Suites et raisonnement par récurrence : exercices de maths Terminale

1 Premiers termes ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 3 et u_n+1 = 2u_n − 5.

1. Calcule u₁, u₂, u₃ et u₄.
2. Que peux-tu conjecturer sur le sens de variation de la suite ? Peut-on l’affirmer avec ces seuls calculs ?

2 Ni croissante, ni décroissante ★★★

Soit u_n = n² − 6n + 2 pour tout entier n.

1. Calcule u₀, u₁, …, u₅.
2. Montre que u_n+1 − u_n = 2n − 5.
3. Étudie le signe de 2n − 5 pour n entier et conclus sur les variations de la suite.

3 Une suite arithmétique ★★★

Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u₀ = 7 et de raison −3.

1. Exprime u_n en fonction de n et calcule u₂₀.
2. Donne le sens de variation de (u_n) et sa limite.
3. Détermine le plus petit entier n tel que u_n < −100.

4 Une suite géométrique ★★★

Soit (v_n) la suite géométrique de premier terme v₀ = 5 et de raison 0,8.

1. Calcule v₁, v₂ et v₅.
2. Donne le sens de variation de (v_n) et sa limite en justifiant.
3. À l’aide de la calculatrice, détermine le plus petit rang n tel que v_n < 0,1.

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Toute suite croissante est minorée.
2. Toute suite majorée est décroissante.
3. La suite de terme général (−1)ⁿ est bornée.
4. Toute suite croissante tend vers +∞.

6 Encadrer une suite ★★★

Soit u_n = 2n+1n+1 pour tout entier n.

1. Montre que u_n = 2 − 1n+1.
2. En déduire que 1 ≤ u_n < 2 pour tout n.
3. Montre que la suite est croissante.

7 Une première récurrence ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = u_n + 3. Démontre par récurrence que u_n = 3n + 2 pour tout entier n.

8 Somme des entiers impairs ★★★

Démontre par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².

9 Divisibilité ★★★

Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, 6ⁿ − 1 est un multiple de 5.

10 Une suite avec racine carrée ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = √(u_n + 2).

1. Calcule u₁ et u₂ (valeurs approchées au millième).
2. Démontre par récurrence que 0 < u_n < 2 pour tout n.
3. Montre que u_n+1 − u_n = (2 − u_n)(1 + u_n) ÷ (√(u_n + 2) + u_n) et déduis le sens de variation.
4. Que peut-on dire de la convergence de la suite ? Quelle est sa limite éventuelle ?

11 Majorée, croissante, convergente ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 0 et u_n+1 = 0,6u_n + 2.

1. Calcule u₁, u₂, u₃, u₄.
2. Démontre par récurrence que u_n ≤ 5 pour tout n.
3. Montre que (u_n) est croissante.
4. En déduire que (u_n) converge et détermine sa limite ℓ.
5. Montre que (v_n) définie par v_n = u_n − 5 est géométrique, et exprime u_n en fonction de n.

12 Variation par le quotient ★★★

Soit u_n = 3ⁿ ÷ (n + 1) pour tout entier n.

1. Calcule u₀, u₁, u₂, u₃.
2. Justifie que u_n > 0 pour tout n, puis calcule le quotient u_n+1 ÷ u_n.
3. Compare ce quotient à 1 et conclus. Que peut-on dire d’un minorant de la suite ?

13 Chercher un seuil ★★★

Un capital de 1 000 € est placé à intérêts composés au taux de 5 % par an. On note v_n le capital (en €) après n années.

1. Justifie que (v_n) est géométrique et donne v_n en fonction de n.
2. Écris en Python une fonction annees() qui renvoie le nombre d’années nécessaires pour dépasser 1 500 €.
3. Quel nombre renvoie-t-elle ? Vérifie par le calcul de v₈ et v₉.

14 Une inégalité par récurrence ★★★

Démontre que, pour tout entier n ≥ 5, 2ⁿ > n².

15 Deviner puis prouver ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = u_n ÷ (1 + u_n).

1. Calcule u₁, u₂, u₃ et conjecture une expression de u_n.
2. Démontre cette conjecture par récurrence.
3. Étudie le sens de variation de (u_n), puis sa limite.

16 Suite arithmético-géométrique ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 5 et u_n+1 = 3u_n − 4.

1. Calcule u₁ et u₂.
2. Résous l’équation ℓ = 3ℓ − 4 et pose w_n = u_n − ℓ. Montre que (w_n) est géométrique.
3. Exprime w_n puis u_n en fonction de n. Vérifie avec u₂.
4. Étudie le sens de variation de (u_n) et sa limite.
5. Détermine le plus petit entier n tel que u_n > 10⁶.

17 Un abonnement ★★★

Une chaîne de cuisine compte 1 200 abonnés au 1er janvier 2026. Chaque année, 15 % des abonnés se désinscrivent, puis 300 nouveaux abonnés arrivent. On note u_n le nombre d’abonnés au 1er janvier de l’année 2026 + n.

1. Montre que u_n+1 = 0,85u_n + 300 et calcule u₁ et u₂.
2. Montre que v_n = u_n − 2 000 est géométrique, puis exprime u_n en fonction de n.
3. Étudie le sens de variation de (u_n). La suite est-elle majorée ? Interprète.
4. Détermine à partir de quelle année le nombre d’abonnés dépasse 1 900.

18 Une suite qui se rapproche de 1 ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 0,5 et u_n+1 = u_n(2 − u_n).

1. Calcule u₁ et u₂. Vérifie que u_n+1 = 1 − (1 − u_n)².
2. Démontre par récurrence que 0 < u_n < 1 pour tout n.
3. Montre que (u_n) est croissante.
4. Conclus sur la convergence et détermine la limite ℓ (on admet que ℓ = ℓ(2 − ℓ)).

19 Somme des carrés ★★★

Démontre par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1 : 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)6. Déduis-en la valeur de 1² + 2² + … + 20².

20 Que fait ce programme ? ★★★

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = 1,5u_n + 1, et le programme suivant :

def mystere(S):
    u = 1
    n = 0
    while u < S:
        u = 1.5 * u + 1
        n = n + 1
    return n

1. Quelle valeur renvoie mystere(20) ? Justifie avec un tableau des valeurs de u et n.
2. Que représente le nombre renvoyé par mystere(S) ?
3. Montre que u_n + 2 est géométrique et en déduire u_n. Pourquoi le programme se termine-t-il quelle que soit la valeur de S ?
4. Détermine par le calcul le plus petit n tel que u_n ≥ 100.

21 Une suite qui tend vers +∞ sans formule ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = u_n + 1 ÷ u_n.

1. Calcule u₁, u₂, u₃.
2. Démontre par récurrence que, pour tout n, u_n > 0.
3. Démontre que (u_n) est strictement croissante.
4. Démontre par récurrence que u_n² ≥ 2n + 1 pour tout n.
5. En déduire que (u_n) tend vers +∞.