Exercices de maths 6ème : Symétrie axiale, médiatrice et bissectrice

1 Symétriques sur quadrillage ★★★

Sur le quadrillage, la droite (d) est verticale. Donne le nombre de carreaux qui séparent chaque point de l’axe, puis place les symétriques de A, B et D par rapport à (d).

2 Vrai ou faux ? ★★★

Réponds par vrai ou faux et justifie en une phrase.

1. Le symétrique d’un point de l’axe est ce point lui-même.
2. Le symétrique d’un segment de 6 cm mesure 6 cm.
3. Un angle de 40° a pour symétrique un angle de 140°.
4. Le symétrique d’un cercle de rayon 3 cm est un cercle de rayon 3 cm.
5. Deux figures symétriques n’ont pas la même aire.

3 Distances à l’axe ★★★

Le point M est à 3,5 cm de la droite (d). M′ est son symétrique par rapport à (d).

1. À quelle distance de (d) se trouve M′ ?
2. Calcule la longueur MM′.
3. Un autre point N a un symétrique N′ tel que NN′ = 9 cm. À quelle distance de l’axe est N ?

4 Compter les axes ★★★

Donne le nombre d’axes de symétrie de chaque figure.

1. Un rectangle de 8 cm sur 3 cm.
2. Un carré.
3. Un triangle équilatéral.
4. Un triangle rectangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes.
5. La lettre H écrite en capitale d’imprimerie.
6. Un hexagone régulier.

5 Angle et longueur ★★★

M est un point de l’axe (xy). A est un point qui n’est pas sur l’axe et A′ est son symétrique par rapport à (xy), de l’autre côté de la droite. On sait que MA = 4,2 cm et que l’angle yMA mesure 52°.

1. Quelle est la longueur MA′ ?
2. Quelle est la mesure de l’angle yMA′ ?
3. Calcule la mesure de l’angle AMA′.

6 Symétrique d’un triangle ★★★

La droite (d) est horizontale. Reproduis le triangle ABC sur ton quadrillage et construis son symétrique A′B′C′ par rapport à (d). Que remarques-tu pour le point C ?

7 Bissectrices et calculs ★★★

Dans chaque cas, [Oz) est la bissectrice de l’angle xOy. Calcule l’angle demandé.

1. xOy = 64° ; calcule xOz.
2. xOy = 130° ; calcule zOy.
3. xOz = 27° ; calcule xOy.

8 Symétrie par une diagonale ★★★

La droite (d) est la diagonale du quadrillage. Place les symétriques A′, B′ et C′ des points A, B et C par rapport à (d). Indique leurs positions (colonne ; ligne).

9 Le cerf-volant ★★★

ABCD est un cerf-volant non losange : AB = AD = 3 cm et CB = CD = 5 cm.

1. Combien a-t-il d’axes de symétrie ?
2. Quel est cet axe ?
3. Que représente cette droite pour le segment [BD] ? Justifie.

10 Périmètres et médiatrice ★★★

AB = 8 cm.

1. M est sur la médiatrice de [AB] et MA = 5 cm. Calcule MB, puis le périmètre du triangle MAB.
2. N est sur la médiatrice de [AB] et le périmètre du triangle NAB est 20 cm. Calcule NA.

11 Peut-on construire ? ★★★

On veut construire la médiatrice d’un segment [AB] de 7 cm au compas. Pour chacun des écartements suivants, dis si c’est possible et pourquoi : 2 cm ; 3,5 cm ; 5 cm.

12 Médiatrice : vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque phrase est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Tout point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B.
2. La médiatrice de [AB] passe par A et B.
3. Un point équidistant de A et de B est sur la médiatrice de [AB].
4. La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à (AB).
5. Un segment possède plusieurs médiatrices.

13 Nature d’un triangle ★★★

Dans chaque cas, donne la nature du triangle en justifiant.

1. ABC avec A = 48° et B = 48°.
2. DEF avec D = 50° et E = 65°.
3. GHI avec G = 60° et H = 60°.

14 Angles d’un triangle isocèle ★★★

ABC est un triangle isocèle en A tel que l’angle ABC mesure 65°.

1. Quelle est la mesure de l’angle ACB ? Justifie.
2. Calcule l’angle BAC.
3. L’axe de symétrie du triangle coupe l’angle BAC en deux angles égaux. Quelle est la mesure de chacun ?

15 Bissectrices : calculs ★★★

Calcule la mesure demandée, [Az) étant la bissectrice de l’angle xAy.

1. xAy = 124° ; calcule xAz.
2. zAy = 28° ; calcule xAy.
3. xAy = 83° ; calcule xAz.

16 Deux bissectrices ★★★

Les points x, A et z sont alignés avec A entre x et z. L’angle xAy mesure 50° et l’angle yAz mesure 130°. [At) est la bissectrice de xAy et [Av) celle de yAz.

1. Justifie que xAy + yAz = 180°.
2. Calcule tAy et yAv.
3. En déduire la mesure de l’angle tAv. Que remarques-tu ?

17 Bissectrice dans un rectangle ★★★

ABCD est un rectangle avec AB = 7 cm et BC = 3 cm. La bissectrice de l’angle ABC coupe le côté [DC] en E.

1. Quelle est la mesure de l’angle EBC ?
2. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifie.
3. Calcule CE, puis DE.

18 Programme de construction ★★★

Voici quatre étapes de la construction de la bissectrice d’un angle xOy, dans le désordre.

• A. Tracer la demi-droite [OP).
• B. Avec le même écartement, pointer en N et tracer un arc qui coupe le précédent en P.
• C. Pointer en O et tracer un arc qui coupe [Ox) en M et [Oy) en N.
• D. Pointer en M et tracer un arc à l’intérieur de l’angle.

1. Remets les quatre étapes dans l’ordre.
2. Pourquoi OM = ON ?
3. Pourquoi PM = PN ?

19 Polygones réguliers ★★★

Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux.

1. Combien d’axes de symétrie a un pentagone régulier ? Un polygone régulier à 12 côtés ?
2. Combien de côtés a un polygone régulier qui possède 9 axes de symétrie ?
3. Un rectangle (non carré) est-il un polygone régulier ? Combien d’axes a-t-il ?

20 Du triangle au losange ★★★

ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 5 cm et BC = 6 cm. D est le symétrique de A par rapport à la droite (BC).

1. Justifie que DB = 5 cm et DC = 5 cm.
2. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
3. Calcule son périmètre.

21 Trois points, un cercle ★★★

Trace un triangle ABC. O est le point d’intersection de la médiatrice de [AB] et de la médiatrice de [BC]. On mesure OA = 4,5 cm.

1. Justifie que OB = 4,5 cm, puis que OC = 4,5 cm.
2. Que peut-on dire de O et de la médiatrice de [AC] ?
3. Quelle est la nature de la figure formée par les points situés à 4,5 cm de O ? Quel est son diamètre ?

22 Où placer la fontaine ? ★★★

Deux campings A et B sont distants de 800 m. Le gérant veut installer une fontaine F à égale distance des deux campings.

1. Sur quelle droite doit se trouver F ?
2. La fontaine doit aussi être sur le chemin rectiligne qui relie A à B. Où la place-t-on ?
3. Finalement, F est placée à 500 m de A mais pas sur le chemin. Calcule le périmètre du triangle ABF.