Corrigé de l’exercice 1 : tri des courriels indésirables
1. On commence par les données : \(p(S) = 0{,}08\), donc \(p(\overline{S}) = 0{,}92\). Ensuite \(p_S(I) = 0{,}9\), donc \(p_S(\overline{I}) = 0{,}1\), et \(p_{\overline{S}}(I) = 0{,}01\), donc \(p_{\overline{S}}(\overline{I}) = 0{,}99\). L'arbre a deux niveaux. De l'origine partent la branche \(S\) (0,08) et la branche \(\overline{S}\) (0,92). De \(S\) partent \(I\) (0,9) et \(\overline{I}\) (0,1). De \(\overline{S}\) partent \(I\) (0,01) et \(\overline{I}\) (0,99).
2. a. On multiplie les probabilités le long du chemin \(S\) puis \(I\) :
\[p(S \cap I) = p(S) \times p_S(I) = 0{,}08 \times 0{,}9 = 0{,}072.\]
b. Les évènements \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition, donc d'après la formule des probabilités totales :
\[p(I) = p(S \cap I) + p(\overline{S} \cap I) = 0{,}072 + 0{,}92 \times 0{,}01 = 0{,}072 + 0{,}0092 = 0{,}0812.\]
La probabilité que le courriel soit classé indésirable est 0,0812.
c. On cherche \(p_I(S)\) :
\[p_I(S) = \dfrac{p(S \cap I)}{p(I)} = \dfrac{0{,}072}{0{,}0812} \approx 0{,}887.\]
Arrondi au centième : 0,89.
3. a. On répète 50 fois une expérience à deux issues (le courriel est un spam ou non) avec la même probabilité de succès 0,08, de façon indépendante puisque le tirage est avec remise. \(Z\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}08)\).
b. « Deux au moins » se traite avec l'évènement contraire :
\[p(Z \geqslant 2) = 1 - p(Z = 0) - p(Z = 1) = 1 - 0{,}92^{50} - 50 \times 0{,}08 \times 0{,}92^{49}.\]
Numériquement \(0{,}92^{50} \approx 0{,}0155\) et \(50 \times 0{,}08 \times 0{,}92^{49} \approx 0{,}0672\), d'où \(p(Z \geqslant 2) \approx 0{,}917\). Arrondi au centième : 0,92.
Corrigé de l’exercice 2 : QCM de géométrie dans l’espace
1. On cherche le paramètre \(t\) qui convient pour chaque point, en commençant par la première coordonnée. Pour M(2 ; 1 ; −1) : \(1 + 2t = 2\) donne \(t = 0{,}5\), mais alors \(y = -1{,}5 \neq 1\). Pour N(−3 ; −4 ; 6) : \(1 + 2t = -3\) donne \(t = -2\), puis \(y = -2 - 2 = -4\) et \(z = 4 + 2 = 6\) : les trois coordonnées sont bonnes. Réponse B. (P donne \(z = 6 \neq 2\), Q donne \(t = -3\) puis \(y = -5\) mais \(z = 7 \neq 1\).)
2. \(\overrightarrow{\text{AB}} = (2 - 1\,;\,1 - 0\,;\,0 - 2) = (1\,;\,1\,;\,-2)\). Réponse C.
3. La droite (AB) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\text{AB}}(1\,;\,1\,;\,-2)\), ou n'importe quel multiple, et passe par A et B. La réponse B a pour vecteur directeur \((-1\,;\,-1\,;\,2) = -\overrightarrow{\text{AB}}\) et passe par \((2\,;\,1\,;\,0) = \text{B}\) quand \(t = 0\). Les autres réponses ont un mauvais vecteur directeur (A et C) ou ne passent pas par A ou B (D donne \((1\,;\,1\,;\,2)\) en \(t = 0\), qui n'est pas A). Réponse B.
4. Un plan orthogonal à \(\Delta\) a pour vecteur normal un vecteur directeur de \(\Delta\), à savoir \((2\,;\,1\,;\,-1)\). Une équation est donc \(2x + y - z + d = 0\). Le point \(\text{C}(0\,;\,1\,;\,2)\) donne \(0 + 1 - 2 + d = 0\), donc \(d = 1\). L'équation est \(2x + y - z + 1 = 0\) : réponse B.
5. On calcule les coordonnées de D : \(3(1\,;\,0\,;\,2) - (2\,;\,1\,;\,0) - (0\,;\,1\,;\,2) = (1\,;\,-2\,;\,4)\). La réponse C est fausse. On a \(\overrightarrow{\text{AD}} = (0\,;\,-2\,;\,2)\), \(\overrightarrow{\text{AB}} = (1\,;\,1\,;\,-2)\), \(\overrightarrow{\text{AC}} = (-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{\text{BC}} = (-2\,;\,0\,;\,2)\), donc la réponse B est fausse. Pour la coplanarité, on cherche \(a\) et \(b\) avec \(\overrightarrow{\text{AD}} = a\overrightarrow{\text{AB}} + b\overrightarrow{\text{AC}}\) : la première coordonnée donne \(a - b = 0\), la deuxième \(a + b = -2\), donc \(a = b = -1\), et la troisième vérifie \(-2a = 2\). C'est bon : les trois vecteurs sont coplanaires. D'ailleurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés (réponse D fausse). Réponse A.
Corrigé de l’exercice 3 : le point de l’exponentielle le plus proche de l’origine
Partie I
1. En \(+\infty\), \(\text{e}^{-2x}\) tend vers 0 et \(x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). En \(-\infty\), \(-2x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\text{e}^{-2x}\) tend vers \(+\infty\) et \(-\text{e}^{-2x}\) vers \(-\infty\). Comme \(x\) tend aussi vers \(-\infty\), la somme tend vers \(-\infty\) :\(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = 1 - (-2)\text{e}^{-2x} = 1 + 2\text{e}^{-2x}\). Cette dérivée est strictement positive (somme de 1 et d'un nombre positif), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | |
| Variations de \(f\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) (\(f\) croît) |
3. La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), 0 a un unique antécédent \(\alpha\). À la calculatrice, \(f(0{,}42) \approx -0{,}0116\) et \(f(0{,}43) \approx 0{,}0068\), donc \(\alpha \approx 0{,}43\).
4. Comme \(f\) est croissante et \(f(\alpha) = 0\) : \(f(x) \lt 0\) pour \(x \lt \alpha\), \(f(\alpha) = 0\), et \(f(x) \gt 0\) pour \(x \gt \alpha\).
Partie II
1. a. On pose \(u(t) = t^2 + \text{e}^{-2t}\), on a \(h = \sqrt{u}\) et \(h' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) avec \(u'(t) = 2t - 2\text{e}^{-2t}\). Donc :
\[h'(t) = \dfrac{2t - 2\text{e}^{-2t}}{2\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{t - \text{e}^{-2t}}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]
b. Le dénominateur est strictement positif, donc \(h'(t)\) a le signe de \(f(t)\) : d'après la partie I, \(h' \lt 0\) pour \(t \lt \alpha\) et \(h' \gt 0\) pour \(t \gt \alpha\). La fonction \(h\) décroît sur \(]-\infty\,;\,\alpha]\) puis croît sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) : elle admet un minimum en \(t = \alpha\). Le point de \(\mathscr{C}\) le plus proche de O est donc A\(\left(\alpha\,;\,\text{e}^{-\alpha}\right)\), soit environ \((0{,}43\,;\,0{,}65)\). Sur le graphique, c'est le point de la courbe bleue d'abscisse 0,43 (à environ 0,65 de hauteur).
2. a. La fonction \(g\) a pour dérivée \(g'(x) = -\text{e}^{-x}\). Le coefficient directeur de \(T\) est \(g'(\alpha)\), soit \(-\text{e}^{-\alpha}\).
b. On calcule le produit des coefficients directeurs de (OA) et de \(T\) :
\[\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha} \times \left(-\text{e}^{-\alpha}\right) = -\dfrac{\text{e}^{-2\alpha}}{\alpha}.\]
Or \(f(\alpha) = 0\) signifie \(\alpha = \text{e}^{-2\alpha}\). Le quotient vaut donc \(-\dfrac{\alpha}{\alpha} = -1\) : les droites (OA) et \(T\) sont perpendiculaires. Sur l'annexe, on trace (OA) en reliant l'origine au point A(0,43 ; 0,65), puis \(T\) en traçant la droite de pente environ \(-0{,}65\) passant par A.
Corrigé de l’exercice au choix
Corrigé de l’exercice A : suites imbriquées \((u_n)\) et \((v_n)\)
1. \(u_1 = \dfrac{3 \times 16 + 2 \times 5}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6\) et \(v_1 = \dfrac{16 + 5}{2} = 10{,}5\).
2. a. On exprime \(w_{n+1}\) avec les termes de rang \(n\) :
\[w_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} - \dfrac{u_n + v_n}{2} = \dfrac{6u_n + 4v_n - 5u_n - 5v_n}{10} = \dfrac{u_n - v_n}{10} = 0{,}1\,w_n.\]
La suite \((w_n)\) est géométrique de raison 0,1, de premier terme \(w_0 = 16 - 5 = 11\). Donc \(w_n = 11 \times 0{,}1^n\).
b. Pour tout \(n\), \(0{,}1^n \gt 0\), donc \(w_n \gt 0\). Comme \(-1 \lt 0{,}1 \lt 1\), \(\lim w_n = 0\).
3. a. On calcule : \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 2v_n - 5u_n}{5} = \dfrac{2v_n - 2u_n}{5} = -0{,}4\,(u_n - v_n) = -0{,}4\,w_n\).
b. Comme \(w_n \gt 0\), on a \(u_{n+1} - u_n \lt 0\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.
c. Récurrence sur \(u_n \geqslant 5\). Initialisation : \(u_0 = 16 \geqslant 5\). Hérédité : on suppose \(u_n \geqslant 5\). On sait que \(v_n \geqslant 5\), donc \(u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \geqslant \dfrac{15 + 10}{5} = 5\). Conclusion : \(u_n \geqslant 5\) pour tout \(n\). La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 5, donc elle converge (théorème de convergence monotone).
4. a. La suite \((w_n) = (u_n - v_n)\) converge vers \(\ell - \ell'\) et vers 0 d'après la question 2.b. Par unicité de la limite, \(\ell - \ell' = 0\), donc \(\ell = \ell'\).
b. On calcule :
\[c_{n+1} = 5 \times \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} + 4 \times \dfrac{u_n + v_n}{2} = 3u_n + 2v_n + 2u_n + 2v_n = 5u_n + 4v_n = c_n.\]
La suite est constante, donc \(c_n = c_0 = 5 \times 16 + 4 \times 5 = 80 + 20 = \) 100.
c. En passant à la limite dans \(5u_n + 4v_n = 100\), on obtient \(5\ell + 4\ell' = 100\), et comme \(\ell = \ell'\), \(9\ell = 100\). La valeur commune est \(\ell = \ell' = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}11\).
Corrigé de l'exercice B : la fonction \(x \mapsto [\ln x]^2 - \ln x\)
Partie 1
1. Comme \(x \gt 0\), \(f(x) = 0 \iff 2\ln x - 1 = 0 \iff \ln x = \dfrac{1}{2} \iff x = \text{e}^{1/2}\). La solution est \(\alpha = \sqrt{\text{e}}\), soit environ 1,65.
2. Sur la courbe, \(f\) est négative quand \(x \lt \alpha\) et positive quand \(x \gt \alpha\) : \(f(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\), \(f(x) = 0\) en \(\sqrt{\text{e}}\), \(f(x) \gt 0\) sur \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\).
Partie II
1. a. On pose \(X = \ln x\). Quand \(x\) tend vers 0, \(X\) tend vers \(-\infty\), et \(g = X^2 - X = X(X - 1)\) tend vers \(+\infty\) (produit de deux termes qui tendent vers \(-\infty\)). \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = +\infty\).
b. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X = \ln x\) tend vers \(+\infty\) et \(X(X - 1)\) aussi : \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).
2. La dérivée de \([\ln x]^2\) est \(2\ln x \times \dfrac{1}{x}\) et celle de \(\ln x\) est \(\dfrac{1}{x}\). Donc :
\[g'(x) = \dfrac{2\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln x - 1}{x} = f(x).\]
3. D'après la partie 1, \(g' = f\) est négative sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\) et positive sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\). Le minimum est \(g\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25\).
| \(x\) | 0 | \(\sqrt{\text{e}}\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(g'(x)\) | − 0 + | ||
| Variations de \(g\) | \(+\infty\) (limite) | minimum \(-0{,}25\) | \(+\infty\) (limite) |
4. Soit \(m \gt -0{,}25\). Sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), \(g\) est continue, strictement décroissante, et prend toutes les valeurs de \([-0{,}25\,;\,+\infty[\) : comme \(m \gt -0{,}25\), l'équation \(g(x) = m\) a exactement une solution dans \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\). De même sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\), \(g\) est continue, strictement croissante, de \(-0{,}25\) à \(+\infty\) : une seule solution dans \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\). Les deux intervalles étant disjoints, l'équation admet exactement deux solutions.
5. On pose \(X = \ln x\) : \(g(x) = 0 \iff X^2 - X = 0 \iff X(X - 1) = 0 \iff X = 0\) ou \(X = 1\). Donc \(\ln x = 0\) ou \(\ln x = 1\) : les solutions sont \(x = 1\) et \(x = \text{e}\).