Corrigé de l’exercice 1 : QCM sur droites et plan de l’espace
Question 1. Un point appartient à \(\mathcal{D}'\) s'il existe une valeur de \(t\) qui donne ses trois coordonnées. Pour M\(_2(11\ ;\ -9\ ;\ -22)\), la première équation \(-4+3t=11\) donne \(t=5\). On vérifie : \(6-3\times5=-9\) et \(8-6\times5=-22\). Les trois coordonnées conviennent, alors que les autres points échouent dès la première équation. Réponse : b.
Question 2. Les coefficients de \(t\) dans la représentation paramétrique donnent un vecteur directeur : \(\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}\). Réponse : c.
Question 3. On a \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}\), qui est colinéaire à \(\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\). Or \(\overrightarrow{u_3}=-3\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\). Les deux droites ont donc la même direction : elles sont parallèles ou confondues. Il reste à voir si A\((1\ ;\ 1\ ;\ -2)\) est sur \(\mathcal{D}'\). Avec \(t=\dfrac{5}{3}\) : \(x=-4+5=1\), \(y=6-5=1\), \(z=8-10=-2\). A appartient aux deux droites, qui sont donc confondues. Réponse : d.
Question 4. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\overrightarrow{p}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}\). La droite \(\mathcal{D}\) est parallèle au plan si \(\overrightarrow{AB}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{p}\) :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{p}=-2+2m-8=0\iff m=5\]
Réponse : c (\(m=5\)).
Corrigé de l’exercice 2 : dépistage de la leucose féline
1.a. Le test est positif dans 90 % des cas pour un chat malade, donc \(P_M(T)=0{,}9\). Il est négatif dans 85 % des cas pour un chat sain, donc \(P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}85\) et \(P_{\overline{M}}(T)=0{,}15\).
1.b. On multiplie le long de la branche : \(P(M\cap T)=0{,}4\times0{,}9=\)0,36.
1.c. On calcule l'autre branche menant à \(T\) : \(P(\overline{M}\cap T)=0{,}6\times0{,}15=0{,}09\). Avec la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=0{,}36+0{,}09=0{,}45\]
1.d. On cherche la probabilité de \(M\) sachant \(T\) :
\[P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}45}=\dfrac{4}{5}=\mathbf{0{,}8}\]
2.a. On répète 20 fois, de façon identique et indépendante (tirage avec remise), une épreuve à deux issues : « le test est positif », de probabilité \(0{,}45\). Donc \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20\ ;\ 0{,}45)\).
2.b. \(P(X=5)=\dbinom{20}{5}\times0{,}45^5\times0{,}55^{15}=15504\times0{,}45^5\times0{,}55^{15}\approx0{,}03647\), soit 0,036 au millième.
2.c. « Au plus 8 » signifie \(X\leqslant8\). La calculatrice (fonction de répartition binomiale) donne \(P(X\leqslant8)\approx\)0,414.
2.d. \(E(X)=np=20\times0{,}45=9\). Sur un grand nombre d'échantillons de 20 chats, on trouve en moyenne 9 chats au test positif par échantillon.
3.a. Avec \(n\) chats, \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\ ;\ 0{,}45)\). L'événement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif », et \(P(X=0)=0{,}55^n\). Donc \(p_n=1-0{,}55^n\).
3.b. Le programme part de \(n=0\) et augmente \(n\) d'une unité tant que \(p_n\lt0{,}99\). Il renvoie donc le plus petit nombre de chats à tester pour que la probabilité d'avoir au moins un test positif soit supérieure ou égale à 0,99.
3.c. On résout :
\[1-0{,}55^n\geqslant0{,}99\iff0{,}55^n\leqslant0{,}01\iff n\ln(0{,}55)\leqslant\ln(0{,}01)\iff n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)}\]
Le sens de l'inégalité change car \(\ln(0{,}55)\lt0\). Comme \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)}\approx7{,}7\), le programme renvoie 8. Contrôle : \(1-0{,}55^7\approx0{,}985\lt0{,}99\) et \(1-0{,}55^8\approx0{,}992\geqslant0{,}99\).
Corrigé de l’exercice 3 : une suite et son inverse
1. Dans le tableau, \(\dfrac{4}{u_n}\) vaut 4 pour \(n=0\), 5 pour \(n=1\), 6 pour \(n=2\), et augmente de 1 à chaque rang. On conjecture \(\dfrac{4}{u_n}=n+4\).
2. Récurrence sur \(u_n\gt0\).
Initialisation. \(u_0=1\gt0\).
Hérédité. On suppose \(u_n\gt0\) pour un entier \(n\). Alors \(u_n+4\gt0\) et \(4u_n\gt0\), donc le quotient \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+4}\) est strictement positif.
Conclusion. La propriété est initialisée et héréditaire : \(u_n\gt0\) pour tout entier naturel \(n\).
3. On étudie le signe de la différence :
\[u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n}{u_n+4}-u_n=\dfrac{4u_n-u_n(u_n+4)}{u_n+4}=-\dfrac{u_n^2}{u_n+4}\]
Comme \(u_n\gt0\), le numérateur \(u_n^2\) et le dénominateur \(u_n+4\) sont strictement positifs, donc \(u_{n+1}-u_n\lt0\). La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
4. La suite est décroissante et minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\geqslant0\).
5. On calcule \(v_{n+1}-v_n\) :
\[v_{n+1}=\dfrac{4}{u_{n+1}}=\dfrac{4(u_n+4)}{4u_n}=\dfrac{u_n+4}{u_n}=1+\dfrac{4}{u_n}=1+v_n\]
On a donc \(v_{n+1}-v_n=1\) pour tout \(n\) : \((v_n)\) est arithmétique de raison 1 et de premier terme \(v_0=\dfrac{4}{u_0}=4\). Son terme général est \(v_n=4+n\), ce qui confirme la conjecture.
6. Comme \(v_n=\dfrac{4}{u_n}\), on a \(u_n=\dfrac{4}{v_n}\), soit \(u_n=\dfrac{4}{n+4}\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).
Corrigé de l’exercice A : étude de \(h\) et position de deux courbes
Partie 1, question 1. En 0 : on écrit \(h(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\times\ln(x)\). Quand \(x\to0^+\), \(\dfrac{1}{x^2}\to+\infty\) et \(\ln(x)\to-\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to0}h(x)=-\infty\).
En \(+\infty\) : \(\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times\dfrac{1}{x}\). Par croissances comparées \(\dfrac{\ln(x)}{x}\to0\), et \(\dfrac{1}{x}\to0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=1\).
2. On dérive le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u=\ln(x)\) et \(v=x^2\) :
\[h'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x^2-\ln(x)\times2x}{x^4}=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4}=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\]
3. Sur \(]0\ ;\ +\infty[\), \(x^3\gt0\) : le signe de \(h'\) est celui de \(1-2\ln(x)\). Or
\[1-2\ln(x)\gt0\iff\ln(x)\lt\dfrac{1}{2}\iff x\lt\text{e}^{1/2}=\sqrt{\text{e}}\]
La fonction \(h\) est donc croissante sur \(]0\ ;\ \sqrt{\text{e}}]\) et décroissante sur \([\sqrt{\text{e}}\ ;\ +\infty[\). Son maximum est \(h(\sqrt{\text{e}})=1+\dfrac{\frac{1}{2}}{\text{e}}=1+\dfrac{1}{2\text{e}}\approx1{,}18\).
| \(x\) | 0 | \(\sqrt{\text{e}}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(h'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(h(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(1+\dfrac{1}{2\text{e}}\) | ↘ | 1 |
4. Sur \(]0\ ;\ \sqrt{\text{e}}]\), \(h\) est continue et strictement croissante, de \(-\infty\) à \(1+\dfrac{1}{2\text{e}}\gt0\). Le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction strictement monotone) donne une unique solution \(\alpha\) de \(h(x)=0\) dans cet intervalle. Sur \([\sqrt{\text{e}}\ ;\ +\infty[\), \(h\) décroît de \(1+\dfrac{1}{2\text{e}}\) vers 1 sans l'atteindre : elle reste strictement supérieure à 1, donc ne s'annule pas. L'équation \(h(x)=0\) a donc une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\ ;\ +\infty[\).
Pour l'encadrement : \(h\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+4\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx-1{,}77\lt0\) et \(h(1)=1\gt0\). Comme \(h\) est croissante sur cet intervalle, \(\dfrac{1}{2}\lt\alpha\lt1\) (en fait \(\alpha\approx0{,}65\)).
5. D'après les variations et la valeur \(h(\alpha)=0\) : \(h(x)\lt0\) sur \(]0\ ;\ \alpha[\), \(h(\alpha)=0\) et \(h(x)\gt0\) sur \(]\alpha\ ;\ +\infty[\).
Partie 2, question 1. On développe la différence :
\[f_1(x)-f_2(x)=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-x+2+\dfrac{2\ln(x)}{x^2}=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}=h(x)\]
2. Le signe de \(f_1-f_2=h\) donne la position relative :
- sur \(]0\ ;\ \alpha[\), \(h(x)\lt0\), donc \(f_1(x)\lt f_2(x)\) : \(\mathcal{C}_1\) est en dessous de \(\mathcal{C}_2\) ;
- sur \(]\alpha\ ;\ +\infty[\), \(h(x)\gt0\), donc \(\mathcal{C}_1\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_2\) ;
- en \(x=\alpha\), \(h(\alpha)=0\), donc les courbes se coupent, et seulement là.
L'ordonnée du point d'intersection est \(f_1(\alpha)=\alpha-1-\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2}=\alpha-\left(1+\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2}\right)=\alpha-h(\alpha)=\alpha\). Les courbes se coupent donc en un unique point de coordonnées \((\alpha\ ;\ \alpha)\).
Corrigé de l’exercice B : \(f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}\), variations et convexité
Partie 1, question 1. Le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\). Sur la courbe, \(f'\) est positive pour \(x\lt-1\) (la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses), s'annule en \(x=-1\), puis est négative pour \(x\gt-1\). On conjecture que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) puis décroissante sur \([-1\ ;\ +\infty[\).
2. La convexité se lit sur les variations de \(f'\). La courbe de \(f'\) descend jusqu'à son minimum en \(x=0\), puis remonte. On conjecture que \(f\) est concave sur \(]-\infty\ ;\ 0]\) et convexe sur \([0\ ;\ +\infty[\).
Partie 2, question 1. On développe : \(f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}+2\text{e}^{-x}=\dfrac{x}{\text{e}^x}+2\text{e}^{-x}\).
Par croissances comparées, \(\dfrac{x}{\text{e}^x}\to0\) en \(+\infty\), et \(\text{e}^{-x}\to0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : la courbe \(\mathcal{C}\) admet pour asymptote horizontale en \(+\infty\) la droite d'équation \(y=0\) (l'axe des abscisses).
2.a. On dérive le produit \((x+2)\text{e}^{-x}\) :
\[f'(x)=1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-\text{e}^{-x})=\text{e}^{-x}(1-x-2)=(-x-1)\text{e}^{-x}\]
2.b. Comme \(\text{e}^{-x}\gt0\), \(f'(x)\) a le signe de \(-x-1\), positif si \(x\lt-1\) et négatif si \(x\gt-1\). On a \(f(-1)=(-1+2)\text{e}^{1}=\text{e}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(\text{e}\) | ↘ | 0 |
2.c. Sur \([-2\ ;\ -1]\), \(f\) est continue et strictement croissante, avec \(f(-2)=0\lt2\) et \(f(-1)=\text{e}\approx2{,}72\gt2\). Le théorème des valeurs intermédiaires assure une unique solution \(\alpha\) de \(f(x)=2\) dans cet intervalle. À la calculatrice, \(f(-1{,}6)\approx1{,}98\) et \(f(-1{,}5)\approx2{,}24\), donc \(\alpha\approx-1{,}59\), soit \(\alpha\approx-1{,}6\) à \(10^{-1}\) près.
3. On dérive \(f'(x)=(-x-1)\text{e}^{-x}\) :
\[f''(x)=-\text{e}^{-x}+(-x-1)(-\text{e}^{-x})=\text{e}^{-x}(-1+x+1)=x\,\text{e}^{-x}\]
Comme \(\text{e}^{-x}\gt0\), \(f''(x)\) a le signe de \(x\). La fonction \(f\) est concave sur \(]-\infty\ ;\ 0]\) et convexe sur \([0\ ;\ +\infty[\), ce qui confirme la conjecture. En \(x=0\), \(f''\) s'annule en changeant de signe : le point A d'abscisse 0 est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}\). Ses coordonnées sont A\((0\ ;\ 2)\).