Prix à payer, recettes de cuisine, soldes, cartes, vitesses : la proportionnalité est partout. Dans ce chapitre, tu retrouves tous les outils pour la reconnaître et l’utiliser, puis tu apprends à calculer avec les pourcentages (parts, hausses, baisses, évolutions successives), à lire une échelle et à manipuler vitesses et débits.
1. Rappels : situations de proportionnalité
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. On range alors les valeurs dans un tableau de proportionnalité.
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. On range alors les valeurs dans un tableau de proportionnalité.
Exemple
Les pommes coûtent 2,50 € le kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse achetée et le coefficient est 2,5.
Les pommes coûtent 2,50 € le kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse achetée et le coefficient est 2,5.
Pour chaque colonne, on multiplie la masse par 2,5 pour obtenir le prix : 5 × 2,5 = 12,5 et 8 × 2,5 = 20.
Piège
Plus une grandeur augmente, plus l’autre augmente… cela ne suffit pas pour dire que c’est proportionnel ! L’âge d’un enfant et sa taille augmentent ensemble, mais ne sont pas proportionnels : à 10 ans, on ne mesure pas deux fois la taille d’un enfant de 5 ans.
Plus une grandeur augmente, plus l’autre augmente… cela ne suffit pas pour dire que c’est proportionnel ! L’âge d’un enfant et sa taille augmentent ensemble, mais ne sont pas proportionnels : à 10 ans, on ne mesure pas deux fois la taille d’un enfant de 5 ans.
2. Reconnaître et compléter un tableau de proportionnalité
Reconnaître un tableau de proportionnalité
On calcule les quotients « deuxième ligne ÷ première ligne » pour chaque colonne. Si on trouve toujours le même résultat, le tableau est de proportionnalité et ce résultat est le coefficient. Si un seul quotient est différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
On calcule les quotients « deuxième ligne ÷ première ligne » pour chaque colonne. Si on trouve toujours le même résultat, le tableau est de proportionnalité et ce résultat est le coefficient. Si un seul quotient est différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Exemple
Tableau : 4 → 14 ; 6 → 21 ; 10 → 35. Quotients : 14 ÷ 4 = 3,5 ; 21 ÷ 6 = 3,5 ; 35 ÷ 10 = 3,5. C’est bien un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Tableau : 4 → 14 ; 6 → 21 ; 10 → 35. Quotients : 14 ÷ 4 = 3,5 ; 21 ÷ 6 = 3,5 ; 35 ÷ 10 = 3,5. C’est bien un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Compléter un tableau : quatre méthodes
- Le coefficient : on multiplie par le coefficient (ou on divise pour faire le chemin inverse).
- La linéarité multiplicative : si on multiplie une valeur par un nombre, on multiplie l’autre par le même nombre.
- La linéarité additive : la somme de deux colonnes donne une nouvelle colonne.
- Le passage à l’unité : on cherche la valeur pour 1, puis on multiplie.
Exemple résolu
7 mètres de ruban coûtent 10,50 €. Combien coûtent 12 mètres ?
Passage à l’unité : 1 m coûte 10,50 ÷ 7 = 1,50 €, donc 12 m coûtent 12 × 1,50 = 18 €.
Linéarité additive : 12 = 7 + 5 ; 5 m coûtent 5 × 1,50 = 7,50 € ; au total 10,50 + 7,50 = 18 €.
7 mètres de ruban coûtent 10,50 €. Combien coûtent 12 mètres ?
Passage à l’unité : 1 m coûte 10,50 ÷ 7 = 1,50 €, donc 12 m coûtent 12 × 1,50 = 18 €.
Linéarité additive : 12 = 7 + 5 ; 5 m coûtent 5 × 1,50 = 7,50 € ; au total 10,50 + 7,50 = 18 €.
Quatrième proportionnelle (produit en croix)
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : si a → b et c → d, alors a × d = b × c. On en déduit la valeur manquante : d = b × ca.
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : si a → b et c → d, alors a × d = b × c. On en déduit la valeur manquante : d = b × ca.
Exemple : 4 → 14 et 9 → ? On calcule 14 × 9 ÷ 4 = 126 ÷ 4 = 31,5.
3. Représentation graphique
Graphique d’une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points qui les représentent dans un repère sont alignés avec l’origine du repère, c’est-à-dire sur une droite passant par l’origine.
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points qui les représentent dans un repère sont alignés avec l’origine du repère, c’est-à-dire sur une droite passant par l’origine.
Prix des pommes en fonction de la masse. Les points A (2 ; 5) et B (4 ; 10) sont sur une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la masse.
Lire le coefficient sur le graphique
On lit les coordonnées d’un point (autre que l’origine) de la droite : le coefficient est l’ordonnée divisée par l’abscisse. Ici, pour le point A : 5 ÷ 2 = 2,5 (€ par kg).
On lit les coordonnées d’un point (autre que l’origine) de la droite : le coefficient est l’ordonnée divisée par l’abscisse. Ici, pour le point A : 5 ÷ 2 = 2,5 (€ par kg).
Attention
Une droite qui ne passe pas par l’origine, ou une courbe qui n’est pas une droite, ne représente pas une situation de proportionnalité.
Une droite qui ne passe pas par l’origine, ou une courbe qui n’est pas une droite, ne représente pas une situation de proportionnalité.
4. Les pourcentages : prendre une part, calculer une proportion
Pourcentage
Un pourcentage est une proportion exprimée « sur 100 ». Dire que t % des élèves aiment le sport, c’est dire que sur 100 élèves, t aiment le sport : t % = t100.
Un pourcentage est une proportion exprimée « sur 100 ». Dire que t % des élèves aiment le sport, c’est dire que sur 100 élèves, t aiment le sport : t % = t100.
Calculer t % d’une quantité
On multiplie la quantité par t100. Exemple : 35 % de 260 = 260 × 0,35 = 91. Quelques raccourcis : 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = on divise par 10 ; 75 % = trois quarts.
On multiplie la quantité par t100. Exemple : 35 % de 260 = 260 × 0,35 = 91. Quelques raccourcis : 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = on divise par 10 ; 75 % = trois quarts.
Exprimer une proportion en pourcentage
On divise la partie par le total, puis on multiplie par 100. Exemple : 18 filles sur 45 élèves : 18 ÷ 45 = 0,4 donc 40 %.
On divise la partie par le total, puis on multiplie par 100. Exemple : 18 filles sur 45 élèves : 18 ÷ 45 = 0,4 donc 40 %.
Astuce
Calculer un pourcentage, c’est utiliser la proportionnalité : 40 % de 45 se lit dans le tableau 100 → 45 et 40 → ? ; on trouve 40 × 45 ÷ 100 = 18.
Calculer un pourcentage, c’est utiliser la proportionnalité : 40 % de 45 se lit dans le tableau 100 → 45 et 40 → ? ; on trouve 40 × 45 ÷ 100 = 18.
5. Hausses et baisses en pourcentage
Coefficient multiplicateur
Une hausse de t % revient à multiplier par 1 + t100. Une baisse de t % revient à multiplier par 1 − t100.
Exemples : +15 % → × 1,15 ; −30 % → × 0,70 ; +8 % → × 1,08 ; −5 % → × 0,95.
Une hausse de t % revient à multiplier par 1 + t100. Une baisse de t % revient à multiplier par 1 − t100.
Exemples : +15 % → × 1,15 ; −30 % → × 0,70 ; +8 % → × 1,08 ; −5 % → × 0,95.
Exemple résolu
Un jeu vidéo à 45 € est soldé à −20 %. Prix soldé : 45 × 0,80 = 36 €. (Méthode en deux temps : réduction 45 × 0,20 = 9 €, puis 45 − 9 = 36 €.)
Un jeu vidéo à 45 € est soldé à −20 %. Prix soldé : 45 × 0,80 = 36 €. (Méthode en deux temps : réduction 45 × 0,20 = 9 €, puis 45 − 9 = 36 €.)
Calculer un taux d’évolution
Taux = valeur finale − valeur initialevaleur initiale × 100. Si le résultat est positif, c’est une hausse ; s’il est négatif, c’est une baisse.
Exemple : un abonnement passe de 16 € à 18 €. 2 ÷ 16 = 0,125 : hausse de 12,5 %.
Taux = valeur finale − valeur initialevaleur initiale × 100. Si le résultat est positif, c’est une hausse ; s’il est négatif, c’est une baisse.
Exemple : un abonnement passe de 16 € à 18 €. 2 ÷ 16 = 0,125 : hausse de 12,5 %.
Retrouver la valeur initiale
On divise par le coefficient multiplicateur. Exemple : après une hausse de 25 %, un prix est de 50 € ; le prix initial est 50 ÷ 1,25 = 40 €.
On divise par le coefficient multiplicateur. Exemple : après une hausse de 25 %, un prix est de 50 € ; le prix initial est 50 ÷ 1,25 = 40 €.
Piège
Après une hausse de 25 %, on ne retrouve pas le prix de départ en retirant 25 % au prix final : 50 − 12,50 = 37,50 € et non 40 €. Il faut diviser par 1,25.
Après une hausse de 25 %, on ne retrouve pas le prix de départ en retirant 25 % au prix final : 50 − 12,50 = 37,50 € et non 40 €. Il faut diviser par 1,25.
6. Évolutions successives et pourcentages de pourcentages
Évolutions successives
Quand plusieurs évolutions se suivent, on multiplie les coefficients ; les taux ne s’additionnent pas.
Quand plusieurs évolutions se suivent, on multiplie les coefficients ; les taux ne s’additionnent pas.
Exemple
Un prix augmente de 10 % puis baisse de 10 %. Coefficient global : 1,10 × 0,90 = 0,99. Le prix final est 1 % plus bas qu’au départ. (Pas le même prix !)
Un prix augmente de 10 % puis baisse de 10 %. Coefficient global : 1,10 × 0,90 = 0,99. Le prix final est 1 % plus bas qu’au départ. (Pas le même prix !)
Pourcentage d’un pourcentage
Prendre p % de q % d’une quantité, c’est multiplier par p100 puis par q100.
Prendre p % de q % d’une quantité, c’est multiplier par p100 puis par q100.
Exemple
Dans un club de 200 membres, 60 % sont des filles et 25 % des filles font de la natation. Nombre de filles : 200 × 0,6 = 120 ; nageuses : 120 × 0,25 = 30. Part des nageuses dans le club : 0,6 × 0,25 = 0,15 = 15 % (et 15 % de 200 = 30).
Dans un club de 200 membres, 60 % sont des filles et 25 % des filles font de la natation. Nombre de filles : 200 × 0,6 = 120 ; nageuses : 120 × 0,25 = 30. Part des nageuses dans le club : 0,6 × 0,25 = 0,15 = 15 % (et 15 % de 200 = 30).
7. Les échelles
Échelle
Sur une carte ou un plan, les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées. L’échelle est le coefficient qui permet de passer des longueurs sur le plan aux longueurs réelles, exprimées avec la même unité. Une échelle de 1/25 000 signifie : 1 cm sur le plan représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m.
Sur une carte ou un plan, les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées. L’échelle est le coefficient qui permet de passer des longueurs sur le plan aux longueurs réelles, exprimées avec la même unité. Une échelle de 1/25 000 signifie : 1 cm sur le plan représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m.
Utiliser une échelle
Longueur réelle = longueur sur le plan × dénominateur de l’échelle (et on convertit). Longueur sur le plan = longueur réelle ÷ dénominateur.
Exemple : à l’échelle 1/50 000, 3,2 cm sur la carte représentent 3,2 × 50 000 = 160 000 cm = 1 600 m = 1,6 km.
Longueur réelle = longueur sur le plan × dénominateur de l’échelle (et on convertit). Longueur sur le plan = longueur réelle ÷ dénominateur.
Exemple : à l’échelle 1/50 000, 3,2 cm sur la carte représentent 3,2 × 50 000 = 160 000 cm = 1 600 m = 1,6 km.
Astuce
Convertis toujours en centimètres avant de calculer, puis repasse en mètres ou en kilomètres : 100 000 cm = 1 km.
Convertis toujours en centimètres avant de calculer, puis repasse en mètres ou en kilomètres : 100 000 cm = 1 km.
Attention
Plus le nombre du dénominateur est grand, plus la carte est « petite » : 1/1 000 000 montre une région entière, 1/1 000 un quartier.
Plus le nombre du dénominateur est grand, plus la carte est « petite » : 1/1 000 000 montre une région entière, 1/1 000 un quartier.
8. Vitesses et débits
Vitesse moyenne
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. La vitesse moyenne v est le coefficient de proportionnalité : v = dt, donc d = v × t et t = dv.
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. La vitesse moyenne v est le coefficient de proportionnalité : v = dt, donc d = v × t et t = dv.
Exemple
Un train parcourt 270 km en 1 h 30 min. Durée : 1,5 h. Vitesse : 270 ÷ 1,5 = 180 km/h. À cette vitesse, il met 90 ÷ 180 = 0,5 h = 30 min pour faire 90 km.
Un train parcourt 270 km en 1 h 30 min. Durée : 1,5 h. Vitesse : 270 ÷ 1,5 = 180 km/h. À cette vitesse, il met 90 ÷ 180 = 0,5 h = 30 min pour faire 90 km.
Durées
Une durée n’est pas un nombre décimal comme les autres : 1 h 30 min = 1,5 h (et non 1,30 h). 20 min = 2060 h = 13 h.
Une durée n’est pas un nombre décimal comme les autres : 1 h 30 min = 1,5 h (et non 1,30 h). 20 min = 2060 h = 13 h.
Convertir des vitesses
1 m/s = 3,6 km/h (car 1 m/s = 3 600 m en 1 h = 3,6 km en 1 h). Pour passer de m/s à km/h on multiplie par 3,6 ; pour passer de km/h à m/s on divise par 3,6. Exemple : 54 km/h = 54 ÷ 3,6 = 15 m/s.
1 m/s = 3,6 km/h (car 1 m/s = 3 600 m en 1 h = 3,6 km en 1 h). Pour passer de m/s à km/h on multiplie par 3,6 ; pour passer de km/h à m/s on divise par 3,6. Exemple : 54 km/h = 54 ÷ 3,6 = 15 m/s.
Débit
Le débit d’un robinet, d’une pompe ou d’un fleuve est le volume écoulé par unité de temps : débit = volumedurée. Il s’exprime par exemple en litres par minute (L/min) ou en m³/h. Si le débit est constant, le volume écoulé est proportionnel à la durée.
Le débit d’un robinet, d’une pompe ou d’un fleuve est le volume écoulé par unité de temps : débit = volumedurée. Il s’exprime par exemple en litres par minute (L/min) ou en m³/h. Si le débit est constant, le volume écoulé est proportionnel à la durée.
Exemple
Un robinet a un débit de 8 L/min. Pour remplir un seau de 12 L : 12 ÷ 8 = 1,5 min, soit 1 min 30 s. En 20 min, il verse 8 × 20 = 160 L.
Un robinet a un débit de 8 L/min. Pour remplir un seau de 12 L : 12 ÷ 8 = 1,5 min, soit 1 min 30 s. En 20 min, il verse 8 × 20 = 160 L.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même coefficient.
- Pour compléter un tableau : coefficient, linéarité, passage à l’unité ou produit en croix.
- Graphique : une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l’origine.
- t % d’une quantité : on multiplie par t100. Proportion : partie ÷ total × 100.
- Hausse de t % : × (1 + t100) ; baisse de t % : × (1 − t100). Pour revenir en arrière, on divise.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients, on n’additionne pas les taux.
- Échelle : longueur réelle = longueur sur le plan × dénominateur ; même unité obligatoire.
- Vitesse : v = dt ; 1 m/s = 3,6 km/h. Débit = volume ÷ durée.