1 Calculs avec ln / 3 pts
- A = 5 + ln(e−2) = 5 − 2 = 3. (0,75 pt)
- 40 = 2³ × 5 donc ln 40 = 3a + c. (0,75 pt)
- 258 = 5²2³ donc ln(258) = 2c − 3a. (0,75 pt)
- 0,4 = 25 donc ln 0,4 = ln 2 − ln 5 = a − c. (0,75 pt)
2 Équations et inéquation / 3 pts
- Domaine : x > −12. 2x + 1 = x + 4 ⇔ x = 3, qui est dans le domaine. S = {3}. (0,75 pt)
- Domaine : x > 0. ln(x(x + 1)) = ln 6 ⇔ x² + x − 6 = 0 (Δ = 25), racines 2 et −3. Seul 2 est dans le domaine : S = {2}. (1,25 pt)
- Domaine : x < 3. ln(3 − x) ≥ 0 ⇔ 3 − x ≥ 1 ⇔ x ≤ 2. Avec le domaine : S = ]−∞ ; 2]. (1 pt)
3 Seuils / 3 pts
- 5 000 × 1,03n > 7 000 ⇔ 1,03n > 1,4 ⇔ n > ln 1,4ln 1,03 ≈ 11,38. Il faut n = 12 ans (1,0311 ≈ 1,384 < 1,4 < 1,0312 ≈ 1,426). (1,5 pt)
- 0,9n < 0,05 ⇔ n ln 0,9 < ln 0,05 ⇔ n > ln 0,05ln 0,9 ≈ 28,4 (on divise par ln 0,9 < 0, le sens s’inverse). Il faut n = 29 ans. (1,5 pt)
4 Limites / 4 pts
- x − 3 ln x = x(1 − 3ln xx) ; ln xx → 0 donc le facteur → 1 et x → +∞ : limite +∞. (1 pt)
- ln xx+1 = ln xx × xx+1 → 0 × 1 = 0. (1 pt)
- En 0⁺ : 1 + ln x → −∞ et le dénominateur x → 0⁺ : le quotient tend vers −∞. (1 pt)
- ln(x² + 1) − ln x = ln(x²+1x) = ln(x + 1x). Comme x + 1x → +∞, la limite est +∞. (1 pt)
5 Étude de x ln x − 2x / 5 pts
- f ′(x) = ln x + 1 − 2 = ln x − 1. f ′(x) > 0 ⇔ ln x > 1 ⇔ x > e. f(e) = e × 1 − 2e = −e.
x 0 e +∞ f ′(x) || − 0 + f(x) 0 (limite) ↘ −e ↗ +∞ (2 pts : dérivée 1, signe et tableau 1)
- En 0⁺ : x ln x → 0 (croissance comparée) et −2x → 0, donc f(x) → 0. En +∞ : f(x) = x(ln x − 2) avec ln x − 2 → +∞, donc f(x) → +∞. (1 pt)
- f(x) = x(ln x − 2) = 0 avec x > 0 ⇔ ln x = 2 ⇔ x = e². S = {e²}. (1 pt)
- f(1) = 0 − 2 = −2 et f ′(1) = ln 1 − 1 = −1. Tangente : y = −1 × (x − 1) − 2 = −x − 1. (1 pt)
6 Une fonction ln(u) / 2 pts
- x² + 1 ≥ 1 > 0 donc g est définie sur ℝ. g ′(x) = 2xx²+1, du signe de x : g décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[, avec g(0) = ln 1 = 0 (minimum). (1 pt)
- x² + 1 = 5 ⇔ x² = 4 ⇔ x = −2 ou x = 2. S = {−2 ; 2}. (1 pt)