Suites et raisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Premiers termes ★★★

1. u₁ = 2 × 3 − 5 = 1 ; u₂ = 2 × 1 − 5 = −3 ; u₃ = 2 × (−3) − 5 = −11 ; u₄ = 2 × (−11) − 5 = −27.
2. Les termes 3, 1, −3, −11, −27 diminuent : on conjecture que la suite est décroissante. Mais ce n’est qu’une conjecture : cinq termes ne prouvent rien sur tous les termes. Il faudra le démontrer (par exemple par récurrence).

2 Ni croissante, ni décroissante ★★★

1. u₀ = 2 ; u₁ = 1 − 6 + 2 = −3 ; u₂ = 4 − 12 + 2 = −6 ; u₃ = 9 − 18 + 2 = −7 ; u₄ = 16 − 24 + 2 = −6 ; u₅ = 25 − 30 + 2 = −3.
2. u_n+1 − u_n = [(n + 1)² − 6(n + 1) + 2] − [n² − 6n + 2] = n² + 2n + 1 − 6n − 6 + 2 − n² + 6n − 2 = 2n − 5.
3. 2n − 5 < 0 pour n ≤ 2 (car alors 2n ≤ 4) et 2n − 5 > 0 pour n ≥ 3 (car 2n ≥ 6). La suite décroît strictement de u₀ à u₃, puis croît strictement à partir de u₃. Elle n’est donc ni croissante ni décroissante ; son plus petit terme est u₃ = −7.

3 Une suite arithmétique ★★★

1. u_n = u₀ + n r = 7 − 3n ; u₂₀ = 7 − 60 = −53.
2. La raison −3 est négative : la suite est strictement décroissante et tend vers −∞.
3. 7 − 3n < −100 ⇔ 3n > 107 ⇔ n > 1073 ≈ 35,67. Le plus petit entier est n = 36 : u₃₆ = 7 − 108 = −101 < −100, alors que u₃₅ = 7 − 105 = −98.

4 Une suite géométrique ★★★

1. v₁ = 5 × 0,8 = 4 ; v₂ = 4 × 0,8 = 3,2 ; v₅ = 5 × 0,8⁵ = 5 × 0,32768 = 1,6384.
2. Ici v₀ > 0 et 0 < 0,8 < 1 : la suite est strictement décroissante, et comme 0,8ⁿ → 0, (v_n) tend vers 0.
3. On teste : v₁₇ = 5 × 0,8¹⁷ ≈ 0,1126 > 0,1 et v₁₈ = 5 × 0,8¹⁸ ≈ 0,0901 < 0,1. Comme la suite est décroissante, le plus petit rang est n = 18.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Si (u_n) est croissante, u_n ≥ u₀ pour tout n : u₀ est un minorant.
2. Faux. u_n = (−1)ⁿ est majorée par 1 mais n’est pas décroissante : u₀ = 1, u₁ = −1, u₂ = 1. Contre-exemple aussi : u_n = −1n+1, majorée par 0 et croissante.
3. Vrai. Pour tout n, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1 : la suite est minorée par −1 et majorée par 1.
4. Faux. u_n = 1 − 1n+1 est croissante (u_n+1 − u_n = 1(n+1)(n+2) > 0) mais reste inférieure à 1 : elle ne peut pas tendre vers +∞.

6 Encadrer une suite ★★★

1. 2 − 1n+1 = 2(n+1) − 1n+1 = 2n+1n+1 = u_n.
2. Pour tout n, n + 1 ≥ 1 donc 0 < 1n+1 ≤ 1. Donc 2 − 1 ≤ 2 − 1n+1 < 2, soit 1 ≤ u_n < 2. (u₀ = 1 est le minimum.)
3. u_n+1 − u_n = 1n+1 − 1n+2 = 1(n+1)(n+2) > 0. La suite est strictement croissante.

7 Une première récurrence ★★★

Initialisation : 3 × 0 + 2 = 2 = u₀, donc la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : soit n un entier tel que u_n = 3n + 2. Alors u_n+1 = u_n + 3 = 3n + 2 + 3 = 3(n + 1) + 2. La propriété est vraie au rang n + 1.

Conclusion : par récurrence, u_n = 3n + 2 pour tout entier n. (On reconnaît une suite arithmétique de raison 3.)

8 Somme des entiers impairs ★★★

Initialisation (n = 1) : le membre de gauche vaut 1 et 1² = 1. Vrai.

Hérédité : soit n ≥ 1 tel que 1 + 3 + … + (2n − 1) = n². Alors 1 + 3 + … + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1) = n² + (2n + 1) = (n + 1)². La propriété est vraie au rang n + 1.

Conclusion : elle est vraie pour tout n ≥ 1. (Vérification : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².)

9 Divisibilité ★★★

Initialisation : 6⁰ − 1 = 0 = 5 × 0, multiple de 5.

Hérédité : soit n tel que 6ⁿ − 1 = 5k avec k entier, c’est-à-dire 6ⁿ = 5k + 1. Alors 6ⁿ⁺¹ − 1 = 6 × 6ⁿ − 1 = 6(5k + 1) − 1 = 30k + 5 = 5(6k + 1), avec 6k + 1 entier. C’est un multiple de 5.

Conclusion : pour tout entier n, 6ⁿ − 1 est un multiple de 5. (6¹ − 1 = 5 ; 6² − 1 = 35 ; 6³ − 1 = 215.)

10 Une suite avec racine carrée ★★★

1. u₁ = √3 ≈ 1,732 ; u₂ = √(√3 + 2) ≈ 1,932.
2. Initialisation : 0 < u₀ = 1 < 2. Hérédité : supposons 0 < u_n < 2. Alors 2 < u_n + 2 < 4. La racine carrée étant croissante, √2 < u_n+1 < 2, donc 0 < u_n+1 < 2. Conclusion : 0 < u_n < 2 pour tout n.
3. On multiplie et divise par la quantité conjuguée : u_n+1 − u_n = √(u_n + 2) − u_n = (u_n + 2 − u_n²) ÷ (√(u_n + 2) + u_n). Le numérateur est 2 + u_n − u_n² = (2 − u_n)(1 + u_n) (on développe : 2 + 2u_n − u_n − u_n²). Comme 0 < u_n < 2, ce numérateur est > 0 ; le dénominateur aussi. Donc u_n+1 > u_n : la suite est strictement croissante.
4. La suite est croissante et majorée par 2 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ. Cette limite vérifie ℓ = √(ℓ + 2), donc ℓ² = ℓ + 2, soit (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0. Comme ℓ > 0, ℓ = 2.

11 Majorée, croissante, convergente ★★★

1. u₁ = 2 ; u₂ = 0,6 × 2 + 2 = 3,2 ; u₃ = 0,6 × 3,2 + 2 = 3,92 ; u₄ = 0,6 × 3,92 + 2 = 4,352.
2. Initialisation : u₀ = 0 ≤ 5. Hérédité : si u_n ≤ 5, alors 0,6u_n ≤ 3 (on multiplie par 0,6 > 0) et u_n+1 = 0,6u_n + 2 ≤ 5. Conclusion : u_n ≤ 5 pour tout n.
3. u_n+1 − u_n = 2 − 0,4u_n. Or u_n ≤ 5 donc 0,4u_n ≤ 2, d’où u_n+1 − u_n ≥ 0 : la suite est croissante.
4. Croissante et majorée par 5, (u_n) converge (théorème de convergence monotone). Sa limite vérifie ℓ = 0,6ℓ + 2, donc 0,4ℓ = 2 et ℓ = 5.
5. v_n+1 = u_n+1 − 5 = 0,6u_n − 3 = 0,6(u_n − 5) = 0,6v_n. Donc (v_n) est géométrique de raison 0,6 et v₀ = −5. Ainsi v_n = −5 × 0,6ⁿ et u_n = 5 − 5 × 0,6ⁿ. (Contrôle : u₁ = 5 − 3 = 2 ; u₂ = 5 − 1,8 = 3,2.) Comme 0,6ⁿ → 0, on retrouve ℓ = 5.

12 Variation par le quotient ★★★

1. u₀ = 1 ; u₁ = 3 ÷ 2 = 1,5 ; u₂ = 9 ÷ 3 = 3 ; u₃ = 27 ÷ 4 = 6,75.
2. 3ⁿ > 0 et n + 1 > 0, donc u_n > 0. Ensuite u_n+1 ÷ u_n = (3ⁿ⁺¹ ÷ (n + 2)) × ((n + 1) ÷ 3ⁿ) = 3(n+1)n+2.
3. 3(n+1)n+2 > 1 ⇔ 3n + 3 > n + 2 (car n + 2 > 0) ⇔ 2n > −1, ce qui est vrai pour tout entier n. Le quotient est > 1 et les termes sont positifs : u_n+1 > u_n. La suite est strictement croissante, donc minorée par son premier terme u₀ = 1.

13 Chercher un seuil ★★★

1. Chaque année, le capital est multiplié par 1,05 : v_n+1 = 1,05v_n, avec v₀ = 1 000. La suite est géométrique de raison 1,05 et v_n = 1 000 × 1,05ⁿ.
2. Programme possible :

   def annees():
       v = 1000
       n = 0
       while v <= 1500:
           v = 1.05 * v
           n = n + 1
       return n

3. La fonction renvoie 9. Vérification : v₈ = 1 000 × 1,05⁸ ≈ 1 477,46 € ≤ 1 500 et v₉ ≈ 1 551,33 € > 1 500. Le capital dépasse donc 1 500 € au bout de 9 ans (la suite étant croissante, il reste au-dessus ensuite).

14 Une inégalité par récurrence ★★★

Initialisation (n = 5) : 2⁵ = 32 et 5² = 25. Comme 32 > 25, la propriété est vraie.

Hérédité : soit n ≥ 5 tel que 2ⁿ > n². Alors 2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ > 2n². Montrons que 2n² ≥ (n + 1)² : 2n² − (n + 1)² = n² − 2n − 1 = (n − 1)² − 2 ≥ 16 − 2 > 0 car n − 1 ≥ 4. Donc 2ⁿ⁺¹ > 2n² ≥ (n + 1)².

Conclusion : 2ⁿ > n² pour tout n ≥ 5. (Attention : la propriété est fausse pour n = 3, car 8 < 9, et pour n = 4, car 16 = 16.)

15 Deviner puis prouver ★★★

1. u₁ = 1 ÷ (1 + 1) = 12 ; u₂ = 12 ÷ (1 + 12) = 12 ÷ 32 = 13 ; u₃ = 13 ÷ 43 = 14. On conjecture u_n = 1n+1.
2. Initialisation : 10+1 = 1 = u₀. Hérédité : supposons u_n = 1n+1. Alors u_n+1 = 1n+1 ÷ (1 + 1n+1). On multiplie numérateur et dénominateur par n + 1 : u_n+1 = 1 ÷ (n + 1 + 1) = 1n+2. C’est la formule au rang n + 1. Conclusion : u_n = 1n+1 pour tout n.
3. u_n+1 − u_n = 1n+2 − 1n+1 = −1(n+1)(n+2) < 0 : la suite est strictement décroissante. Elle est minorée par 0 (termes positifs) donc converge ; comme 1n+1 devient aussi petit qu’on veut, sa limite est 0.

16 Suite arithmético-géométrique ★★★

1. u₁ = 15 − 4 = 11 ; u₂ = 33 − 4 = 29.
2. ℓ = 3ℓ − 4 ⇔ 2ℓ = 4 ⇔ ℓ = 2. Posons w_n = u_n − 2. Alors w_n+1 = 3u_n − 4 − 2 = 3u_n − 6 = 3(u_n − 2) = 3w_n. La suite (w_n) est géométrique de raison 3, de premier terme w₀ = 5 − 2 = 3.
3. w_n = 3 × 3ⁿ = 3ⁿ⁺¹, donc u_n = 2 + 3ⁿ⁺¹. Vérification : u₂ = 2 + 3³ = 29 ✓.
4. u_n+1 − u_n = 3ⁿ⁺² − 3ⁿ⁺¹ = 2 × 3ⁿ⁺¹ > 0 : strictement croissante. Comme 3 > 1, 3ⁿ⁺¹ → +∞ (Bernoulli), donc (u_n) tend vers +∞.
5. u_n > 10⁶ ⇔ 3ⁿ⁺¹ > 999 998. Or 3¹² = 531 441 et 3¹³ = 1 594 323. Il faut donc n + 1 ≥ 13, soit n = 12. Contrôle : u₁₁ = 531 443 < 10⁶ et u₁₂ = 1 594 325 > 10⁶.

17 Un abonnement ★★★

1. Après désinscriptions, il reste 85 % des abonnés : 0,85u_n, puis on ajoute 300 : u_n+1 = 0,85u_n + 300. u₁ = 0,85 × 1 200 + 300 = 1 320 ; u₂ = 0,85 × 1 320 + 300 = 1 422.
2. v_n+1 = u_n+1 − 2 000 = 0,85u_n − 1 700 = 0,85(u_n − 2 000) = 0,85v_n. (v_n) est géométrique de raison 0,85, v₀ = −800. Donc v_n = −800 × 0,85ⁿ et u_n = 2 000 − 800 × 0,85ⁿ. (Contrôle : u₁ = 2 000 − 680 = 1 320 ✓.)
3. u_n+1 − u_n = −800 × 0,85ⁿ × (0,85 − 1) = 120 × 0,85ⁿ > 0 : la suite est strictement croissante. Pour tout n, 800 × 0,85ⁿ > 0, donc u_n < 2 000 : elle est majorée par 2 000. Comme 0,85ⁿ → 0, u_n → 2 000 : le nombre d’abonnés se stabilise vers 2 000 sans jamais l’atteindre.
4. u_n > 1 900 ⇔ 800 × 0,85ⁿ < 100 ⇔ 0,85ⁿ < 0,125. À la calculatrice : u₁₂ ≈ 1 886,2 < 1 900 et u₁₃ ≈ 1 903,3 > 1 900. La suite étant croissante, c’est vrai dès n = 13, c’est-à-dire au 1er janvier 2039.

18 Une suite qui se rapproche de 1 ★★★

1. u₁ = 0,5 × 1,5 = 0,75 ; u₂ = 0,75 × 1,25 = 0,9375. Et 1 − (1 − u_n)² = 1 − 1 + 2u_n − u_n² = u_n(2 − u_n) ✓.
2. Initialisation : 0 < 0,5 < 1. Hérédité : supposons 0 < u_n < 1. Alors 0 < 1 − u_n < 1, donc 0 < (1 − u_n)² < 1 (le carré conserve l’ordre sur les positifs), puis 0 < 1 − (1 − u_n)² < 1. C’est 0 < u_n+1 < 1. Conclusion : vrai pour tout n.
3. u_n+1 − u_n = u_n(2 − u_n) − u_n = u_n(1 − u_n) > 0 car 0 < u_n < 1. La suite est strictement croissante.
4. Croissante et majorée par 1 : elle converge vers ℓ. De ℓ = ℓ(2 − ℓ), on tire ℓ(1 − ℓ) = 0, donc ℓ = 0 ou ℓ = 1. Or u_n ≥ u₀ = 0,5 pour tout n (croissance), donc ℓ ≥ 0,5 : ℓ = 1.

19 Somme des carrés ★★★

Initialisation (n = 1) : 1² = 1 et 1×2×36 = 1.

Hérédité : supposons 1² + … + n² = n(n+1)(2n+1)6. Alors la somme jusqu’à n + 1 vaut n(n+1)(2n+1)6 + (n + 1)² = (n + 1) × n(2n+1) + 6(n+1)6 = (n + 1) × 2n² + 7n + 66. Comme 2n² + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3), on obtient (n+1)(n+2)(2n+3)6, qui est la formule au rang n + 1 (car 2(n + 1) + 1 = 2n + 3).

Conclusion : la formule est vraie pour tout n ≥ 1.

Pour n = 20 : 20 × 21 × 416 = 172206 = 2 870.

20 Que fait ce programme ? ★★★

1. Tableau (valeurs de u et n à chaque tour) : n = 0 : 1 ; n = 1 : 2,5 ; n = 2 : 4,75 ; n = 3 : 8,125 ; n = 4 : 13,1875 ; n = 5 : 20,78125. À n = 5, u = 20,78 ≥ 20 : la condition « u < 20 » devient fausse, la boucle s’arrête. mystere(20) renvoie 5.
2. Le nombre renvoyé est le plus petit rang n tel que u_n ≥ S (le premier terme qui atteint ou dépasse le seuil S).
3. u_n+1 + 2 = 1,5u_n + 3 = 1,5(u_n + 2). La suite (u_n + 2) est géométrique de raison 1,5 et de premier terme 3 : u_n = 3 × 1,5ⁿ − 2. (Contrôle : u₁ = 4,5 − 2 = 2,5 ✓.) Comme 1,5 > 1, 1,5ⁿ → +∞, donc u_n → +∞ : tout seuil S finit par être dépassé, et la boucle s’arrête.
4. u_n ≥ 100 ⇔ 3 × 1,5ⁿ ≥ 102 ⇔ 1,5ⁿ ≥ 34. On calcule 1,5⁸ ≈ 25,6 < 34 et 1,5⁹ ≈ 38,4 ≥ 34. Donc n = 9 (u₉ = 113,33… ≥ 100 et u₈ ≈ 74,89 < 100). C’est ce que renvoie mystere(100).

21 Une suite qui tend vers +∞ sans formule ★★★

1. u₁ = 1 + 1 = 2 ; u₂ = 2 + 0,5 = 2,5 ; u₃ = 2,5 + 0,4 = 2,9.
2. Initialisation : u₀ = 1 > 0. Hérédité : si u_n > 0, alors 1 ÷ u_n > 0 et u_n+1 = u_n + 1 ÷ u_n > 0. Conclusion : u_n > 0 pour tout n.
3. u_n+1 − u_n = 1 ÷ u_n > 0 d’après la question précédente. La suite est strictement croissante.
4. Initialisation : u₀² = 1 ≥ 2 × 0 + 1. Hérédité : supposons u_n² ≥ 2n + 1. Alors u_n+1² = (u_n + 1 ÷ u_n)² = u_n² + 2 + 1 ÷ u_n² ≥ u_n² + 2 ≥ 2n + 1 + 2 = 2(n + 1) + 1. Conclusion : u_n² ≥ 2n + 1 pour tout n.
5. Comme u_n > 0, u_n ≥ √(2n + 1). Or √(2n + 1) devient aussi grand qu’on veut (pour tout réel A > 0, il dépasse A dès que 2n + 1 > A²). La suite (u_n) est minorée par une suite qui tend vers +∞ : elle tend vers +∞ (théorème de comparaison). (On peut aussi dire : croissante, et si elle était majorée elle convergerait, ce qui contredit u_n² ≥ 2n + 1.)