Suites et raisonnement par récurrence : corrigé du contrôle de maths Terminale

Rate this post

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.

Sommaire

Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt. Calculatrice autorisée.

(1 pt) u_n = u₀ + n r = −4 + 1,5n ; u₁₀ = −4 + 15 = 11.
(1 pt) v_n = 200 × 0,9ⁿ ; v₆ = 200 × 0,531441 = 106,2882 ≈ 106,29.
(1 pt) (u_n) : raison 1,5 > 0, strictement croissante, tend vers +∞. (v_n) : v₀ > 0 et 0 < 0,9 < 1, strictement décroissante, tend vers 0.

Barème : a) 0,5 pt ; b) 2,5 pts ; c) 1 pt.

(0,5 pt) u₁ = 3 + 0 + 3 = 6 ; u₂ = 6 + 2 + 3 = 11 ; u₃ = 11 + 4 + 3 = 18.
(2,5 pts) Initialisation (0,5) : (0 + 1)² + 2 = 3 = u₀. Hérédité (1,5) : supposons u_n = (n + 1)² + 2. Alors u_n+1 = (n + 1)² + 2 + 2n + 3 = n² + 2n + 1 + 2n + 5 = n² + 4n + 6 = (n + 2)² + 2. C’est la formule au rang n + 1. Conclusion (0,5) : u_n = (n + 1)² + 2 pour tout n.
(1 pt) u_n+1 − u_n = 2n + 3 > 0 pour tout n : strictement croissante. Comme (n + 1)² → +∞, (u_n) tend vers +∞.

Barème : a) 0,5 pt ; b) 1,5 pt ; c) 1 pt ; d) 1 pt. Calculatrice autorisée.

(0,5 pt) u₁ = √3 ≈ 1,732 ; u₂ = √(2√3 + 3) ≈ 2,543.
(1,5 pt) Initialisation : 0 ≤ u₀ = 0 < 3. Hérédité : supposons 0 ≤ u_n < 3. Alors 3 ≤ 2u_n + 3 < 9 et, la racine étant croissante, √3 ≤ u_n+1 < 3, donc 0 ≤ u_n+1 < 3. Conclusion : vrai pour tout n.
(1 pt) u_n+1 − u_n = (u_n+1² − u_n²) ÷ (u_n+1 + u_n) = (2u_n + 3 − u_n²) ÷ (√(2u_n + 3) + u_n), et 2u_n + 3 − u_n² = (3 − u_n)(1 + u_n). Comme 0 ≤ u_n < 3, le numérateur est > 0 et le dénominateur aussi : u_n+1 > u_n, la suite est strictement croissante.
(1 pt) Croissante et majorée par 3, (u_n) converge d’après le théorème de convergence monotone. De ℓ = √(2ℓ + 3) on tire ℓ² = 2ℓ + 3, soit ℓ² − 2ℓ − 3 = (ℓ − 3)(ℓ + 1) = 0. Comme ℓ ≥ 0, ℓ = 3.

Barème : a) 0,5 pt ; b) 1 pt ; c) 0,75 pt ; d) 0,75 pt.

(0,5 pt) 3 − 1n+1 = 3(n+1) − 1n+1 = 3n+2n+1 = w_n.
(1 pt) n + 1 ≥ 1, donc 0 < 1n+1 ≤ 1, d’où 3 − 1 ≤ w_n < 3 : 2 ≤ w_n < 3. (w₀ = 2.)
(0,75 pt) w_n+1 − w_n = 1n+1 − 1n+2 = 1(n+1)(n+2) > 0.
(0,75 pt) La suite est croissante et majorée par 3 : elle converge (théorème de convergence monotone). Comme 1n+1 devient aussi petit qu’on veut, w_n se rapproche de 3 : la limite est 3 (le majorant 3 est ici atteint comme limite, ce qui n’est pas automatique).

Barème : a) 0,5 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt ; d) 0,5 pt. Calculatrice autorisée.

(1 pt)

def duree():
    v = 5000
    n = 0
    while v <= 8000:
        v = 1.03 * v
        n = n + 1
    return n

(1 pt) La fonction renvoie 16. v₁₅ = 5 000 × 1,03¹⁵ ≈ 7 789,84 € ≤ 8 000 et v₁₆ ≈ 8 023,54 € > 8 000.
(0,5 pt) La raison 1,03 est supérieure à 1 : 1,03ⁿ → +∞, donc v_n dépasse tout seuil à partir d’un certain rang et la condition « v ≤ 8000 » finit par être fausse.

Barème : a) 1,5 pt ; b) 0,75 pt ; c) 0,75 pt.

(1,5 pt) Initialisation : 1,5⁰ = 1 ≥ 1 + 0. Hérédité : supposons 1,5ⁿ ≥ 1 + 0,5n. Alors 1,5ⁿ⁺¹ = 1,5 × 1,5ⁿ ≥ 1,5(1 + 0,5n) = 1,5 + 0,75n ≥ 1,5 + 0,5n = 1 + 0,5(n + 1), car 0,75n ≥ 0,5n pour n ≥ 0. Conclusion : l’inégalité est vraie pour tout n.
(0,75 pt) Pour tout réel A, 1 + 0,5n > A dès que n > 2(A − 1). Donc 1,5ⁿ > A à partir de ce rang : 1,5ⁿ tend vers +∞.
(0,75 pt) (23)ⁿ = 1 ÷ 1,5ⁿ, car 1,5 = 32. Comme 1,5ⁿ devient arbitrairement grand et positif, son inverse devient arbitrairement proche de 0 : (23)ⁿ tend vers 0.