Corrigé de l’exercice 1 : loi binomiale et inégalité de concentration
Partie A
1. Chaque lancer est une épreuve à deux issues (réussi ou non) de probabilité de succès \(0{,}32\), et les 15 lancers sont indépendants. La variable \(N\) compte les succès : elle suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}32\), notée \(\mathcal{B}(15\,;0{,}32)\).
2. On utilise la formule de la loi binomiale :
\[P(N=4)=\binom{15}{4}\times 0{,}32^4\times 0{,}68^{11}\]
La calculatrice donne \(P(N=4)\approx\) 0,206.
3. « Au plus 6 paniers » signifie \(N\leqslant 6\). On additionne les probabilités de 0 à 6, ou on utilise la fonction de répartition binomiale de la calculatrice : \(P(N\leqslant 6)\approx\) 0,828.
4. Pour une loi binomiale, \(E(N)=np=15\times 0{,}32=\) 4,8.
5. a. Chaque panier réussi vaut 3 points, donc \(T=3N\).
b. Par linéarité de l'espérance, \(E(T)=3E(N)=3\times 4{,}8=\) 14,4. Cela signifie que, si Victor répétait très souvent cette série de 15 lancers, il marquerait en moyenne 14,4 points par série (par exemple 144 points sur 10 séries).
c. Comme \(T=3N\), l'encadrement \(12\leqslant T\leqslant 18\) équivaut à \(4\leqslant N\leqslant 6\). On additionne :
\[P(4\leqslant N\leqslant 6)=P(N=4)+P(N=5)+P(N=6)\approx 0{,}2057+0{,}2130+0{,}1671\]
Donc \(P(12\leqslant T\leqslant 18)\approx\) 0,586.
Partie B
1. a. \(M_{50}\) est la moyenne des points marqués par Victor sur 50 matchs : c'est le nombre moyen de points par match sur une saison de 50 matchs.
b. Les variables \(X_i\) suivent la loi de \(X\), donc \(E(M_{50})=\dfrac{50\,E(X)}{50}=E(X)=\) 22.
Elles sont indépendantes, donc les variances s'additionnent : \(V(X_1+\ldots+X_{50})=50\,V(X)\). Diviser une variable par 50 divise sa variance par \(50^2\), d'où
\[V(M_{50})=\dfrac{50\,V(X)}{50^2}=\dfrac{V(X)}{50}=\dfrac{65}{50}=\textbf{1,3}.\]
c. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit que, pour toute variable aléatoire \(Y\) et tout réel \(a\gt 0\), \(P(|Y-E(Y)|\geqslant a)\leqslant \dfrac{V(Y)}{a^2}\). Avec \(Y=M_{50}\) et \(a=3\) :
\[P\left(\left|M_{50}-22\right|\geqslant 3\right)\leqslant\dfrac{1{,}3}{9}=\dfrac{13}{90}.\]
d. L'événement « \(19\lt M_{50}\lt 25\) » s'écrit aussi \(|M_{50}-22|\lt 3\) : c'est le contraire de \(|M_{50}-22|\geqslant 3\). Donc
\[P(19\lt M_{50}\lt 25)=1-P\left(\left|M_{50}-22\right|\geqslant 3\right)\geqslant 1-\dfrac{13}{90}=\dfrac{77}{90}\approx 0{,}856.\]
Comme \(0{,}856\gt 0{,}85\), cette probabilité est strictement supérieure à 0,85.
2. L'affirmation est fausse. Appliquons Bienaymé-Tchebychev à \(M_n\), d'espérance 22 et de variance \(\dfrac{65}{n}\) :
\[P\left(\left|M_n-22\right|\geqslant 3\right)\leqslant\dfrac{65}{9n}.\]
Or \(\dfrac{65}{9n}\lt 0{,}01\) équivaut à \(n\gt\dfrac{6500}{9}\approx 722{,}2\), c'est-à-dire \(n\geqslant 723\). Pour \(n=723\), on a donc \(P\left(\left|M_{723}-22\right|\geqslant 3\right)\lt 0{,}01\) : il existe bien un entier qui convient. (On retrouve la loi faible des grands nombres : cette probabilité tend vers 0 quand \(n\) grandit.)
Corrigé de l’exercice 2 : suite de racines carrées et approximation de ln(2)
Partie A
1. a. \(u_1=\sqrt{u_0}=\) \(\sqrt{2}\) et \(u_2=\sqrt{u_1}=\sqrt{\sqrt{2}}=\) \(2^{1/4}\) (racine quatrième de 2).
b. Avec la calculatrice, on obtient \(2\), \(1{,}414\), \(1{,}189\), \(1{,}091\), … : on conjecture que la suite est décroissante et qu'elle a pour limite 1.
2. a. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on note \(P_n\) la propriété « \(1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\) ».
Initialisation. \(u_1=\sqrt{2}\approx 1{,}41\) et \(u_0=2\), donc \(1\leqslant u_1\leqslant u_0\) : \(P_0\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P_n\) soit vraie : \(1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\). La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc elle conserve cet ordre :
\[\sqrt{1}\leqslant\sqrt{u_{n+1}}\leqslant\sqrt{u_n},\quad\text{soit}\quad 1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}.\]
La propriété \(P_{n+1}\) est vraie.
Conclusion. \(P_0\) est vraie et \(P_n\) entraîne \(P_{n+1}\) : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\).
b. D'après la question précédente, la suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 1. Or toute suite décroissante et minorée converge : \((u_n)\) est convergente, et sa limite \(\ell\) vérifie \(\ell\geqslant 1\).
c. Pour \(x\geqslant 0\), élever au carré ne change pas l'équivalence :
\[\sqrt{x}=x\iff x=x^2\iff x(x-1)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=1.\]
L'ensemble des solutions est \(\{0\,;1\}\).
d. La suite vérifie \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f(x)=\sqrt{x}\), fonction continue sur \([0\,;+\infty[\). Comme \((u_n)\) converge vers \(\ell\), on peut passer à la limite dans la relation de récurrence : \(\ell=\sqrt{\ell}\). Donc \(\ell\) est solution de l'équation précédente : \(\ell=0\) ou \(\ell=1\). Or \(\ell\geqslant 1\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\).
Partie B
1. a. Pour tout entier \(n\), en utilisant \(\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) :
\[v_{n+1}=\ln(u_{n+1})=\ln\left(\sqrt{u_n}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(u_n)=\dfrac{1}{2}v_n.\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=\ln(2)\).
b. Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\,q^n\), donc \(v_n=\ln(2)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{\ln(2)}{2^n}\).
c. Comme \(v_n=\ln(u_n)\), on a \(\ln(u_n)=\dfrac{\ln(2)}{2^n}\). En multipliant les deux membres par \(2^n\) : \(\ln(2)=2^n\ln(u_n)\).
2. a. On calcule les termes à la calculatrice : \(u_6\approx 1{,}0109\) est encore supérieur à \(1{,}01\), alors que \(u_7\approx 1{,}00543\) appartient à \(]0{,}99\,;1{,}01[\). Comme la suite est décroissante, aucun terme précédent ne convient : \(k=7\) et \(u_7\approx 1{,}00543\).
b. Pour \(x\) proche de 1, on remplace \(\ln(x)\) par \(x-1\), donc \(\ln(u_7)\approx u_7-1\approx\) 0,00543.
c. D'après la question 1. c. avec \(n=7\), \(\ln(2)=2^7\ln(u_7)\approx 128\times 0{,}00543\). Une approximation de \(\ln(2)\) est donc 0,695 (la vraie valeur est \(0{,}6931\ldots\)).
3. À la sortie de la boucle, la variable a contient la racine \(n\)-fois itérée du réel de départ, proche de 1, et n le nombre de racines carrées prises. Comme à la question 2, on a \(\ln(a_{\text{départ}})=2^n\ln(a_{\text{final}})\approx 2^n\left(a_{\text{final}}-1\right)\). La ligne manquante est donc \(\texttt{L = 2**n*(a-1)}\), et le programme complet est :
from math import*
def Briggs(a):
n = 0
while a >= 1.01:
a = sqrt(a)
n = n+1
L = 2**n*(a-1)
return L
Le return doit être placé en dehors de la boucle, avec la même indentation que la ligne L. Par exemple, Briggs(2) renvoie environ 0,695.
Corrigé de l’exercice 3 : géométrie dans l’espace
Partie A
Affirmation 1 : vraie. On décompose \(\overrightarrow{\mathrm{JH}}\) en passant par les sommets : \(\overrightarrow{\mathrm{JH}}=\overrightarrow{\mathrm{JF}}+\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{EH}}\). Dans le cube :
\(\overrightarrow{\mathrm{JF}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DH}}=\overrightarrow{\mathrm{DM}}\) (car J et M sont des milieux d'arêtes parallèles et de même longueur) ;
\(\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}=2\overrightarrow{\mathrm{BI}}\) (car I est le milieu de [AB]) ;
\(\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\overrightarrow{\mathrm{CB}}\).
En additionnant : \(\overrightarrow{\mathrm{JH}}=\overrightarrow{\mathrm{DM}}+2\overrightarrow{\mathrm{BI}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}\), ce qui est l'égalité annoncée.
Affirmation 2 : fausse. Dans le cube, \(\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DH}}\) avec \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{DH}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}\). Donc \(\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) : le troisième vecteur est combinaison linéaire des deux autres. Les trois vecteurs sont coplanaires, ils ne forment pas une base de l'espace.
Affirmation 3 : vraie. Plaçons-nous dans le repère orthonormé \(\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\). Les coordonnées sont \(\mathrm{I}\left(\tfrac{1}{2};0;0\right)\), \(\mathrm{B}(1;0;0)\), \(\mathrm{L}\left(\tfrac{1}{2};1;0\right)\) et \(\mathrm{M}\left(0;1;\tfrac{1}{2}\right)\). Alors \(\overrightarrow{\mathrm{IB}}\left(\tfrac{1}{2};0;0\right)\) et \(\overrightarrow{\mathrm{LM}}\left(-\tfrac{1}{2};0;\tfrac{1}{2}\right)\), d'où
\[\overrightarrow{\mathrm{IB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{LM}}=\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+0+0=-\dfrac{1}{4}.\]
Partie B
Affirmation 4 : fausse. Le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2;-1;3)\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3;-3;8)\) dirige la droite (AB). La droite est parallèle au plan si et seulement si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{n}=0\). Or
\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{n}=3\times 2+(-3)\times(-1)+8\times 3=6+3+24=33\neq 0.\]
Le plan et la droite ne sont donc pas parallèles.
Affirmation 5 : vraie. L'équation proposée \(-2x+y-3z+34=0\) a pour vecteur normal \(\vec{n}'(-2;1;-3)=-\vec{n}\), colinéaire à celui de \(\mathcal{P}\) : le plan correspondant est parallèle à \(\mathcal{P}\). Vérifions qu'il contient B :
\[-2\times 5+(-3)-3\times 7+34=-10-3-21+34=0.\]
Le plan d'équation \(-2x+y-3z+34=0\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) et passe par B : c'est bien \(\mathcal{P}'\).
Affirmation 6 : vraie. La distance d'un point \(\mathrm{A}(x_0;y_0;z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) vaut \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Ici :
\[d(\mathrm{A},\mathcal{P})=\dfrac{|2\times 2-0+3\times(-1)+6|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{7\sqrt{14}}{14}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.\]
Affirmation 7 : fausse. Les droites (AB) et \((d)\) sont dirigées par \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3;-3;8)\) et \(\vec{u}(2;0;-5)\), qui ne sont pas colinéaires : elles ne sont ni parallèles ni confondues. Elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes. Une représentation paramétrique de (AB) est \(x=2+3t\), \(y=-3t\), \(z=-1+8t\). On cherche \(t\) et \(k\) tels que :
\[\left\{\begin{array}{rcl} 2+3t &=& -12+2k \\ -3t &=& 6 \\ -1+8t &=& 3-5k \end{array}\right.\]
La deuxième équation donne \(t=-2\). La première devient \(-4=-12+2k\), soit \(k=4\). La troisième devient \(-17=3-5k\), soit \(k=4\) aussi : le système a une solution. Les droites se coupent au point \((-4\,;6\,;-17)\), elles sont sécantes donc coplanaires. L'affirmation « elles ne sont pas coplanaires » est fausse.
Corrigé de l’exercice 4 : étude de e^x sin(x) et calcul d’aire
Partie A
1. a. La fonction \(f\) est le produit de \(u(x)=\mathrm{e}^x\) et \(v(x)=\sin(x)\), avec \(u'(x)=\mathrm{e}^x\) et \(v'(x)=\cos(x)\). Donc \(f'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=\mathrm{e}^x\sin(x)+\mathrm{e}^x\cos(x)=\mathrm{e}^x\left[\sin(x)+\cos(x)\right].\]
b. Sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin(x)\geqslant 0\) et \(\cos(x)\geqslant 0\), et les deux ne s'annulent jamais en même temps (\(\sin(x)=0\) seulement en 0 où \(\cos(0)=1\), et \(\cos(x)=0\) seulement en \(\dfrac{\pi}{2}\) où \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\)). Donc \(\sin(x)+\cos(x)\gt 0\). Comme \(\mathrm{e}^x\gt 0\), on obtient \(f'(x)\gt 0\) sur cet intervalle : \(f\) est strictement croissante sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
2. a. La tangente en 0 a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\). On calcule \(f(0)=\mathrm{e}^0\sin(0)=0\) et \(f'(0)=\mathrm{e}^0\left[\sin(0)+\cos(0)\right]=1\). La tangente \(T\) a donc pour équation \(y=x\).
b. On dérive \(f'\) comme un produit :
\[f''(x)=\mathrm{e}^x\left[\sin(x)+\cos(x)\right]+\mathrm{e}^x\left[\cos(x)-\sin(x)\right]=2\,\mathrm{e}^x\cos(x).\]
Sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\cos(x)\gt 0\), donc \(f''(x)\gt 0\) (et \(f''\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)). Ainsi \(f''\geqslant 0\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(f\) est convexe sur cet intervalle.
c. Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\mathcal{C}_f\) est donc au-dessus de \(T\) d'équation \(y=x\), ce qui donne \(\mathrm{e}^x\sin(x)\geqslant x\).
3. D'après le calcul de \(f''(x)=2\,\mathrm{e}^x\cos(x)\), la dérivée seconde s'annule en \(\dfrac{\pi}{2}\) en passant du positif au négatif (le cosinus change de signe sur \([0\,;\pi]\) en cette valeur). Un changement de signe de \(f''\) caractérise un point d'inflexion : le point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\), où la courbe passe de convexe à concave.
Partie B
1. Première intégration par parties. On pose \(u(x)=\mathrm{e}^x\) et \(v'(x)=\sin(x)\), donc \(u'(x)=\mathrm{e}^x\) et \(v(x)=-\cos(x)\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), donc :
\[I=\Big[-\mathrm{e}^x\cos(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x=\left(0\right)-\left(-1\right)+J=1+J.\]
En effet \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\) et \(-\mathrm{e}^0\cos(0)=-1\).
Seconde intégration par parties. On pose cette fois \(u(x)=\sin(x)\) et \(v'(x)=\mathrm{e}^x\), donc \(u'(x)=\cos(x)\) et \(v(x)=\mathrm{e}^x\) :
\[I=\Big[\mathrm{e}^x\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\times 1-0-J=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-J.\]
On a bien établi \(I=1+J\) et \(I=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-J\).
2. On additionne membre à membre les deux relations : \(2I=1+J+\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-J=1+\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\). Donc \(I=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}\).
3. D'après la question A. 2. c., \(f(x)\geqslant g(x)\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) : la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). L'aire du domaine hachuré vaut donc, en unités d'aire :
\[\mathcal{A}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\mathrm{e}^x\sin(x)-x\right)\mathrm{d}x=I-\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\,\mathrm{d}x=I-\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=I-\dfrac{\pi^2}{8}.\]
On remplace \(I\) par la valeur trouvée : \(\mathcal{A}=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}\) unités d'aire, soit environ 1,67 unité d'aire.