1 Lecture graphique / 3 pts
- La courbe se rapproche de la hauteur −1 aux deux extrémités : limx→+∞ g(x) = limx→−∞ g(x) = −1. (1 pt)
- À droite de −2 la courbe monte : limx→−2+ g(x) = +∞ ; à gauche elle descend : limx→−2− g(x) = −∞. (1 pt)
- Asymptote horizontale y = −1 et asymptote verticale x = −2. (1 pt)
2 Limites en l’infini / 4 pts
- −3x3 + 2x2 − 1 = x3(−3 + 2x − 1x³) : la parenthèse tend vers −3, x3 → +∞, donc la limite est −∞. (1 pt)
- 5x − x2 = x2(5x − 1) : en −∞, x2 → +∞ et la parenthèse tend vers −1, donc la limite est −∞. (1 pt)
- Termes dominants : 4x²2x² = 2. La limite est 2. (1 pt)
- Termes dominants : 3xx² = 3x → 0. La limite est 0. (1 pt)
3 Asymptotes d’une fraction / 4 pts
- x2 − x − 6 = (x−3)(x+2) : f est définie sur ℝ \ {−2 ; 3}. (1 pt)
- Termes dominants : 3xx² = 3x → 0. Donc lim f = 0 en +∞ et en −∞. (1 pt)
-
En 3 : numérateur → 7 > 0, x + 2 → 5 > 0, x − 3 → 0⁺ ou 0⁻ : limx→3+ f(x) = +∞ et limx→3− f(x) = −∞. (0,75 pt)
En −2 : numérateur → −8 < 0, x − 3 → −5 < 0, x + 2 → 0⁺ ou 0⁻ : le dénominateur tend vers 0− à droite et 0+ à gauche, donc limx→−2+ f(x) = +∞ et limx→−2− f(x) = −∞. (0,75 pt)
- Asymptotes verticales x = −2 et x = 3 ; asymptote horizontale y = 0. (0,5 pt)
4 Formes indéterminées / 3 pts
- Forme 00. x2 − 4 = (x−2)(x+2) et x2 − 3x + 2 = (x−1)(x−2). Pour x ≠ 2 le quotient vaut x+2x−1, qui tend vers 41 = 4. (1 pt)
- Forme +∞ − ∞. On multiplie par le conjugué : √(x2+3x) − x = 3x√(x²+3x) + x (1 pt). Pour x > 0, on divise en haut et en bas par x : 3 / (√(1 + 3/x) + 1), qui tend vers 32 car 3x → 0. La limite est 32. (1 pt)
5 Comparaison / 3 pts
- Comme cos x ≥ −1, on a x + 3 cos x ≥ x − 3 (0,5 pt). Or x − 3 → +∞ : par minoration, la limite est +∞. (0,5 pt)
- Pour x ≠ 0 : 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3, donc 1x² ≤ 2+sin xx² ≤ 3x² (1 pt). Les deux bornes tendent vers 0 : d’après le théorème des gendarmes, la limite est 0. (1 pt)
6 Croissances comparées / 3 pts
- Croissance comparée : la limite est +∞. (1 pt)
- Forme +∞ − ∞ : x − ex = ex(xeˣ − 1). Comme xeˣ → 0, la parenthèse tend vers −1 et ex → +∞ : la limite est −∞. (1 pt)
- 1 + ex → +∞, donc 11+eˣ → 0 : la limite est 0. (1 pt)