1 Arithmétique et géométrique / 3 pts
Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = −4 et de raison 1,5, et (vn) la suite géométrique de premier terme v0 = 200 et de raison 0,9.
- Exprime un en fonction de n et calcule u10.
- Exprime vn en fonction de n et calcule v6 (arrondi au centième).
- Donne, en justifiant, le sens de variation et la limite de chacune des deux suites.
2 Une récurrence / 4 pts
Soit (un) définie par u0 = 3 et un+1 = un + 2n + 3.
- Calcule u1, u2, u3.
- Démontre par récurrence que un = (n + 1)² + 2 pour tout entier n.
- En déduire le sens de variation de (un) et sa limite.
3 Étude complète d’une suite / 4 pts
Soit (un) définie par u0 = 0 et un+1 = √(2un + 3).
- Calcule u1 et u2 (arrondis au millième).
- Démontre par récurrence que 0 ≤ un < 3 pour tout n.
- Montre que un+1 − un = (3 − un)(1 + un) ÷ (√(2un + 3) + un) et en déduire que (un) est croissante.
- Démontre que (un) converge, puis détermine sa limite (on admet que la limite ℓ vérifie ℓ = √(2ℓ + 3)).
4 Majorée, minorée, croissante / 3 pts
Soit wn = 3n+2n+1 pour tout entier n.
- Vérifie que wn = 3 − 1n+1.
- Démontre que 2 ≤ wn < 3 pour tout n.
- Démontre que (wn) est strictement croissante.
- Que peux-tu affirmer sur la convergence de (wn) ? Vers quelle valeur ?
5 Un placement et un programme / 3 pts
On place 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 3 %. On note vn le capital (en €) au bout de n années.
- Exprime vn en fonction de n.
- Écris en Python une fonction duree() qui renvoie le plus petit nombre d’années au bout duquel le capital dépasse 8 000 €.
- Quelle valeur renvoie cette fonction ? Justifie par le calcul de deux valeurs de la suite.
- Pourquoi la boucle de ta fonction se termine-t-elle forcément ?
6 Bernoulli et limites / 3 pts
Le but est d’étudier le comportement de 1,5n et de (23)n.
- Démontre par récurrence que, pour tout entier n, 1,5n ≥ 1 + 0,5n.
- En déduire la limite de 1,5n quand n tend vers +∞.
- En déduire la limite de (23)n.
