Fonction logarithme népérien : exercices de maths Terminale

Sommaire

1 Valeurs simples ★★★

Donne la valeur exacte de chacun des nombres suivants.

ln(e⁴)
ln 1
ln(1e)
ln √e
e^{ln 7}
e^{2 ln 3}
ln(e⁻³)

2 Équations ln x = k ★★★

Résous chaque équation en précisant d’abord le domaine.

ln x = 3
ln x = −2
ln(2x − 1) = 0
ln(x + 4) = 1

3 Exprimer avec ln 2 et ln 3 ★★★

On note a = ln 2 et b = ln 3. Exprime en fonction de a et de b :

ln 6
ln 12
ln 8
ln(23)
ln 18
ln √24
ln(172)

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

ln(3 + 5) = ln 3 + ln 5.
Pour tout réel x non nul, ln(x²) = 2 ln x.
ln(15) = −ln 5.
L’équation ln x = −5 admet une solution.
Si a < b alors ln a < ln b.

5 Ensembles de définition ★★★

Détermine l’ensemble de définition de chaque fonction.

f(x) = ln(3x − 6)
g(x) = ln(x² − 9)
h(x) = ln(x+1x−4)
k(x) = ln(4 − x²)

6 Simplifier des sommes de ln ★★★

Écris chaque expression sous la forme la plus simple (un entier, ou un multiple de ln 2).

A = ln 5 + ln 4 − ln 10
B = 3 ln 2 + ln 5 − ln 40
C = ln 18 − 2 ln 3 + ln 4
D = ln 125 − 3 ln 5 + ln(e²)

7 Lecture graphique ★★★

On donne la courbe de la fonction ln. Avec la précision du graphique, lis :

une valeur approchée de ln 2 et de ln 5 ;
une valeur approchée de la solution de ln x = −1 ;
une valeur approchée de la solution de ln x = 1,5 ;
l’ensemble des réels x tels que ln x ≥ 1.

8 Équations avec ln ★★★

Résous chaque équation (domaine, résolution, vérification).

ln(x − 3) = ln(2x − 10)
ln x + ln(x − 2) = ln 3
2 ln x = ln(3x + 4)
ln(x² − 1) = ln 8

9 Changement d’inconnue ★★★

Résous, en posant X = ln x :

(ln x)² − 3 ln x + 2 = 0
2(ln x)² + ln x − 1 = 0

10 Inéquations avec ln ★★★

Résous chaque inéquation.

ln(2x − 1) > 1
ln(x + 3) ≤ ln(5 − x)
ln x ≥ −2
ln(x² − 4) < 0

11 Inconnue en exposant ★★★

Résous dans ℝ (donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième).

e^2x = 7
3e^x − 2 = 10
e^2x − 5e^x + 6 = 0
e^−x+1 < 2

12 Seuils ★★★

Pour chaque situation, détermine le plus petit entier n qui convient.

Un capital de 1 000 € placé à 5 % par an est devenu supérieur à 2 000 €.
Une substance perd 20 % de sa masse chaque heure. Au bout de combien d’heures reste-t-il moins de 1 % de la masse initiale ?
3ⁿ > 1 000 000.

13 Dérivées ★★★

Calcule la dérivée de chaque fonction sur son intervalle de définition.

f(x) = x ln x − x sur ]0 ; +∞[
g(x) = ln xx sur ]0 ; +∞[
h(x) = x² ln x sur ]0 ; +∞[
k(x) = ln(3x + 1) sur ]−13 ; +∞[
p(x) = (ln x)² sur ]0 ; +∞[

14 Limites ★★★

Détermine les limites suivantes (indique la méthode utilisée).

lim_x→+∞ ln xx²
lim_x→0⁺ x² ln x
lim_x→+∞ (2 ln x − x)
lim_x→0⁺ (1x + ln x)
lim_x→+∞ ln(x+1)x

15 Étude de x − 2 ln x ★★★

Soit f(x) = x − 2 ln x sur ]0 ; +∞[.

Calcule f ′(x) et étudie son signe.
Calcule les limites de f en 0 et en +∞.
Dresse le tableau de variations de f. Montre que f(x) > 0 pour tout x > 0.

16 Tangentes ★★★

Détermine une équation de la tangente à la courbe de :

x ↦ ln x au point d’abscisse e. Que remarques-tu ?
x ↦ x ln x au point d’abscisse 1 ;
x ↦ ln(2x) au point d’abscisse 12.

17 Primitives et intégrales ★★★

Détermine une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué, puis calcule l’intégrale demandée.

f(x) = 1x + 2x sur ]0 ; +∞[ ;
g(x) = 2x+1x²+x+1 sur ℝ ;
h(x) = 13x+2 sur ]−23 ; +∞[ ;
calcule ∫₀¹ 2xx²+1 dx.

18 Étude de ln x / x ★★★

Soit f(x) = ln xx sur ]0 ; +∞[.

Calcule les limites de f en 0 et en +∞. Interprète graphiquement.
Montre que f ′(x) = 1−ln xx² et dresse le tableau de variations de f.
Résous f(x) = 0 et donne le signe de f.
Combien de solutions l’équation f(x) = k admet-elle selon la valeur de k ?
Compare e^π et π^e (on admet que π > e). Aide : compare f(π) et f(e).

19 Étude de x ln x ★★★

Soit f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[.

Étudie les limites de f aux bornes.
Calcule f ′ et f ″ ; dresse le tableau de variations ; précise la convexité.
Résous f(x) = 0.
Détermine la tangente T en 1 et étudie la position de la courbe par rapport à T.

20 Une inégalité fondamentale ★★★

Soit g(x) = x − 1 − ln x sur ]0 ; +∞[.

Étudie les variations de g et montre que ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0.
En remplaçant x par 1x, montre que ln x ≥ 1 − 1x.
Pour un entier n ≥ 1, applique ces deux encadrements avec x = 1 + 1n et montre que 1n+1 ≤ ln(1 + 1n) ≤ 1n.
Vérifie l’encadrement pour n = 10.

21 Une fonction ln(u) ★★★

Soit f(x) = ln(x² − 4x + 5).

Montre que f est définie sur ℝ.
Calcule f ′(x) et dresse le tableau de variations (avec les limites en −∞ et +∞).
Montre que la droite d’équation x = 2 est axe de symétrie de la courbe.
Résous f(x) = ln 2, puis f(x) ≤ ln 5.

22 Équation f(x) = 0 : encadrer une solution ★★★

Soit f(x) = ln x + x − 3 sur ]0 ; +∞[.

Montre que f est strictement croissante et détermine ses limites aux bornes.
Montre que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α, et que α ∈ ]2 ; 3[.
Encadre α par deux décimaux consécutifs à 10⁻² près.
Déduis-en le signe de f(x) selon x.

On donne ce programme Python. Que renvoie-t-il en gros et pourquoi est-il juste ?

from math import log

def dicho(a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if log(m) + m - 3 < 0:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

print(dicho(2, 3, 0.01))

23 Croissance bactérienne et demi-vie ★★★

Partie A. Une culture contient N(t) = 500 e^0,3t bactéries à l’instant t (en heures).

Calcule N(0) et N(5) (arrondi à l’unité).
Au bout de combien de temps la culture atteint-elle 5 000 bactéries ? Donne le résultat en heures et minutes.
Calcule le temps de doublement. Dépend-il de l’effectif initial ?

Partie B. Un produit radioactif a une demi-vie de 8 jours : sa quantité est A(t) = A₀ e^−λt (t en jours).

Détermine λ (valeur exacte, puis arrondi à 10⁻³).
Au bout de combien de jours la quantité est-elle réduite à 10 % de A₀ ?