2[, g(2) = 0 et g(x) < 0 sur ]2 ; +∞[. L’ensemble des solutions de g(x) > 0 est ]−∞ ; 2[.

9 Produits et quotients ★★★

1. Produit uv avec u = x² − x, v = e^x : f ′(x) = (2x − 1)e^x + (x² − x)e^x = (x² + x − 1)e^x.
2. Quotient uv avec u = e^x, v = e^x + 1 : g ′(x) = e^x(e^x+1) − e^x×e^x(e^x+1)² = e^x(e^x+1)².
3. h ′(x) = 3e^−2x + (3x + 1)(−2)e^−2x = (3 − 6x − 2)e^−2x = (1 − 6x)e^−2x.

10 Changement de variable ★★★

On pose X = e^x (X > 0). L’équation devient X² − 3X + 2 = 0, de discriminant Δ = 9 − 8 = 1. Les racines sont X = 3−12 = 1 et X = 3+12 = 2, toutes deux strictement positives.

e^x = 1 ⇔ x = 0 ; e^x = 2 ⇔ x = ln 2. S = {0 ; ln 2}.

11 Inéquation du second degré en e^x ★★★

Avec X = e^x > 0 : X² − X − 6 = (X − 3)(X + 2) (vérification : X² + 2X − 3X − 6).

Comme X + 2 > 0, l’inéquation équivaut à X − 3 > 0, soit e^x > 3 ⇔ x > ln 3. S = ]ln 3 ; +∞[.

12 Limites avec croissances comparées ★★★

1. x² e^−x = x²e^x → 0 (croissances comparées).
2. Croissances comparées en −∞ : x e^x → 0.
3. Forme indéterminée +∞ − ∞. On factorise : x − e^x = e^x(xe^x − 1). Or xe^x → 0, donc la parenthèse tend vers −1 et e^x → +∞ : limite −∞.
4. e^2x−1x = 2 × e^2x−12x. En posant h = 2x → 0, e^h−1h → 1. Limite : 2.

13 Une inégalité par l’étude de fonction ★★★

1. f ′(x) = e^x − 2. e^x − 2 > 0 ⇔ e^x > 2 ⇔ x > ln 2. Donc f ′ < 0 sur ]−∞ ; ln 2[ et f ′ > 0 sur ]ln 2 ; +∞[.
2. f décroît sur ]−∞ ; ln 2], croît sur [ln 2 ; +∞[. Minimum : f(ln 2) = e^{ln 2} − 2 ln 2 = 2 − 2 ln 2 ≈ 0,61.
3. Comme ln 2 < 1, 2 − 2 ln 2 = 2(1 − ln 2) > 0. Le minimum de f est strictement positif, donc f(x) > 0, soit e^x > 2x pour tout réel x.

14 Tangentes ★★★

f ′(x) = e^x + x e^x = (x + 1)e^x.

En 0 : f(0) = 0 et f ′(0) = 1. Tangente : y = 1 × (x − 0) + 0, soit y = x.

En 1 : f(1) = e et f ′(1) = 2e. Tangente : y = 2e(x − 1) + e = 2ex − e.

15 Étude de x ↦ e^x / x ★★★

1. En 0⁺ : e^x → 1 et x → 0⁺, donc f(x) → +∞. En +∞ : croissances comparées, f(x) → +∞.
2. Quotient : f ′(x) = e^x×x − e^x×1x² = e^x(x−1)x². Le facteur e^x/x² est positif : f ′ a le signe de x − 1. f décroît sur ]0 ; 1], croît sur [1 ; +∞[, avec f(1) = e (minimum).
3. Pour x > 0, f(x) ≥ e, soit e^xx ≥ e, donc e^x ≥ ex.

16 Primitives ★★★

1. F₁(x) = 12 e^2x+1 (car u ′ = 2).
2. u ′ = −1 : F₂(x) = −e^−x+3.
3. (e^x²) ′ = 2x e^x², donc F₃(x) = 2e^x² (dérivée : 2 × 2x e^x²).
4. u = x² + 3x, u ′ = 2x + 3 : F₄(x) = e^x²+3x.

17 Suite géométrique et exponentielle ★★★

1. u_n+1 = 2e^{−0,5n−0,5} = 2e^−0,5n × e^−0,5 = e^−0,5 × u_n. Suite géométrique de raison q = e^−0,5 ≈ 0,607 et de premier terme u₀ = 2.
2. 0 < q < 1 donc u_n → 0.
3. u_n < 0,01 ⇔ e^−0,5n < 0,005 ⇔ −0,5n < ln 0,005 ⇔ n > 2 ln 200 ≈ 10,6. Le plus petit entier est n = 11 (contrôle : u₁₀ ≈ 0,0135 et u₁₁ ≈ 0,0081).

18 Problème : étude complète ★★★

1. En −∞ : f(x) = 3e^x − x e^x → 0 − 0 = 0 (croissances comparées). En +∞ : 3 − x → −∞ et e^x → +∞, donc f(x) → −∞.
2. f ′(x) = −e^x + (3 − x)e^x = (2 − x)e^x. Signe de 2 − x : positif avant 2. f croît sur ]−∞ ; 2], décroît sur [2 ; +∞[ ; maximum f(2) = e² ≈ 7,39.

   x	−∞	2	+∞
   f ′(x)		+  0  −
   f	0	↗ e² ↘	−∞

3. f(0) = 3 et f ′(0) = 2. T : y = 2x + 3.
4. f ″(x) = −e^x + (2 − x)e^x = (1 − x)e^x. Convexe sur ]−∞ ; 1], concave sur [1 ; +∞[. Point d’inflexion : (1 ; 2e) ≈ (1 ; 5,44).
5. e^x ne s’annule pas : f(x) = 0 ⇔ x = 3. Voici la courbe (en bleu) et sa tangente en 0 (en orange).
   

19 Fonction avec paramètre ★★★

1. f_a ′(x) = e^x − a, qui s’annule en x = ln a, négative avant, positive après. Minimum : f_a(ln a) = e^{ln a} − a ln a = a − a ln a = a(1 − ln a).
2. L’inégalité équivaut à f_a(x) ≥ 0 pour tout x, donc à a(1 − ln a) ≥ 0. Comme a > 0 : 1 − ln a ≥ 0 ⇔ ln a ≤ 1 ⇔ a ≤ e. Réponse : 0 < a ≤ e.
3. Pour a = e (cas limite), e^x ≥ ex pour tout x, avec égalité en x = ln e = 1.

20 Fonction logistique ★★★

1. f(0) = 11+1 = 12. En +∞ : e^−x → 0 donc f(x) → 1. En −∞ : e^−x → +∞ donc f(x) → 0. Asymptotes horizontales : y = 0 (en −∞) et y = 1 (en +∞).
2. f = 1/v avec v = 1 + e^−x, v ′ = −e^−x, donc f ′ = −v′v² = e^−x(1+e^−x)² > 0. f est strictement croissante de 0 à 1.
3. f(−x) = 11+e^x. Or 1 − f(x) = e^−x1+e^−x = 1e^x+1 (on multiplie haut et bas par e^x). Égalité vérifiée. La courbe est symétrique par rapport au point (0 ; 12).
   

21 Décroissance radioactive ★★★

1. Demi-vie : e^−5λ = 12 ⇔ −5λ = −ln 2 ⇔ λ = ln 25 ≈ 0,139 jour⁻¹.
2. m(12)m(0) = e^{−12 λ} = e^{−2,4 ln 2} = 2^−2,4 ≈ 0,190. Il reste environ 19 % (≈ 95 mg).
3. e^−λt = 0,1 ⇔ λt = ln 10 ⇔ t = ln 10λ = 5 ln 10ln 2 ≈ 16,6. Au bout d’environ 16,6 jours (soit 16 jours et 15 heures).

22 Équations différentielles ★★★

1. y(x) = Ce^−0,5x et y(0) = C = 8. Donc y(x) = 8e^−0,5x et y(4) = 8e⁻² ≈ 1,08.
2. Ici a = 2 et b = 3 : les solutions sont Ce^2x − 32. y(0) = 1 donne C − 32 = 1, soit C = 52. Solution : y(x) = 52 e^2x − 32. Vérification : y ′ = 5e^2x et 2y + 3 = 5e^2x − 3 + 3 = 5e^2x. ✔

23 Refroidissement d’un thé ★★★

1. Posons y = T − 20 : y ′ = −0,2y avec y(0) = 70. Donc y(t) = 70e^−0,2t et T(t) = 20 + 70e^−0,2t.
2. T(t) ≤ 40 ⇔ 70e^−0,2t ≤ 20 ⇔ e^−0,2t ≤ 27 ⇔ −0,2t ≤ ln(27) ⇔ t ≥ 5 ln(72) ≈ 6,26. Soit environ 6 min 16 s.
3. e^−0,2t → 0 donc T(t) → 20 : le thé finit par atteindre la température de la pièce.

24 Seuil avec un programme ★★★

1. On continue tant que la condition n’est pas atteinte :

   from math import exp
   n = 1
   while n * exp(-n) >= 0.001:
       n = n + 1
   print(n)

2. Il affiche 10. En effet 9e⁻⁹ ≈ 0,00111 ≥ 0,001 (la boucle continue) et 10e⁻¹⁰ ≈ 0,000454 < 0,001 (la boucle s’arrête).
3. Par croissances comparées, ne⁻ⁿ → 0 : tôt ou tard le terme passe sous 0,001, donc la boucle se termine.

25 Croissances comparées : preuve ★★★

1. g ′(x) = e^x − x²2 ≥ 0 d’après le résultat admis du cours. Donc g est croissante sur [0 ; +∞[.
2. g(x) ≥ g(0) = 1 > 0, donc e^x > x³6 pour tout x ≥ 0.
3. Pour x > 0, e^xx² ≥ x6. Or x6 → +∞ donc, par comparaison, e^xx² → +∞.