Bac de maths 2025 Amérique du Nord J2 : sujet

Exercice 1 5 points

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de \(0{,}32\).

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de \(15\) lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note \(N\) la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire \(N\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(N\).

5. On note \(T\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer \(T\) en fonction de \(N\).

b. En déduire l'espérance de la variable aléatoire \(T\). Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

c. Calculer \(P(12 \leqslant T \leqslant 18)\).

Partie B

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance \(E(X) = 22\) et la variance \(V(X) = 65\).

Victor joue \(n\) matchs, où \(n\) est un nombre entier strictement positif.

On note \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1^er, 2^e, …, \(n\)-ième matchs. On admet que les variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont indépendantes et suivent la même loi que celle de \(X\).

On pose \(M_n=\dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\).

1. Dans cette question, on prend \(n = 50\).

a. Que représente la variable aléatoire \(M_{50}\) ?

b. Déterminer l'espérance et la variance de \(M_{50}\).

c. Démontrer que \(P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}\).

d. En déduire que la probabilité de l'évènement « \(19 \lt M_{50} \lt 25\) » est strictement supérieure à 0,85.

2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n'existe aucun entier naturel \(n\) tel que \(P\left(\left|M_n-22\right| \geqslant 3\right) \lt 0{,}01\) ».

Exercice 2 5 points

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel \(\ln(2)\), en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI^e siècle.

On désigne par \((u_n)\) la suite définie par :

\[u_0=2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de \(u_1\) et de \(u_2\).

b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Résoudre dans l'intervalle \([0\,;+\infty[\) l'équation \(\sqrt{x} = x\).

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite \((u_n)\).

Partie B

On désigne par \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=\ln(u_n)\).

1. a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(2)=2^n \ln(u_n)\).

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe \(\mathscr{C}\) de la fonction ln et la tangente T à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite T est \(y = x - 1\).

Les points \(\mathrm{A}_0\), \(\mathrm{A}_1\), \(\mathrm{A}_2\) ont pour abscisses respectives \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) et pour ordonnée 0.

On décide de prendre \(x - 1\) comme approximation de \(\ln(x)\) lorsque \(x\) appartient à l'intervalle \(]0{,}99\,;1{,}01[\).

a. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel \(k\) tel que \(u_k\) appartienne à l'intervalle \(]0{,}99\,;1{,}01[\) et donner une valeur approchée de \(u_k\) à \(10^{-5}\) près.

b. En déduire une approximation de \(\ln(u_k)\).

c. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de \(\ln(2)\).

3. On généralise la méthode précédente à tout réel \(a\) strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de \(\ln(a)\).

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à \(\sqrt{a}\).

from math import*
def Briggs(a):
  n = 0
  while a >= 1.01:
    a = sqrt(a)
    n = n+1
  L =...
return L

Exercice 3 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Partie A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : « \(\overrightarrow{\mathrm{JH}} = 2\overrightarrow{\mathrm{BI}} + \overrightarrow{\mathrm{DM}} - \overrightarrow{\mathrm{CB}}\) »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs \(\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AH}}, \overrightarrow{\mathrm{AG}}\right)\) est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « \(\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}} = -\dfrac{1}{4}\). »

Partie B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• le plan \(\mathcal{P}\) d'équation cartésienne \(2x - y + 3z + 6 = 0\)
• les points \(\mathrm{A}(2\,;0\,;-1)\) et \(\mathrm{B}(5\,;-3\,;7)\)

Affirmation 4 : « Le plan \(\mathcal{P}\) et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan \(\mathcal{P}'\) parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par B a pour équation cartésienne \(-2x + y - 3z + 34 = 0\) »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan \(\mathcal{P}\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\). »

On note \((d)\) la droite de représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{rcl} x &=& -12 + 2k \\ y &=& 6 \\ z &=& 3 - 5k \end{array}\right., \text{ où } k \in \mathbb{R}\]

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et \((d)\) ne sont pas coplanaires. »

Exercice 4 5 points

On désigne par \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0\,;\pi]\) par

\[f(x) = \mathrm{e}^x \sin(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère.

Partie A

1. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0\,;\pi]\),

\[f'(x) = \mathrm{e}^x[\sin(x) + \cos(x)].\]

b. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

2. a. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 0.

b. Démontrer que la fonction \(f\) est convexe sur l'intervalle \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

c. En déduire que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\mathrm{e}^x \sin(x) \geqslant x\).

3. Justifier que le point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) de la courbe représentative de la fonction \(f\) est un point d'inflexion.

Partie B

On note

\[I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \sin(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x.\]

1. En intégrant par parties l'intégrale \(I\) de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

\[I = 1 + J \qquad \text{et} \qquad I = \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - J.\]

2. En déduire que \(I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}\).

3. On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\).

Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle \([0\,;\pi]\).

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = \dfrac{\pi}{2}\).