1 Calculs avec ln / 3 pts
Calculatrice interdite.
- Simplifie A = ln(e5) + ln(1e²).
- Exprime ln 40 en fonction de a = ln 2 et c = ln 5.
- Exprime ln(258) en fonction de a et c.
- Exprime ln 0,4 en fonction de a et c.
2 Équations et inéquation / 3 pts
Calculatrice interdite. Résous :
- ln(2x + 1) = ln(x + 4)
- ln x + ln(x + 1) = ln 6
- ln(3 − x) ≥ 0
3 Seuils / 3 pts
Calculatrice autorisée.
- Un capital de 5 000 € placé à 3 % par an. À partir de quelle année dépasse-t-il 7 000 € ?
- Une population diminue de 10 % par an. Au bout de combien d’années est-elle inférieure à 5 % de la population initiale ?
4 Limites / 4 pts
Détermine les limites suivantes en justifiant.
- limx→+∞ (x − 3 ln x)
- limx→+∞ ln xx+1
- limx→0⁺ 1+ln xx
- limx→+∞ (ln(x² + 1) − ln x)
5 Étude de x ln x − 2x / 5 pts
Soit f(x) = x ln x − 2x sur ]0 ; +∞[.
- Calcule f ′(x), étudie son signe et dresse le tableau de variations de f (on donnera la valeur du minimum).
- Détermine les limites de f en 0⁺ et en +∞.
- Résous f(x) = 0.
- Détermine l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
6 Une fonction ln(u) / 2 pts
Soit g(x) = ln(x² + 1) sur ℝ.
- Justifie que g est définie sur ℝ, calcule g ′(x) et dresse le tableau de variations.
- Résous g(x) = ln 5.
