Les suites servent à décrire des phénomènes qui évoluent pas à pas : un capital qui grandit chaque année, une population qui se renouvelle, un programme qui répète un calcul. En Terminale, tu ne te contentes plus de calculer les premiers termes : tu apprends à démontrer une propriété vraie pour tous les entiers, grâce au raisonnement par récurrence, puis à étudier le sens de variation et le comportement à l’infini d’une suite. Tu découvriras aussi comment un petit programme Python explore une suite.
1. Rappels : définir une suite
Il y a deux façons usuelles de définir une suite :
- Forme explicite : un = f(n). Exemple : un = 3n − 2. On calcule directement n’importe quel terme : u10 = 28.
- Relation de récurrence : on donne u0 et une règle qui fabrique un+1 à partir de un. Exemple : u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 3. Pour atteindre u50, il faut en principe calculer tous les termes précédents.
Le problème : comment prouver une formule comme « un = 6 − 5 × 0,5n » pour tous les entiers à la fois ? Vérifier cent valeurs ne prouve rien pour la cent-unième. Il faut un outil de démonstration : c’est la récurrence.
2. Le raisonnement par récurrence
Imagine une longue rangée de dominos. Si le premier tombe, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent. Le raisonnement par récurrence suit exactement cette idée.
- Initialisation : Pn₀ est vraie ;
- Hérédité : pour tout entier n ≥ n₀, si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie,
alors Pn est vraie pour tout entier n ≥ n₀.
- Énoncer clairement la propriété Pn à démontrer (c’est une phrase complète, avec « = », « ≤ »…).
- Initialisation : vérifier P au premier rang (en général n = 0) en calculant les deux côtés.
- Hérédité : fixer un entier n quelconque, supposer Pn vraie (c’est l’hypothèse de récurrence), puis en déduire Pn+1 en utilisant la définition de la suite et l’hypothèse.
- Conclusion : « D’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout entier n ≥ … ».
Propriété Pn : « un = 2 × 3n − 1 ».
Initialisation : 2 × 30 − 1 = 2 − 1 = 1 = u0. Donc P0 est vraie.
Hérédité : soit n un entier tel que Pn est vraie : un = 2 × 3n − 1. Alors un+1 = 3un + 2 = 3(2 × 3n − 1) + 2 = 2 × 3n+1 − 3 + 2 = 2 × 3n+1 − 1. Donc Pn+1 est vraie.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, un = 2 × 3n − 1 pour tout entier n. (Contrôle : u1 = 5 et 2 × 3 − 1 = 5 ; u2 = 17 et 2 × 9 − 1 = 17.)
- Oublier l’initialisation : « Pn ⇒ Pn+1 » seule ne prouve rien. La propriété « 2n est négatif » est héréditaire… mais fausse dès le début !
- Écrire l’hérédité en supposant ce qu’on veut démontrer : on suppose Pn (rang n), jamais Pn+1.
- Ne pas utiliser l’hypothèse de récurrence : si ta preuve de l’hérédité ne s’en sert pas, c’est qu’une récurrence est inutile ou que tu t’es trompé.
3. Récurrence : trois grands usages
a) Prouver une formule explicite. C’est l’exemple précédent. Cela marche aussi pour des sommes.
Démonstration. Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et 1×22 = 1. Hérédité : si 1 + … + n = n(n+1)2, alors 1 + … + n + (n + 1) = n(n+1)2 + (n + 1) = (n + 1)(n2 + 1) = (n+1)(n+2)2, ce qui est la formule au rang n + 1.
b) Prouver une inégalité ou un encadrement. On montre par exemple que tous les termes restent sous une valeur donnée.
Initialisation : u0 = 1 ≤ 6.
Hérédité : supposons un ≤ 6. En multipliant par 0,5 > 0 : 0,5un ≤ 3, puis en ajoutant 3 : un+1 ≤ 6.
Conclusion : un ≤ 6 pour tout entier n.
c) Prouver une divisibilité. Montrons que 4n − 1 est un multiple de 3 pour tout entier n. Pour n = 0 : 40 − 1 = 0 = 3 × 0. Si 4n − 1 = 3k avec k entier, alors 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 = 4(3k + 1) − 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1), multiple de 3. La propriété est donc vraie pour tout n.
Démonstration. Initialisation : (1 + a)0 = 1 ≥ 1 + 0. Hérédité : supposons (1 + a)n ≥ 1 + n a. Comme 1 + a > 0, (1 + a)n+1 ≥ (1 + n a)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + n a² ≥ 1 + (n + 1)a, car n a² ≥ 0. D’où la propriété au rang n + 1.
4. Sens de variation d’une suite
- Signe de la différence un+1 − un (la plus courante).
- Comparaison à 1 du quotient un+1 ÷ un, seulement si tous les termes sont strictement positifs : quotient ≥ 1 ⇒ croissante, quotient ≤ 1 ⇒ décroissante.
- Fonction : si un = f(n) et si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors (un) est croissante (idem décroissante). Cela ne marche pas pour un+1 = f(un).
- Récurrence : on démontre « un+1 ≥ un » par récurrence, en particulier pour les suites définies par récurrence.
5. Suites majorées, minorées, bornées
Un majorant n’est pas unique : si 6 majore une suite, 7 et 100 aussi. Cela ne veut pas dire que la suite atteint 6 ni qu’elle s’en approche.
- Directement : on encadre l’expression de un (inégalités successives sur n ≥ 0).
- Par récurrence pour une suite définie par un+1 = f(un) : on montre que un ≤ M est héréditaire, comme dans l’exemple de la partie 3.
- Par la monotonie : une suite croissante est minorée par u0 ; une suite décroissante est majorée par u0.
6. Suites arithmétiques et géométriques : variations et comportement
Pour une suite arithmétique de raison r, on a un+1 − un = r : le signe de r donne tout de suite la variation. Pour une suite géométrique de premier terme u0 > 0 et de raison q > 0, le quotient un+1 ÷ un vaut q.
| Suite | Condition | Variation | Comportement quand n devient grand |
|---|---|---|---|
| Arithmétique | r > 0 | strictement croissante | tend vers +∞ |
| Arithmétique | r < 0 | strictement décroissante | tend vers −∞ |
| Arithmétique | r = 0 | constante | constante |
| Géométrique (u0 > 0) | q > 1 | strictement croissante | tend vers +∞ |
| Géométrique (u0 > 0) | q = 1 | constante | constante |
| Géométrique (u0 > 0) | 0 < q < 1 | strictement décroissante | tend vers 0 |
| Géométrique | −1 < q < 0 | ni croissante ni décroissante | tend vers 0 (signes alternés) |
| Géométrique | q ≤ −1 | ni croissante ni décroissante | pas de limite |
Si u0 < 0, les variations d’une suite géométrique de raison q > 0 sont inversées. Les comportements de qn se justifient grâce à l’inégalité de Bernoulli.
Démonstration. Posons a = q − 1 > 0. D’après Bernoulli, qn = (1 + a)n ≥ 1 + n a. Or 1 + n a > A dès que n > A−1a. Donc, à partir de ce rang, qn > A.
Si 0 < q < 1, alors 1q > 1, donc (1q)n devient immense, et son inverse qn se rapproche de 0 : qn → 0.
7. Suites monotones et convergence
Dire qu’une suite converge vers un réel ℓ signifie, intuitivement, que ses termes se rapprochent de ℓ autant qu’on le veut, à partir d’un certain rang. Dire qu’elle tend vers +∞ signifie qu’elle dépasse n’importe quel réel fixé à partir d’un certain rang. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
Démonstration. Soit A un réel. Comme la suite n’est pas majorée, A n’est pas un majorant : il existe un entier N tel que uN > A. Comme la suite est croissante, pour tout n ≥ N, un ≥ uN > A. Donc un > A à partir du rang N.
- Conjecturer avec les premiers termes (calculatrice, tableur ou Python).
- Démontrer par récurrence un encadrement (majoration, minoration).
- Étudier le sens de variation (différence un+1 − un).
- Conclure avec le théorème de convergence monotone.
- Si f est continue, la limite ℓ vérifie ℓ = f(ℓ) (résultat admis) : on résout cette équation et on garde la solution compatible avec l’encadrement.
Notre suite (u0 = 1, un+1 = 0,5un + 3) est croissante et majorée par 6 : elle converge. Elle vérifie ℓ = 0,5ℓ + 3, donc ℓ = 6. On retrouve bien le résultat de la partie 6.
8. Explorer une suite avec Python
Un programme permet de calculer un terme éloigné ou de chercher à partir de quel rang un seuil est franchi.
def terme(n):
u = 1
for k in range(n):
u = 0.5 * u + 3
return u
def seuil(S):
u = 1
n = 0
while u < S:
u = 0.5 * u + 3
n = n + 1
return n
La fonction terme(n) part de u0 = 1 et répète n fois l’instruction u = 0.5 * u + 3 ; elle renvoie un. La fonction seuil(S) utilise une boucle while : tant que un < S, on passe au terme suivant et on compte une étape. Elle renvoie le plus petit rang n tel que un ≥ S.
Par exemple, seuil(5.99) renvoie 9 : en effet u9 = 6 − 5 × 0,59 ≈ 5,9902 ≥ 5,99, alors que u8 = 6 − 5 × 0,58 ≈ 5,9805 < 5,99.
- Boucle infinie : seuil(6) ne se termine jamais, car un < 6 pour tout n. Un seuil doit être atteignable.
- Décalage d’un rang : vérifie la valeur de n renvoyée en testant deux termes consécutifs à la main.
- Un programme ne démontre rien : il donne une conjecture, qu’on prouve ensuite par le calcul.
À retenir
- Récurrence : initialisation + hérédité (on suppose Pn et on démontre Pn+1) + conclusion écrite.
- Pour étudier le sens de variation : signe de un+1 − un, quotient comparé à 1 (termes > 0), fonction croissante pour un = f(n), ou récurrence.
- Majorée : un ≤ M ; minorée : un ≥ m ; bornée : les deux. Une suite croissante est minorée par u0.
- Arithmétique de raison r : croissante si r > 0 (vers +∞), décroissante si r < 0 (vers −∞).
- Géométrique de raison q : qn → +∞ si q > 1 ; qn → 0 si −1 < q < 1 ; pas de limite si q ≤ −1.
- Inégalité de Bernoulli : (1 + a)n ≥ 1 + n a pour a ≥ 0.
- Théorème de la convergence monotone (admis) : croissante majorée ⇒ convergente ; décroissante minorée ⇒ convergente. Croissante non majorée ⇒ tend vers +∞.
- Pour un+1 = aun + b (a ≠ 1), poser ℓ = aℓ + b : la suite (un − ℓ) est géométrique de raison a.
- Python : for pour calculer un terme, while pour chercher un seuil ; attention aux boucles infinies.