Dans ce chapitre, tu apprends à résoudre des équations : trouver le ou les nombres qui rendent une égalité vraie. Tu vas voir comment tester une égalité, comment la transformer sans la casser, comment résoudre une équation du premier degré, puis comment utiliser les équations pour résoudre des problèmes.
1. Rappels : expressions littérales et égalités
Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Quand on remplace la lettre par un nombre, on peut calculer la valeur de l’expression. Le signe × est souvent omis : 3x signifie 3 × x.
Pour x = 4 : 3x + 5 = 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17. Pour x = −2 : 3x + 5 = 3 × (−2) + 5 = −6 + 5 = −1.
Une égalité est une phrase mathématique avec le signe =. Elle peut être vraie (7 + 5 = 12) ou fausse (7 + 5 = 13). Quand elle contient une lettre, tout dépend de la valeur donnée à cette lettre.
2. Équation, inconnue, solution
Une équation est une égalité qui contient une lettre appelée inconnue. Ce qui est à gauche du signe = est le membre de gauche, ce qui est à droite est le membre de droite. Une solution est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Dans 5x − 3 = 2x + 9, l’inconnue est x, le membre de gauche est 5x − 3 et le membre de droite est 2x + 9. Le nombre 4 est une solution : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17.
Une expression (comme 5x − 3) n’a pas de signe =, on ne peut pas la « résoudre », seulement la calculer ou la transformer. Une équation a toujours un signe =.
3. Tester une égalité
1) On remplace l’inconnue par le nombre dans le membre de gauche et on calcule. 2) On fait la même chose dans le membre de droite. 3) Si on trouve le même résultat, l’égalité est vraie : le nombre est solution. Sinon, il n’est pas solution.
Le nombre 2 est-il solution de 4x + 1 = 3x + 4 ? Gauche : 4 × 2 + 1 = 9. Droite : 3 × 2 + 4 = 10. Comme 9 ≠ 10, 2 n’est pas solution. Avec 3 : gauche 4 × 3 + 1 = 13 ; droite 3 × 3 + 4 = 13. 3 est solution.
Tester des valeurs au hasard peut dépanner, mais ça ne prouve jamais qu’on a toutes les solutions. Pour être sûr, on résout l’équation avec les propriétés qui suivent. Et on peut ensuite tester la solution trouvée pour vérifier.
4. Les propriétés de l’égalité : la balance
Imagine une balance en équilibre. Si tu ajoutes ou retires la même masse des deux côtés, elle reste en équilibre. C’est exactement ce qui se passe avec une égalité.
La balance est équilibrée : x + 3 = 8. En retirant 3 masses de chaque côté, on voit que x = 5.
Pour tous nombres a, b et c :
• Une égalité reste vraie quand on ajoute ou qu’on soustrait le même nombre aux deux membres : si a = b, alors a + c = b + c et a − c = b − c.
• Une égalité reste vraie quand on multiplie les deux membres par le même nombre, ou qu’on les divise par le même nombre non nul : si a = b, alors a × c = b × c et, si c ≠ 0, a ÷ c = b ÷ c.
On ne divise jamais par 0. Et il faut toujours faire la même opération des deux côtés : si tu soustrais 7 à gauche, tu soustrais aussi 7 à droite.
5. Résoudre x + a = b, ax = b et x ÷ a = b
On utilise l’opération inverse : l’addition se défait par la soustraction, la multiplication par la division (et réciproquement).
• x + 8 = 3 : on retire 8 aux deux membres. x + 8 − 8 = 3 − 8, donc x = −5. La solution est −5.
• 6x = 15 : on divise les deux membres par 6. x = 15 ÷ 6 = 52 = 2,5. La solution est 2,5.
• x4 = 7 : on multiplie les deux membres par 4. x = 7 × 4 = 28. La solution est 28.
Quand le résultat de la division n’est pas décimal, on donne la fraction : la solution de 3x = 2 est 23 (on n’écrit pas 0,666…).
Remplace la solution dans l’équation de départ : pour 6x = 15 avec x = 2,5, on trouve 6 × 2,5 = 15. C’est bon !
6. Résoudre une équation du type ax + b = c
1) On supprime le terme b en l’ajoutant ou le soustrayant des deux côtés (ax est alors seul à gauche). 2) On divise les deux membres par a. On écrit une étape par ligne et on termine par une phrase.
5x − 7 + 7 = 18 + 7
5x = 25
x = 25 ÷ 5 = 5
La solution est 5. Vérification : 5 × 5 − 7 = 25 − 7 = 18. ✓
4 − 3x − 4 = 13 − 4, donc −3x = 9
x = 9 ÷ (−3) = −3. La solution est −3.
Vérification : 4 − 3 × (−3) = 4 + 9 = 13. ✓
7. L’inconnue est des deux côtés et il y a des parenthèses
1) On développe les parenthèses s’il y en a, et on réduit chaque membre. 2) On regroupe les termes en x dans un seul membre (en retirant cx des deux côtés). 3) On regroupe les nombres dans l’autre membre. 4) On divise par le coefficient de x.
7x + 4 − 3x = 3x + 20 − 3x, donc 4x + 4 = 20
4x + 4 − 4 = 20 − 4, donc 4x = 16
x = 16 ÷ 4 = 4. La solution est 4.
Vérification : 7 × 4 + 4 = 32 et 3 × 4 + 20 = 32. ✓
On développe : 2x + 10 = 5x − 8
2x + 10 − 2x = 5x − 8 − 2x, donc 10 = 3x − 8
10 + 8 = 3x, donc 18 = 3x, donc x = 6. La solution est 6.
Vérification : 2 × (6 + 5) = 22 et 5 × 6 − 8 = 22. ✓
Dans −(x − 4), le signe − change tous les signes à l’intérieur : −(x − 4) = −x + 4 (et non −x − 4). Quand un facteur multiplie la parenthèse, il multiplie chaque terme : 3(x − 2) = 3x − 6.
8. Mettre un problème en équation
C’est traduire l’énoncé d’un problème par une équation. Résoudre cette équation permet de répondre à la question posée.
1) Choisir l’inconnue : « Soit x le nombre de… » (avec l’unité si besoin). 2) Mettre en équation : exprimer les données avec x et écrire l’égalité. 3) Résoudre l’équation. 4) Conclure par une phrase réponse, après avoir vérifié que la solution a du sens (un nombre de personnes est un entier positif).
Un rectangle a une longueur de 3 cm de plus que sa largeur. Son périmètre est 26 cm. Quelles sont ses dimensions ?
1) Soit x la largeur en cm. La longueur est x + 3.
2) Périmètre : 2 × (x + (x + 3)) = 26, soit 2(2x + 3) = 26.
3) 4x + 6 = 26, donc 4x = 20, donc x = 5.
4) La largeur est 5 cm et la longueur 8 cm. Vérification : 2 × (5 + 8) = 26. ✓
Quand un problème te semble trop long, commence par écrire « Soit x… ». Une fois l’inconnue choisie, la moitié du travail est faite !
Pour comparer deux offres, on cherche souvent la valeur pour laquelle elles donnent le même résultat : on écrit une équation avec la lettre des deux côtés (partie 7).
À retenir
- Une équation est une égalité avec une inconnue ; une solution est une valeur qui rend l’égalité vraie.
- Pour tester un nombre, on calcule chaque membre avec ce nombre : les résultats doivent être égaux.
- On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) les deux membres par le même nombre sans changer les solutions.
- Pour ax + b = c : on enlève b, puis on divise par a. Pour ax + b = cx + d : on regroupe les x d’un côté, les nombres de l’autre.
- Avant de résoudre, on développe et on réduit les parenthèses ; on vérifie ensuite sa solution dans l’équation de départ.
- Pour un problème : choisir l’inconnue, mettre en équation, résoudre, conclure par une phrase.